Definition
et polynom i variablen er en funktion, der kan skrives i formularen,
hvor en, an-1 , …, a2, a1, a0 er konstanter. Vi kalder udtrykket, der indeholder den højeste effekt af H (dvs. angst) det førende udtryk, og vi kalder en den førende koefficient. Graden af polynomet er kraften i H i det førende udtryk. Vi har allerede set grad 0, 1 og 2 polynomer, som var henholdsvis de konstante, lineære og kvadratiske funktioner. Grad 3, 4 og 5 polynomer har også særlige navne: kubiske, kvartiske og kintiske funktioner. Polynomer med grad n > 5 kaldes bare nth grad polynomer. Navnene på forskellige polynomfunktioner er opsummeret i nedenstående tabel.
| Degree of the polynomial | Name of the function |
| 0 | Constant function |
| 1 | Linear function |
| 2 | Quadratic function |
| 3 | Cubic function |
| 4 | Quartic function |
| 5 | Quintic Function |
| n (where n > 5) | nth degree polynomial |
Some examples of polynomials include:
den begrænsende adfærd af polynomer
den begrænsende adfærd af en funktion beskriver, hvad der sker med funktionen som. Graden af et polynom og tegnet på dets førende koefficient dikterer dets begrænsende adfærd. Især
disse resultater er opsummeret i nedenstående tabel.
du kan bruge disse oplysninger til at bestemme, om et polynom har ulige eller lige grad, og om den førende koefficient er positiv eller negativ, blot ved at inspicere dens graf.
følgende grafer af polynomer eksemplificerer hver af de adfærd, der er skitseret i ovenstående tabel.
rødder og vendepunkter
graden af et polynom fortæller dig endnu mere om det end den begrænsende adfærd. Specifikt kan et nth grad polynom højst have N reelle rødder (n-aflytninger eller nuller), der tæller multiplikationer. Antag for eksempel, at vi ser på et 6.graders polynom, der har 4 forskellige rødder. Hvis to af de fire rødder har multiplicitet 2 og den anden 2 har multiplicitet 1, ved vi, at der ikke er andre rødder, fordi vi har tegnet os for alle 6 rødder. Dette skyldes, at rødderne med en mangfoldighed på to (også kendt som dobbeltrødder) tælles som to rødder.
Vær opmærksom på, at et nth grad polynom ikke behøver at have N reelle rødder — det kunne have mindre, fordi det har imaginære rødder. Bemærk, at et ulige grad polynom skal have mindst en reel rod, da funktionen nærmer sig-kurr i den ene ende og + kurr i den anden; en kontinuerlig funktion, der skifter fra negativ til positiv, skal krydse h – aksen et sted imellem. Derudover kan et nth grad polynom højst have N-1 vendepunkter. Et vendepunkt er et punkt, hvor funktionen ændres fra stigende til faldende eller faldende til stigende som det ses i nedenstående figur. Igen behøver en nth grad polynom ikke have N-1 vendepunkter, det kunne have mindre.
advarsel
det er vigtigt at indse forskellen mellem lige og ulige funktioner og lige og ulige grad polynomer. Enhver funktion, f (H), er enten selvom,
f(−H) = H,
for alle H i domænet for f(H), eller ulige hvis,
f(−H) = −H,
for alle H i domænet for f(H), eller hverken lige eller ulige, hvis ingen af ovenstående er sande udsagn. en KTH grad polynom, p, siges at have lige grad, hvis k er et lige tal og ulige grad, hvis k er et ulige tal. Husk, at selvom p (H) har en jævn grad, er det ikke nødvendigvis en jævn funktion. Ligeledes, hvis p(H) har ulige grad, er det ikke nødvendigvis en ulige funktion.
Vi bruger også udtrykkene lige og ulige til at beskrive rødder af polynomer. Et polynom er et polynom, der har rod K = A af multiplicitet k(dvs.A er en rod gentaget k gange) hvis (K − A) k er en faktor af p (k). Vi siger, at H = A har lige multiplicitet, hvis k er et lige tal og ulige multiplicitet, hvis k er et ulige tal.
Domæne og rækkevidde
alle polynomer har det samme domæne, som består af alle reelle tal. Rækken af ulige grad polynomer består også af alle reelle tal. Rækken af lige grad polynomer er lidt mere kompliceret, og vi kan ikke eksplicit angive rækkevidden af alle lige grad polynomer. Hvis den førende koefficient er positiv, vil funktionen strække sig til + kr.; mens hvis den førende koefficient er negativ, vil den strække sig til – kr. Dette betyder, at selv grad polynomer med positiv førende koefficient har rækkevidde, hvor ymaks angiver det globale maksimum, som funktionen opnår. Generelt er det ikke muligt analytisk at bestemme Maksima eller minima for polynomer.
*****
i det næste afsnit lærer du polynomisk Opdeling, en teknik, der bruges til at finde rødderne til polynomfunktioner.
polynomisk division