Jeden autor uvádí, že „zápis v této práci byla nahrazena další vývoj logiky v průběhu 20. století, do té míry, že začátečník má problém se čtením PM na všechny“, zatímco mnohem symbolického obsahu mohou být převedeny do moderní notace, původní zápis sám o sobě je „předmětem vědeckých sporů“, a některé notace „ztělesňuje logické, věcné nauky, tak, že to nemůže být jednoduše nahrazena moderní symboliky“.
Kurt Gödel byl ostře kritický k zápisu:
„je politováníhodné, že tento první komplexní a důkladné prezentace matematická logika a odvozování z matematiky je tak výrazně postrádá formální přesnost v základech (obsažené v ✸1–✸21 Principia ), která představuje v tomto ohledu značný krok zpět ve srovnání s Fregeho. Chybí především přesné vyjádření syntaxe formalismu. Syntaktické úvahy jsou vynechány i v případech, kdy jsou nezbytné pro váhu důkazů“.
to se odráží v příkladu níže symbolů „p“, „q“, „r“ a“⊃“, které mohou být vytvořeny do řetězce „p q q r r“. PM vyžaduje definici toho, co tento symbol-string znamená, že z hlediska jiných symbolů; v současných ošetření „tvorba pravidel“ (syntaktických pravidel, což vede k „dobře utvořených formulí“) by měl zabránit tvorbě tohoto řetězce.
zdroj notace: Kapitola I „předběžná vysvětlení myšlenek a notací“ začíná zdrojem elementárních částí notace (symboly =⊃ ≡−λvε a systém teček):
„zápis přijatých v této práci vychází, že Peano, a po vysvětlení jsou do jisté míry modelovány na ty, které on předpony jeho Formulario Mathematico . Jeho použití teček jako závorek je přijato, a tak je mnoho jeho symbolů „(PM 1927: 4).
PM změnil Peano Ɔ k ⊃, a také přijala několik Peano později symboly, jako ℩ a ι, a Peano praxe proměnit písmena vzhůru nohama.
PM přijímá znak tvrzení “ ⊦ „z Fregeova 1879 Begriffsschrift:
“ (I) T lze číst „je pravda, že „“
tak prosadit tvrzení p PM píše:
„⊦. p. “ (PM 1927:92)
(Všimněte si, že stejně jako v originále je levá tečka čtvercová a větší než tečka vpravo.)
většina zbytku zápisu v PM byla vynalezena Whiteheadem.
úvod do notace „sekce a matematická logika“ (vzorce ✸1-5 5.71) editace
tečky PM se používají podobným způsobem jako závorky. Každá tečka (nebo více teček) představuje buď levou nebo pravou závorku nebo logický symbol ∧. Více než jedna tečka označuje „hloubku“ závorek, například „.“, „: „nebo“:.“, „::“. Pozice odpovídající pravé nebo levé závorky však není v notaci výslovně uvedena, ale musí být odvozena z některých pravidel, která jsou složitá a občas nejednoznačná. Navíc, když tečky znamenají logický symbol, je třeba odvodit jeho levý a pravý operand pomocí podobných pravidel. Nejprve se musí na základě kontextu rozhodnout, zda tečky znamenají levou nebo pravou závorku nebo logický symbol. Pak se člověk musí rozhodnout, jak daleko je druhá odpovídající závorka: zde člověk pokračuje, dokud se nesetká buď s větším počtem teček, nebo se stejným počtem teček, které mají stejnou nebo větší „sílu“, nebo konec řádku. Tečky vedle známky ⊃, ≡,∨, =Df mají větší platnost než tečky vedle (x), (∃x) a tak dále, které mají větší platnost než tečky označující logický součin ∧.
Příklad 1. Řádek
✸3.4. ⊢ : str . q. ⊃ . p ⊃ q
odpovídá
⊢ ((p q q) ⊃ (p q q)).
dvě tečky stojící vedle sebe bezprostředně po znaménku tvrzení naznačují, že to, co se tvrdí, je celý řádek: protože existují dva z nich, jejich rozsah je větší než rozsah kterékoli z jednotlivých teček napravo. Nahrazují se levou závorkou stojící tam, kde jsou tečky, a pravou závorkou na konci vzorce, tedy:
⊢ (str . q. ⊃ . p q q).
(v praxi jsou tyto nejvzdálenější závorky, které uzavírají celý vzorec, obvykle potlačeny.) První z jednotlivých teček, stojící mezi dvěma výrokovými proměnnými, představuje konjunkci. Patří do třetí skupiny a má nejužší rozsah. Zde je nahrazen moderním symbolem pro konjunkci“∧“, tedy
⊢ (p q q . ⊃ . p q q).
dvě zbývající jednotlivé tečky vyberou hlavní spojnici celého vzorce. Ilustrují užitečnost bodové notace při výběru těch spojiv, která jsou relativně důležitější než ta, která je obklopují. Jedna nalevo od „⊃“ je nahrazen dvojicí závorek, správně jde tam, kde je tečka a levá jde tak daleko, na levé straně, jak je to možné bez překračování skupiny teček větší silou, v tomto případě dvě tečky, které následují tvrzení-znamení, tedy
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)
tečka vpravo od „⊃“ je nahrazen levá závorka, který jde tam, kde je tečka a pravá závorka, který jde tak daleko doprava, jak je to možné, aniž by nad rámec již stanovených skupiny teček větší silou (v tomto případě dvě tečky, které následovaly tvrzení-znamení). Takže pravá závorka, který nahrazuje tečka vpravo od „⊃“ je umístěna před pravou závorku, která nahrazuje dvě tečky následující tvrzení-znamení, tedy
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
příklad 2 s dvojitými, trojitými a čtyřlůžkovými tečkami:
9 9.521. .:: (x x). φx . ⊃ . otázka:⊃ :. (∃x). φx . v. r : ⊃ . q v r,
je zkratka pro
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Příklad 3, s manželskou tečka označující logický symbol (z objemu 1, strana 10):
p⊃q:q⊃r⊃.p⊃r
je zkratka pro
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
double dot představuje logický symbol ∧ a může být viděn jako mají vyšší prioritu jako non-logické jednu tečku.
později v sekci ✸14 se objeví závorky „“a v sekcích ✸20 a následujících závorky“ { }“. Zda tyto symboly mají specifické významy nebo jsou pouze pro vizuální objasnění, není jasné. Bohužel jediná tečka (ale také „:“,“:.“, „::“, atd.) se používá také symbolizovat „logický součin“ (soudobé logické A často symbolizované „&“ nebo „∧“).
logická implikace je reprezentována Peanovým“ Ɔ „zjednodušeným na“⊃“, logická negace je symbolizována protáhlou vlnovkou, tj. “ ~ „(současná “ ~ „nebo““), logická nebo „v“. Symbol „=“ spolu s “ Df „se používá k označení „je definován jako“, zatímco v oddílech ✸13 a následujících je “ = „definován jako (matematicky) „identický s“, tj. současná matematická „rovnost“ (srov. diskuse v oddíle ✸13). Logické ekvivalence je reprezentován „≡“ (současný „tehdy a jen tehdy, když“); „základní“ výroková funkce jsou psány obvyklým způsobem, např. „f(p)“, ale později funkci, podepsat se objeví přímo před proměnné bez závorek např. „φx“, „xx“, atd.
příklad PM zavádí definici „logického produktu“ následovně:
3. 3.01. p. q.=. ~(~p v ~q) Df.kde “ str . q “ je logickým produktem p a q. ✸3.02. p q q r r.=. p q q . q r r Df.Tato definice slouží pouze ke zkrácení důkazů.
překlad vzorců do současných symbolů: různí autoři používají alternativní symboly, takže žádný definitivní překlad nemůže být uveden. Nicméně kvůli kritice, jako je kritika Kurta Gödela níže, bude nejlepší současná léčba velmi přesná s ohledem na „pravidla formování“ (syntaxe) vzorců.
první vzorec lze převést na moderní symboliku následovně:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
střídavě
(p & q) =df ((p v q))
střídavě
(p ∧ q) =df ((p v q))
atd.
druhý vzorec může být převeden takto:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Ale všimněte si, že to není (logicky) ekvivalentní (p → (q → r)) ani ((p → q) → r), a tyto dvě nejsou logicky ekvivalentní.
úvod do notace „sekce B teorie zdánlivých proměnných“ (vzorce ✸8-14 14.34) upravit
tyto oddíly se týkají toho, co je nyní známé jako predikátová logika, a predikátová logika s identitou (rovnost).
- Pozn.: v důsledku kritiky a pokroků nahrazuje druhé vydání PM (1927) ✸9 novým ✸8 (Příloha A). Tato nová část eliminuje rozlišení prvního vydání mezi reálnými a zdánlivými proměnnými a eliminuje „primitivní myšlenku“ tvrzení výrokové funkce“. Chcete-li přidat ke složitosti léčby, ✸8 zavádí pojem nahrazení „matice“ a shefferův tah:
- matice: V současném použití je PM ‚ s matrix (alespoň pro výrokové funkce), tabulka pravdy, tj. všechny pravdivé hodnoty výrokové nebo predikátové funkce.
- Sheffer stroke: Je moderní logický NAND (NOT-AND), tj. „neslučitelnosti“, což znamená:
„Dány dva výroky p a q, pak p | q‘ znamená „propozice p je neslučitelné s návrhem q“, tj., pokud jsou oba výroky p a q vyhodnotit jako pravdivé, pak a teprve pak p | q vyhodnocuje jako false.“Po sekci ✸8 shefferův tah nevidí žádné použití.
oddíl ✸10: existenciální a univerzální „operátoři“: PM přidává „(x)“ představují moderní symbolika „pro všechna x „, tj. „∀x“, a to používá opačně serifed E představují „existuje x“, tj. „(Ǝx)“, tj. současného „∃x“. Typický zápis by byl podobný následujícímu:
„(x) . φx „znamená“ pro všechny hodnoty proměnné x, funkce φ se vyhodnotí na true „“ (Ǝx) . φx“ znamená „pro některé hodnoty proměnné x, funkce φ vyhodnocen jako true“
Sekce ✸10, ✸11, ✸12: Vlastnosti proměnné rozšířena na všechny osoby: oddíl ✸10 zavádí pojem „vlastnictví“ a „proměnné“. PM dává příklad: φ je funkce, která označuje „je řecké“, a ψ označuje „je člověk“, a označuje χ „je smrtelný“ tyto funkce pak aplikovat na proměnné x. PM lze nyní psát a hodnotit:
(x) . ψx
výše uvedený zápis znamená „pro všechny x, x je člověk“. Vzhledem ke sbírce jednotlivců lze vyhodnotit výše uvedený vzorec pro pravdu nebo nepravdu. Například vzhledem k omezené sbírce jednotlivců { Sokrates, Platón, Russell, Zeus } výše uvedené hodnotí jako „pravdivé“, pokud dovolíme, aby Zeus byl mužem. Ale selže pro:
(x) . φx
protože Russell není řek. A selže pro
(x) . xx
protože Zeus není smrtelník.
vybaven tímto zápisem PM může vytvořit vzorce vyjadřující následující: „pokud jsou všichni Řekové muži a pokud jsou všichni lidé smrtelníci, pak všichni Řekové jsou smrtelníci“. (PM 1962: 138)
(x). φxxx: (x). .x xx xx: x: (x) . φx ⊃ xx
další příklad: vzorec:
10 10.01 . (xx). φx . = . ~(x) . – φx Df.
znamená „symboly reprezentující tvrzení ‚existuje alespoň jedno x, které splňuje funkci φ‘ je definován symboly reprezentující tvrzení, ‚že To není pravda, že, vzhledem k tomu, všechny hodnoty x, nejsou tam žádné hodnoty x splňující φ'“.
symboly ⊃x a „≡x “ se zobrazují na ✸10.02 a ✸10.03. Pro všechny), které spojují proměnnou x s logickým operátorem. Současná notace by jednoduše použila závorky mimo znaménko rovnosti ( “ = “ ):
✸10.02 φx x x ψx .=. (x). φxxx dfdočasná notace: ∀x(φ(x) → ψ (x)) (nebo varianta) ✸10.03 φx x XXX .=. (x). φxxx dfdočasná notace: ∀x (φ(x) ↔ ψ (X)) (nebo varianta)
pm připisuje první symboliku peanovi.
ODDÍL ✸11 použije tuto symboliku na dvě proměnné. Následující zápisy: ⊃x ,y y ,x x, y se tedy mohou objevit v jediném vzorci.
oddíl ✸12 znovu zavádí pojem „matice“ (současná tabulka pravdy), pojem logických typů, a zejména pojmy funkcí a výroků prvního a druhého řádu.
nová symbolika “ φ ! x “ představuje libovolnou hodnotu funkce prvního řádu. Pokud & „“ je umístěn nad proměnnou, pak je to „individuální“ hodnotu y, což znamená, že „soubor“ znamená „lidé“ (např. řádek v pravdivostní tabulce); toto rozlišení je nutné, protože matice/extenzionální povahy výrokové funkce.
Nyní vybaveny matice pojem, PM, mohou uplatnit své kontroverzní axiom redukovatelnost: funkce jedné nebo dvou proměnných (dva jsou dostatečné pro PM ‚s použití), kde jsou všechny jeho hodnoty jsou uvedeny (tj., ve své matici) je (logicky) ekvivalentní ( “ ≡ „) nějaké „prediktivní“ funkci stejných proměnných. Definice jedné proměnné je uvedena níže jako ilustrace notace (PM 1962: 166-167):
✸12.1 ⊢: (Ǝ f): φx.x x. f ! x Pp;
Pp je „Primitivní návrh“ („Teze předpokládá, že bez důkazů“) (PM 1962:12, tj. současného „axiomy“), čímž se 7 definovanými v oddíle ✸1 (počínaje ✸1.1 modus ponens). Ty je třeba odlišit od „primitivní nápady“, které zahrnují tvrzení znamení „⊢“, negace „~“, logické NEBO „V“, pojmy „základní návrh“ a „elementární výroková funkce“; tyto jsou tak blízko, jak je PM je dodáván s pravidly notační formace, tj. syntaxe.
To znamená: „Budeme prosazovat pravdu o následující: existuje funkce f a s vlastností, že: vzhledem k tomu, všechny hodnoty x, jejich hodnocení ve funkci φ (tj. jejich výsledné matice), je logicky ekvivalentní k f hodnoceny na ty stejné hodnoty x. (a naopak, proto je logické ekvivalence)“. Jinými slovy: vzhledem k matici určené vlastností φ aplikovanou na proměnnou x existuje funkce f, která je při aplikaci na x logicky ekvivalentní matici. Nebo: každá matice φx může být reprezentována funkcí f aplikovanou na x a naopak.
13 13: operátor identity“=“: toto je definice, která používá znaménko dvěma různými způsoby, jak uvádí citace z PM:
13 13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
znamená:
“ tato definice uvádí, že x a y se nazývají identické, když každá prediktivní funkce splněná x je také uspokojena y … Všimněte si, že druhý znak rovnosti ve výše uvedené definici je kombinován s „Df“, a proto není ve skutečnosti stejný symbol jako znak rovnosti, který je definován.“
znaménko “ ≠ “ se jeví jako definice na ✸13.02.
14 14: popis:
„popis je fráze formy“ termín y, který splňuje φŷ, kde φŷ je nějaká funkce splněná jedním a jediným argumentem.“
Z tohoto PM využívá dva nové symboly, dopředné “ E „a obrácenou iotu“℩“. Zde je příklad:
14 14.02 . E ! (℩y) (φy) .= : (Ǝb):φy . ≡y . y = b Df.
to má význam:
„y uspokojující φŷ existuje“, který platí kdy, a pouze tehdy, když φŷ je splněn jednou hodnotou y a žádnou jinou hodnotou.“(PM 1967:173-174)
Úvod do zápisu z teorie tříd a relationsEdit
text skoky z oddílu ✸14 přímo k základní oddíly ✸20 OBECNÉ TEORIE TŘÍD a ✸21 OBECNÁ TEORIE VZTAHŮ. „Vztahy“ jsou v současné teorii množin známé jako množiny uspořádaných párů. Sekce ✸20 a 22 22 představují mnoho symbolů, které se stále používají. Patří mezi symboly „ε“, „⊂“, „∩“, „∪“, „–“, „Λ“, a „V“: „ε“ znamená „je prvek“ (PM 1962:188); „⊂“ (✸22.01) znamená „je obsažen v“, „je podmnožinou“; „∩“ (✸22.02) značí průnik (logický součin) tříd (množin); „∪“ (✸22.03) znamená unie (logický součet) tříd (množin); „–“ (✸22.03) znamená negace třídy (set); „Λ“ značí null třídy; a „V“ znamená univerzální třídu nebo vesmír diskurzu.
malá řecká písmena (jiná než „ε“, „ι“, „π“, „φ“, „ψ“, „χ“ a „θ“) představují třídy (např. „α“, „β“, „γ“,“ δ “ atd.) (PM 1962:188):
x ε α“použití jediného písmene místo symbolů jako ẑ(φz) nebo ẑ (φ ! z) je prakticky téměř nepostradatelný, protože jinak se notace rychle stává nesnesitelně kumulativní. Takže ‚x ε α‘ bude znamenat ‚x je členem třídy α'“. (PM 1962: 188) α ∪ –α = vspojení množiny a její inverzní je univerzální (dokončená) množina. α ∩ – α = Λprůsečík množiny a její inverzní je nulová (prázdná) množina.
při použití na vztahy v sekci ✸23 počet vztahů se symboly „⊂“, „∩“, „∪“, a “ – “ získat tečku: například:“⊍“,“∸“.
pojem, a zápis, „třídy“ (nastavení): V prvním vydání PM tvrdí, že žádné nové primitivní nápady jsou nezbytné definovat, co je míněno „třídy“, a jen dva nové „primitivní tvrzení“ nazývá axiomy redukovatelnost pro třídy a vztahy (PM 1962:25). Než však bude možné tento pojem definovat, považuje PM za nutné vytvořit zvláštní notaci “ ẑ (φz)“, kterou nazývá „fiktivní objekt“. (PM 1962:188)
⊢: x ε ẑ (φz) .≡. (φx) “ tj. ‚ x je člen třídy určené (φẑ)‘ je ekvivalentní ‚ x ‚(φẑ), ‚nebo‘ (φx) je pravda.'“. (PM 1962:25)
alespoň ODPOLEDNE můžete říct, čtenář, jak se tyto fiktivní objekty se chovají, protože „třída je zcela určitý, když jeho členství je známo, že tam nemohou být dvě různé třídy mají stejný členství“ (PM 1962:26). Toto je symbolizováno následující rovností (podobně jako ✸13.01 výše:
ẑ(φz) = ẑ (ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx “ toto poslední je rozlišovací charakteristika tříd a ospravedlňuje nás v zacházení s ẑ (ψz)jako s třídou určenou ψẑ.“(PM 1962:188)
Možná, že výše uvedené může být provedeno jasnější diskuse třídy v Úvodu Druhé Vydání, které disponuje Axiom Redukovatelnost a nahradí jej s pojmem: „Všechny funkce funkce jsou extenzionální“ (PM 1962:xxxix), tj.,
φx ≡x ψx .⊃. (x): ƒ(φẑ) ≡ ƒ(pm) (pm 1962:xxxix)
Tento má rozumné smyslu, že „POKUD pro všechny hodnoty x pravdu-hodnoty funkce φ a ψ x jsou ekvivalentní, PAK je funkce ƒ dané φẑ a ƒ z ψẑ jsou rovnocenné.“PM tvrdí, že je to „zřejmé“:
“ to je zřejmé, protože φ může nastat pouze v ƒ(φẑ) nahrazením hodnot φ pro p, q, r, … ve funkci, a pokud φx ≡ ψx, substituce φx pro p ve funkci dává stejné pravdivostní hodnotu pravdu-fungují jako substituce ψx. V důsledku toho již není důvod rozlišovat mezi třídami funkcí, protože na základě výše uvedeného máme φx ≡x ψx .⊃. (x). φẑ = . ψẑ“.
pozorujte změnu znaménka rovnosti “ = “ vpravo. PM dále uvádí, že bude i nadále viset na notaci “ ẑ (φz)“, ale to je pouze ekvivalentní φẑ, a to je třída. (všechny citace: PM 1962: xxxix).