Měřítko (mapy)

Jak se ukázalo, Gaussova Theorema Egregium, koule (nebo elipsoidu) nemůže být promítnuta do roviny bez zkreslení. To je obvykle ilustrováno nemožností vyhlazení pomerančové kůry na rovný povrch bez roztržení a deformace. Jedinou skutečnou reprezentací koule v konstantním měřítku je další sféra, jako je zeměkoule.

vzhledem k omezené praktické velikosti glóbů musíme pro detailní mapování použít mapy. Mapy vyžadují projekce. Projekce znamená zkreslení: Konstantní oddělení na mapě neodpovídá konstantnímu oddělení na zemi. Zatímco mapa může zobrazovat grafické měřítko, měřítko musí být použito s tím, že bude přesné pouze na některých řádcích mapy. (To je dále popsáno v příkladech v následujících částech.)

Nechť P je bod v zeměpisné šířce φ {\displaystyle \varphi }

a délky λ {\displaystyle \lambda }

na koule (nebo elipsoidu). Nechť Q být sousední bod a nechť α {\displaystyle \alpha }

je úhel mezi prvkem PQ a poledníku na P: tento úhel je úhel azimutu prvku PQ. Nechť P ‚A Q‘ jsou odpovídající body na projekci. Úhel mezi směrem P ‚ QSKÉ a průmět poledníku je ložisko β {\displaystyle \beta }

. Obecně α β β {\displaystyle \ alpha \neq \beta }

. Komentář: toto přesné rozlišení mezi azimutem (na zemském povrchu) a ložiskem (na mapě) není všeobecně pozorováno, mnoho spisovatelů používá termíny téměř zaměnitelně.

definice: bodová stupnice na P je poměr dvou vzdáleností P ‚ Q ‚ A PQ v limitu, který se Q blíží P. Píšeme to jako

μ ( λ , φ , α ) = lim Q → P P ‚ Q ‚P Q , {\displaystyle \mu (\lambda\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\P}{\frac {P ‚QSKÉ‘}{PQ}},}

kde zápis označuje, že bod stupnice je funkcí polohy P a i směr prvku PQ.

definice: pokud P a Q leží na stejném poledníku ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, meridian stupnice je označen h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda\,\varphi )}

.

definice: pokud P a Q leží na stejné paralelní ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, paralelní stupnice je označený číslem k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda\,\varphi )}

.

definice: pokud bod stupnice závisí pouze na poloze, nikoliv na směru, můžeme říci, že je izotropní a konvenčně označují jeho hodnotu v libovolném směru o paralelní rozsahu faktoru k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda\varphi )}

.

Definice: mapa projekce je řekl, aby byl konformní, pokud úhel mezi dvojicí přímek protínajících se v bodě P je stejný jako úhel mezi plánované linky na předpokládaný bod P‘, pro všechny dvojice přímek protínajících se v bodě P. konformní mapa má izotropní faktor měřítka. Naopak faktory izotropního měřítka napříč mapou znamenají konformní projekci.

izotropie měřítka znamená, že malé prvky jsou nataženy rovnoměrně ve všech směrech, to znamená, že tvar malého prvku je zachován. Toto je vlastnost orthomorfismu (z řeckého „správného tvaru“). Kvalifikace „malá“ znamená, že při určité přesnosti měření nelze zjistit žádnou změnu koeficientu stupnice nad prvkem. Vzhledem k tomu, konformní projekce mají izotropní měřítko faktor byly také nazývány orthomorfní projekce. Například, Mercator projekce je konformní, protože to je postavené tak, aby zachovat úhly a jeho měřítko je izotopové, funkce latitude pouze: Mercator zachovat tvar v malých regionech.

definice: na konformní projekci s izotropní stupnicí mohou být body, které mají stejnou hodnotu stupnice, spojeny za vzniku izoscale linií. Ty nejsou vykresleny na mapách pro koncové uživatele, ale jsou uvedeny v mnoha standardních textech. (Viz Snyder strany 203-206.)

reprezentativní zlomek (RF) nebo principal scaleEdit

při stanovení rovnic dané projekce se používají dvě konvence. Například, equirectangular válcové projekce může být zapsáno jako

kartografové: x = λ {\displaystyle x=a\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

matematici: x = λ {\displaystyle x=\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

Tady jsme přijme první z těchto úmluv (po použití v průzkumech Snyder). Výše uvedené projekční rovnice jasně definují polohy na obrovském válci omotaném kolem Země a poté rozvinuté. Říkáme, že tyto souřadnice definují projekční mapu, která musí být logicky odlišena od skutečných tištěných (nebo zobrazených) map. Pokud je definice bodové stupnice v předchozí části z hlediska projekční mapy, můžeme očekávat, že faktory měřítka budou blízké jednotě. Pro normální tečné válcové projekce je měřítko podél rovníku k=1 a obecně se měřítko mění, když se pohybujeme mimo rovník. Analýza měřítka na projekční mapě je zkoumáním změny k od jeho skutečné hodnoty jednoty.

Aktuální tištěné mapy jsou vyrobené z projekce mapy konstantní škálování označován poměr, například 1:100 M (pro celý svět, mapy) nebo 1:10000 (např. plány měst). Aby nedošlo k záměně při používání slova „měřítko“, nazývá se tato konstanta frakce reprezentativní frakce (RF) tištěné mapy a musí být identifikována s poměrem vytištěným na mapě. Skutečné vytištěné souřadnice mapy pro rovnoběžnou válcovou projekci jsou

tištěná mapa: x = ( R, F ) λ {\displaystyle x=(RF)\lambda }

y = ( R F ) φ {\displaystyle y=(RF)\varphi }

Tato úmluva umožňuje jasně rozlišovat vnitřní projekce, měřítka a snížení škálování.

od tohoto okamžiku ignorujeme RF a pracujeme s projekční mapou.

vizualizace bodové stupnice: Tissot indicatrixeditovat

Vezměme si malý kruh na povrchu Země se středem v bodě P v zeměpisné šířce φ {\displaystyle \varphi }

a délky λ {\displaystyle \lambda }

. Protože bodová stupnice se mění s polohou a směrem, projekce kružnice na projekci bude zkreslena. Tissot dokázal, že pokud zkreslení není příliš velké, kruh se na projekci stane elipsou. Obecně se rozměr, tvar a orientace elipsy změní nad projekcí. Překrytí těchto zkreslení elipsy na projekci mapy vyjadřuje způsob, jakým se bodová stupnice mění na mapě. Elipsa zkreslení je známá jako Tissotova indikatrix. Zobrazený příklad je Winkel tripel projekce, standardní projekce pro mapy světa provedené National Geographic Society. Minimální zkreslení je na centrálním poledníku v zeměpisných šířkách 30 stupňů (sever a jih). (Další příklady).

bodová stupnice pro normální válcové projekce sféryeditovat

klíčem ke kvantitativnímu porozumění stupnice je zvážit nekonečně malý prvek na kouli. Obrázek ukazuje bodu P v zeměpisné šířce φ {\displaystyle \varphi }

a délky λ {\displaystyle \lambda }

na kouli. Bod Q je v zeměpisné šířce φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

a délky λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. Linky PK a MQ jsou oblouky poledníků délka δ φ {\displaystyle\,\delta \varphi }

, kde {\displaystyle a}

je poloměr koule a φ {\displaystyle \varphi }

je v obloukové míře. Řádky PM a KQ jsou oblouky paralelních kruzích délka ( cos ⁡ φ ) δ λ {\displaystyle (\cos \varphi )\delta \lambda }

s λ {\displaystyle \lambda }

v radian opatření. V odvozené vlastnost bod projekce na P to stačí, aby se infinitezimální element PMQK povrchu: v limitu Q se blíží P takový prvek má tendenci nekonečně malé rovinné obdélník.

Normální válcové projekce koule x = λ {\displaystyle x=a\lambda }

a y {\displaystyle y‘}

rovna funkci zeměpisné šířky. Proto, nekonečně malý element PMQK v oblasti projektů na infinitezimální element P JSEM ‚QSKÉ ‚ K‘, což je přesný obdélník se základnou δ x = δ λ {\displaystyle \delta x=\,\delta \lambda }

a výška δ y {\displaystyle \delta y}

. Porovnáním prvků na kouli a projekci můžeme okamžitě odvodit výrazy pro měřítko faktorů na rovnoběžkách a meridiánech. (Ošetření stupnice v obecném směru lze nalézt níže.) paralelní rozsahu faktoru k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x} {\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec, \varphi \qquad \qquad {}}

meridian faktor měřítka h = δ a δ φ = y ‚( φ ) {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y} {\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}

Všimněte si, že paralelní rozsahu faktoru k = sec ⁡ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }

je nezávislá na definici y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}

takže je to stejné pro všechny obvyklé válcové projekce. To je užitečné poznamenat, že v zeměpisné šířce 30 stupňů paralelní stupnice, k = = sec ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}

v zeměpisné šířce 45 stupňů paralelní stupnice, k = = sec ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

v zeměpisné šířce 60 stupňů paralelní stupnice, k = = sec ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

u zeměpisné šířky 80 stupňů paralelní stupnice, k = = sec ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

u zeměpisné šířky 85 stupňů paralelní stupnice, k = = sec ⁡ 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}

následující příklady ilustrují tři normální válcové projekce a v každém případě změny rozsahu s pozici a směr je znázorněn pomocí Tissot indicatrix.

Tři příklady normální válcové projectionEdit

equirectangular projectionEdit

projekci equirectangular, také známý jako Desky Carré (francouzsky „plochý čtverec“) nebo (poněkud mylně) ekvidistantní projekci, je definována

x = λ , {\displaystyle x=a\lambda}

y = φ , {\displaystyle y=\varphi ,}

, kde {\displaystyle a}

je poloměr koule, λ, {\displaystyle \lambda }

je délka od centrálního poledníku projekce (zde brán jako Greenwichský poledník při λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}

) a φ {\displaystyle \varphi }

je zeměpisná šířka. Všimněte si, že λ {\displaystyle \lambda }

a φ {\displaystyle \varphi }

jsou v radiánech (získá se vynásobením stupně opatření koeficientem π {\displaystyle \pi }

/180). Zeměpisná délka λ {\displaystyle \lambda }

je v rozmezí {\displaystyle }

a zeměpisné šířky φ {\displaystyle \varphi }

je v rozmezí {\displaystyle }

.

Od y ‚( φ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

předchozí bod dává paralelní stupnice, k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x} {\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec, \varphi \qquad \qquad {}}

meridian rozsahu h = δ y δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y} {\,\delta \varphi \,}}=\,1}

Pro výpočet bodové stupnice v libovolném směru, viz dodatek.

obrázek znázorňuje Indikátor Tissot pro tuto projekci. Na rovníku h = K=1 a kruhové prvky jsou nenarušenyprojekce. Ve vyšších zeměpisných šířkách jsou kruhy zkresleny do elipsy dané pouze protažením v paralelním směru: ve směru poledníku nedochází k žádnému zkreslení. Poměr hlavní osa vedlejší osy je sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

. Je zřejmé, že plocha elipsy se zvyšuje o stejný faktor.

je poučné zvážit použití sloupcových stupnic, které se mohou objevit na tištěné verzi této projekce. Měřítko je pravda, (k=1) na rovníku tak, že vynásobením jeho délky na tištěné mapě pomocí inverzní RF (nebo hlavní stupnice) dává skutečný obvod Země. Měřítko lišty na mapě je také nakresleno ve skutečné stupnici, takže přenos oddělení mezi dvěma body na rovníku na stupnici tyče poskytne správnou vzdálenost mezi těmito body. Totéž platí o meridiánech. Na paralelní jiná než na rovníku měřítko je sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

takže když jsme se přenést odloučení od paralelního k baru měřítku musíme rozdělit bar stupnice vzdálenosti tímto faktorem k získání vzdálenosti mezi body, když měřená podél paralelní (což není pravda vzdálenost podél velkého kruhu). Na trati, na ložiska o 45 stupňů ( β = 45 ∘ {\displaystyle \beta =45^{\circ }}

) měřítko je neustále měnící se zeměpisné šířky a převedení oddělení podél trati do baru měřítku nedává vzdálenost týkající se skutečná vzdálenost v každém jednoduchým způsobem. (Viz dodatek). I kdybychom mohli zjistit vzdálenost podél této linie konstantního ložiska, její význam je sporný, protože taková přímka na projekci odpovídá komplikované křivce na kouli. Z těchto důvodů musí být váhy na malých mapách používány s velkou opatrností.

Mercator projectionEdit

mercatorovo zobrazení mapy koule do obdélníku (nekonečné míře v y {\displaystyle y}

-direction) podle rovnic x = λ {\displaystyle x=a\lambda \,}

y = ln ⁡ {\displaystyle y=\ln \left}

kde, λ, {\displaystyle \lambda \,}

a φ {\displaystyle \varphi \,}

jsou jako v předchozím příkladu. Od y ‚( φ ) = sec ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi ) =\sec \varphi }

rozsah faktory jsou: paralelní stupnice, k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ . {\displaystyle K\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}}=\, \ sec \varphi.}

meridian scale h = δ a a δ φ = sec φ φ . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {\, \ delta \ varphi \,}}=\, \ sec, \ varphi .}

V matematickém dodatku je uvedeno, že bodová stupnice v libovolném směru, je také rovna sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

takže měřítko je izotropní (stejný ve všech směrech), jeho velikost roste s zeměpisné šířce jako sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

. V Tissotově diagramu si každý nekonečně malý kruhový prvek zachovává svůj tvar, ale s rostoucí šířkou se stále více zvětšuje.

Lambert stejné oblasti projectionEdit

Lambert stejné oblasti projekce mapy oblasti na konečný obdélník podle rovnice

x = λ y = a sin ⁡ φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }

kde, λ, {\displaystyle \lambda }

a φ {\displaystyle \ varphi }

jsou jako v předchozím příkladu. Od y ‚( φ ) = cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }

rozsah faktory jsou paralelní stupnice, k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec, \varphi \qquad \qquad {}}

meridian rozsahu h = δ y δ φ = cos ⁡ φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y} {\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }

výpočet bodu stupnice v libovolném směru, je uveden níže.

horizontální a vertikální stupnice nyní navzájem kompenzují (hk=1) a v Tissot diagramu každý nekonečně malý kruhový prvek je zdeformovaný do elipsy o stejné oblasti jako nenarušené kruhy na rovníku.

grafy faktorůedit

graf ukazuje variaci faktorů měřítka pro výše uvedené tři příklady. Horní graf ukazuje funkci stupnice izotropního Mercatoru: měřítko na rovnoběžce je stejné jako měřítko na poledníku. Ostatní grafy ukazují faktor meridiánové stupnice pro Rovnostrannou projekci (h=1) a pro lambertovu projekci se stejnou plochou. Tyto poslední dvě projekce mají paralelní měřítko identické s měřítkem Mercatorova grafu. Pro Lambert na vědomí, že paralelní stupnice (jako Mercator A) se zvyšuje s zeměpisné šířky a poledníku stupnice (C) klesá se stoupající zeměpisnou šířkou takovým způsobem, že hk=1, zaručuje oblasti ochrany přírody.

Rozsah variace na Mercator projectionEdit

Mercator bod stupnice je jednota na rovníku, protože to je taková, že pomocný válec použitý v jeho konstrukci se dotýká Země na rovníku. Z tohoto důvodu by obvyklá projekce měla být nazývána tečnou projekcí. Měřítko se mění s zeměpisnou šířku jako k = sec ⁡ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }

. Od sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

inklinuje k nekonečnu, jak jsme přístup poláci Mercator mapu je hrubě zkreslené ve vysokých zeměpisných šířkách a z tohoto důvodu projekce je naprosto nevhodné pro mapy světa (pokud diskutujeme o tom, navigační a spojujícími). Nicméně, na šířku asi 25 stupňů je hodnota sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

je o 1.1 Mercator je tedy přesný do 10% v pásu o šířce 50 stupňů soustředěném na rovníku. Užší proužky jsou lepší: pás o šířce 16 stupňů (vystředěný na rovníku)je přesný na 1% nebo 1 díl ze 100.

standardní kritérium pro dobrý velkém měřítku mapy je, že přesnost by měla být do 4 částí v 10 000, nebo 0,04%, což odpovídá k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}

. Protože sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi }

dosahuje této hodnoty při φ = 1.62 {\displaystyle \varphi =1.62}

stupňů (viz obrázek níže, červená čára). Proto, tangens Mercator projekce je velmi přesné, v pásu o šířce 3.24 stupňů se středem na rovníku. To odpovídá severojižní vzdálenosti asi 360 km (220 mi). V rámci tohoto pásu Mercator je velmi dobrá, vysoce přesné a tvar zachování, protože je konformní (úhel zachování). Tato pozorování podnítila rozvoj příčné Mercator projekce, ve kterém poledníku je zacházeno jako rovník‘ projekce tak, že získáme přesné mapy v úzkém vzdálenosti, že poledníku. Tyto mapy jsou dobré pro země zarovnané téměř sever-jih (jako Velká Británie) a sada 60 takových map se používá pro univerzální Transverse Mercator (UTM). Všimněte si, že v obou těchto projekcí (které jsou založeny na různých elipsoidů) transformace rovnic pro x a y a výraz pro faktor měřítka jsou složité funkce, jak zeměpisné šířky a délky.

Sečny, nebo modifikované, projectionsEdit

základní myšlenkou secant projekce je, že koule je plánovaný na válec, který protíná kouli ve dvou paralely, řekněme φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

severní a jižní. Jasně měřítku je nyní pravda v těchto zeměpisných šířkách vzhledem k tomu, že paralely pod těchto zeměpisných šířkách jsou smluvně projekce a jejich (paralelní) faktor měřítka musí být menší než jedna. Výsledkem je, že odchylka stupnice od jednoty je snížena v širším rozsahu zeměpisných šířek.

Jako příklad, jedním z možných sečny Mercator projekce je definována

x = 0.9996 λ y = 0.9996 a ln ⁡ ( tan ⁡ ( π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x=0.9996\lambda \qquad \qquad y=0.9996\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}

číselné multiplikátory nemění tvar projekce, ale znamená to, že jsou modifikovány faktory stupnice:

secant Mercator scale, k = 0,9996 sec ⁡ φ . {\displaystyle \ quad k\;=0.9996 \ sec \varphi .}

Tak

• měřítko na rovníku je 0.9996,
• měřítko je k = 1 na zeměpisné šířce dané φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  , kde sec ⁡ φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  tak, že φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  stupňů, a k=1.0004 na zeměpisné šířce φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  vzhledem k tomu, sec ⁡ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  , pro které φ 2 = 2.29 podpora {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  stupně. Proto, projekce má 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , který je přesnost 0,04%, přes širší pruh 4.58 stupňů (ve srovnání s 3.24 stupňů pro tečné formě).

to je znázorněno dolní (zelenou) křivkou na obrázku předchozí části.

Takové úzké zóny vysoké přesnosti jsou používány v UTM a Britské OSGB projekce, z nichž oba jsou secant, příčné Mercator na elipsoidu s rozsahem na centrálním poledníku konstantní v k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}

. Isoscale linie s k = 1 {\displaystyle K=1}

jsou mírně zakřivené čáry přibližně 180 km východně a západně od centrálního poledníku. Maximální hodnota faktoru měřítka je 1, 001 pro UTM a 1, 0007 pro OSGB.

řádky jednotka stupnice zeměpisné šířky φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

(severní a jižní), kde válcová projekce povrchu protíná sféru, jsou standardní paralely sečny projekce.

Zatímco úzké pásmo s | k − 1 | < 0.0004 {\displaystyle |k-1|<0.0004}

je důležitý pro vysoce přesné mapování ve velkém měřítku, pro mapy světa se mnohem širší rozmístěné standardní paralely používají k řízení změny měřítka. Příklady jsou

• Behrmann s standardní paralely v 30 ‚ s. š., 30. LETECH.
• Žluč rovná plocha s standardní paralely v 45N, 45.

níže jsou uvedeny grafy stupnice pro tuto oblast ve srovnání s Lambertovými faktory stupnice rovných ploch. V druhém případě je rovník jedinou standardní rovnoběžkou a paralelní stupnice se zvyšuje z K=1, aby kompenzovala pokles meridiánové stupnice. Pro žluč je paralelní stupnice snížena na rovníku (na k=0,707), zatímco meridiánová stupnice je zvýšena (na k=1,414). To vede k hrubému zkreslení tvaru v projekci Gall-Peters. (Na světě Afrika je asi tak dlouho, jak je široká). Všimněte si, že poledník a paralelní stupnice jsou jednoty na standardních rovnoběžkách.

Matematické addendumEdit

Pro běžné válcové projekce geometrie nekonečně prvků dává

(a) tan ⁡ α = cos ⁡ φ δ λ a δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {\cos \varphi \,\delta \lambda } {\,\delta \varphi }},}

(b) tan β β = δ x δ y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}

vztah mezi úhly β {\displaystyle \beta }

a α {\displaystyle \alpha }

je (c) tan ⁡ β = a sec ⁡ φ y ‚ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}

Pro Mercator projekce y ‚( φ ) = a sec ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi ) =\sec \varphi }

dává α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

: úhly jsou zachovány. (Není divu, protože se jedná o vztah používaný k odvození Mercatoru). Pro ekvidistantní a Lambert projekce máme y ‚( φ ) = {\displaystyle y'(\varphi )=a}

a y ‚( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi ) =\cos \varphi }

respektive takže vztah mezi α {\displaystyle \alpha }

a β {\displaystyle \beta }

závisí na zeměpisné šířce φ {\displaystyle \varphi }

. Označme bod stupnice na P, když nekonečně malý element PQ svírá úhel α {\displaystyle \alpha \,}

s meridian tím, že μ α . {\displaystyle\mu _{\alpha }.}

je dána poměrem vzdáleností: μ α = lim Q → P P ‚ Q ‚ p Q = lim Q → p δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\P}{\frac {P, Q}{PQ}}=\lim _{Q\P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}

Nastavení δ x = δ λ {\displaystyle \delta x=\,\delta \lambda }

a dosazením δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

a δ y {\displaystyle \delta y}

z rovnic (a) a (b), respektive dává μ α ( φ ) = sec ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha } (\varphi) = \ sec \ varphi \ left.}

Pro projekce jiné než Mercator musíme nejprve vypočítat β {\displaystyle \beta }

α {\displaystyle \alpha }

a φ {\displaystyle \varphi }

pomocí rovnice (c), předtím, než můžeme najít μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}

. Například ekvirektangulární projekce má y ‚= a {\displaystyle y ‚=a}

takže tan β β = sec φ φ tan α α . {\displaystyle \ tan \ beta = \ sec \ varphi \ tan \ alpha .\,}