en forfatter bemærker, at “notationen i dette værk er blevet afløst af den efterfølgende udvikling af logik i det 20.århundrede, i det omfang begynderen overhovedet har problemer med at læse PM”; mens meget af det symbolske indhold kan konverteres til moderne notation, er selve den originale notation “et emne for videnskabelig tvist”, og en vis notation “inkorporerer materielle logiske doktriner, så den ikke blot kan erstattes af nutidig symbolik”.”det er at beklage, at denne første omfattende og grundig igangværende præsentation af en matematisk logik og afledning af matematik fra det så stærkt mangler i Formel præcision i fundamenterne (indeholdt i kar 1-kar 21 af Principia), at det repræsenterer i denne henseende et betydeligt skridt baglæns i forhold til Frege. Det, der først og fremmest mangler, er en præcis erklæring om formalismens syntaks. Syntaktiske overvejelser udelades, selv i tilfælde, hvor de er nødvendige for bevisernes cogency”.
dette afspejles i nedenstående eksempel på symbolerne “p”, “k”, “r” og “K”, der kan formes til strengen “p k k k k”. PM kræver en definition af, hvad denne symbolstreng betyder med hensyn til andre symboler; i nutidige behandlinger ville “formationsreglerne” (syntaktiske regler, der fører til “velformede formler”) have forhindret dannelsen af denne streng.
kilde til notationen: kapitel i” foreløbige forklaringer af ideer og notationer ” begynder med kilden til de elementære dele af notationen (symbolerne =prit-pritv og systemet med prikker):
“notationen, der er vedtaget i det nuværende arbejde, er baseret på Peanos, og de følgende forklaringer er til en vis grad modelleret efter dem, som han præfikser til sin Formulario Mathematico . Hans brug af prikker som parenteser er vedtaget, og det samme er mange af hans symboler” (PM 1927:4).
PM ændrede Peanos Purpur til purpur, og vedtog også et par af Peanos senere symboler, som f.eks.
PM vedtager påstandstegnet “Kris” fra Frege ‘s 1879 Begriffsschrift:
” (I)T kan læses ‘det er sandt, at ‘”
således at hævde et forslag p PM skriver:
“⊦. s. ” (PM 1927:92)
(Bemærk, at som i originalen er venstre prik firkantet og af større størrelse end perioden til højre.)
det meste af resten af notationen i PM blev opfundet af hvidhoved.
en introduktion til notationen af “sektion A matematisk logik” (formler list 1–list 5.71)Rediger
PM ‘s prikker bruges på en måde svarende til parenteser. Hver prik (eller flere prikker) repræsenterer enten en venstre eller højre parentes eller det logiske symbol. Mere end en prik angiver “dybden” af parenteserne, for eksempel “.”, “: “eller”:.”, “::”. Imidlertid er placeringen af den matchende højre eller venstre parentes ikke angivet eksplicit i notationen, men skal udledes af nogle regler, der er komplekse og til tider tvetydige. Desuden, når prikkerne står for et logisk symbol, skal dets venstre og højre operander udledes ved hjælp af lignende regler. Først skal man beslutte ud fra kontekst, om prikkerne står for en venstre eller højre parentes eller et logisk symbol. Så skal man beslutte, hvor langt den anden tilsvarende parentes er: her fortsætter man, indtil man møder enten et større antal prikker eller det samme antal prikker næste, der har lige eller større “kraft” eller slutningen af linjen. Prikker ved siden af skiltene har større kraft end prikker ved siden af (H), (H) osv., som har større kraft end prikker, der angiver et logisk produkt h).
eksempel 1. Linjen
til 3.4. LR : s . q. ⊃ . p-værdien
svarer til
– værdien ((p – værdien) værdien (p-værdien)).
de to prikker, der står sammen umiddelbart efter påstandstegnet, indikerer, at det, der hævdes, er hele linjen: da der er to af dem, er deres omfang større end for nogen af de enkelte prikker til højre for dem. De erstattes af en venstre parentes, der står, hvor prikkerne er, og en højre parentes i slutningen af formlen, således:
List (s . q. ⊃ . p-k).
(i praksis undertrykkes disse yderste parenteser, som omslutter en hel formel, normalt.) Den første af de enkelte prikker, der står mellem to propositionelle variabler, repræsenterer sammenhæng. Det tilhører den tredje gruppe og har det smaleste omfang. Her er det erstattet af det moderne symbol for konjunktion “Kristian”, således
Kristian . ⊃ . p-k).
de to resterende enkelte prikker udvælger hovedforbindelsen af hele formlen. De illustrerer nytten af dot notation i plukke ud de forbindelser, som er relativt vigtigere end dem, der omgiver dem. Den ene til venstre for “kristen” erstattes af et par parenteser, den højre går, hvor prikken er, og den venstre går så langt til venstre, som den kan, uden at krydse en gruppe prikker med større kraft, i dette tilfælde de to prikker, der følger påstandstegnet, således
list ((p list k) list . prikken til højre for” kristen ” erstattes af en venstre parentes, der går, hvor prikken er, og en højre parentes, der går så langt til højre som muligt uden at gå ud over det omfang, der allerede er fastlagt af en gruppe prikker med større kraft (i dette tilfælde de to prikker, der fulgte påstandstegnet). Så den højre parentes, der erstatter prikken til højre for “kristen”, placeres foran den højre parentes, der erstattede de to prikker efter påstandstegnet, således listen ((p listen k) liren (p listen k)).
eksempel 2, med dobbelt, tredobbelt og firdobbelt prikker:
lot 9.521. til: (til). – Nej . ⊃ . spørgsmål: Hr. (kr.). – Nej . v. r: Hr. q v r
står for
((((∃x)(φx)) ⊃ q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ q v, r)))
Eksempel 3, med en dobbelt prik angiver en logisk symbol (fra bind 1, side 10):
⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
står for
(p⊃q) ∧ (q⊃r)⊃(p⊃r))
hvor dobbelt prik repræsenterer den logiske symbol ∧ og kan ses som havende den højeste prioritet, som en ikke-logisk, enkelt prik.
senere i Afsnit 14 vises parenteser””, og i Afsnit 20 og efterfølgende vises seler” {}”. Hvorvidt disse symboler har specifikke betydninger eller kun er til visuel afklaring er uklart. Desværre den enkelte prik (men også “:”, “:.”, “::”, osv.) bruges også til at symbolisere “logisk produkt” (nutidig logisk og ofte symboliseret ved “&” eller “larp”).
logisk implikation er repræsenteret af Peanos “kursist” forenklet til “kursist”, logisk negation er symboliseret ved en langstrakt tilde, dvs. ” ~ “(nutidig ” ~ “eller””), den logiske eller ved”v”. Symbolet ” = ” sammen med “Df” bruges til at indikere “er defineret som”, mens i Afsnit 13 og efterfølgende ” = ” er defineret som (matematisk) “identisk med”, dvs.moderne matematisk “lighed” (jf. diskussion i Afsnit 13). Logisk ækvivalens er repræsenteret af ” Kris “(nutidig” hvis og kun hvis”);” elementære “propositionelle funktioner er skrevet på den sædvanlige måde, f.eks.” f(p)”, men senere vises funktionstegnet direkte foran variablen uden parentes, f. eks.
eksempel, PM introducerer definitionen af “logisk produkt” som følger:
til 3.01. p. q.=. DF.hvor ” S . “er det logiske produkt af p og K. 3.02. p k k k r .=. p kr . dkr DF.Denne definition tjener kun til at forkorte bevis. oversættelse af formlerne til nutidige symboler: forskellige forfattere bruger alternative symboler, så der kan ikke gives nogen endelig oversættelse. På grund af kritik som Kurt g Kurtdel nedenfor vil de bedste moderne behandlinger imidlertid være meget præcise med hensyn til formlernes “formationsregler” (syntaks).
den første formel kan konverteres til moderne symbolik som følger:
(p & k) =df (~(~p v ~k))
skiftevis
(p & k) =df ((p v k))
skiftevis
(p k k) =df ((p v k))
etc.
Den anden formel kan omregnes som følger:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Men bemærk, at dette ikke er (logisk) svarende til (p → q → r)) eller ((p → q) → r), og disse to er ikke logisk ækvivalent enten.
en introduktion til notationen af “sektion B teori om tilsyneladende variabler” (formler list 8–list 14.34) Rediger
disse afsnit vedrører det, der nu er kendt som prædikatlogik, og prædikatlogik med identitet (lighed).
- NB: som et resultat af kritik og fremskridt erstatter den anden udgave af PM (1927) 9 med en ny 8 (tillæg a). Dette nye afsnit eliminerer den første udgaves skelnen mellem reelle og tilsyneladende variabler, og det eliminerer “den primitive ide ‘påstand om en propositionel funktion’. For at tilføje til kompleksiteten af behandlingen introducerer karrus 8 begrebet at erstatte en “matrice” og Sheffer-slagtilfælde:
- Matrice: I moderne brug er PM ‘ s matrice (i det mindste for propositionelle funktioner), en sandhedstabel, dvs.alle sandhedsværdier for en propositionel eller prædikatfunktion.
- Sheffer stroke: er den moderne logiske NAND (ikke-Og), dvs. “inkompatibilitet”, hvilket betyder:
“givet to propositioner p og K, betyder’ p | k ‘ “proposition p er uforenelig med proposition k”, dvs. hvis begge propositioner p og K evalueres som sande, derefter og først derefter evalueres p | K som falske.”Efter sektion L. 8 Sheffer slagtilfælde ser ingen brug.
afsnit 10: de eksistentielle og universelle “operatører”: Det betyder, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl om, at der ikke er nogen tvivl. Den typiske notation svarer til følgende:
“. “betyder” for alle værdier af variabel”, funktion “evalueres til sand”” (“). φx” betyder “for nogle værdien af variablen x, funktion φ evalueres til true”
Afsnit ✸10, ✸11, ✸12: Egenskaber af en variabel udvidet til at omfatte alle personer, der: § ✸10 introducerer begrebet “en ejendom” af en “variabel”. PM giver eksemplet: det er en funktion, der angiver “er en græsk”, og det betyder “er en mand”, og det betyder “er en dødelig”. notationen ovenfor betyder “for alle H, H er en mand”. I betragtning af en samling individer kan man evaluere ovenstående formel for sandhed eller falskhed. I betragtning af den begrænsede samling af individer { Socrates, Platon, Russell, seus } vurderer ovenstående til “sandt”, hvis vi tillader, at seus er en mand. Men det mislykkes for:
(H) . fordi Russell ikke er græsk. Og det fejler for. P. P., fordi han ikke er dødelig.
udstyret med denne notation PM kan oprette formler til at udtrykke følgende: “Hvis alle grækere er mænd, og hvis alle mennesker er dødelige, så er alle grækere dødelige”. (PM 1962: 138)
(S). (h). Hr. Hr.: Hr. Hr. et andet eksempel :formlen: 10.01. (C). – Nej . = . ~(h). -DF.
betyder “symbolerne, der repræsenterer påstanden”der findes mindst en, der tilfredsstiller funktionen”, defineres af symbolerne, der repræsenterer påstanden “det er ikke sandt, at der i betragtning af alle værdier af “ikke er nogen værdier af”, der tilfredsstiller””.
symbolerne “P. K.” og “P. K.” vises på 10.02 og 10.03. Begge er forkortelser for universalitet (dvs.for alle), der binder variablen til den logiske operator. Moderne notation ville simpelthen have brugt parenteser uden for lighedstegnet ( ” = ” ):
10,02 10 .=. (h). dfmdfmdsmidlertidig notation: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (eller en variant af den) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (h). den første symbolik er Peano.
sektion list 11 anvender denne symbolik på to variabler. Således kan følgende notationer: Kr., Kr., Kr., Kr., Kr., Kr. alle vises i en enkelt formel.
Afsnit 12 genindfører begrebet” matrice ” (moderne sandhedstabel), begrebet logiske typer og især begreberne førsteordens og andenordens funktioner og propositioner.
ny symbolik ” Kristian ! “repræsenterer enhver værdi af en førsteordens funktion. Hvis en omkreds “” er placeret over en variabel, så er dette en “individuel” værdi af y, hvilket betyder, at “Kristus” angiver “individer” (f.eks. en række i en sandhedstabel); denne skelnen er nødvendig på grund af matricen/udvidelsen af propositionelle funktioner.
nu udstyret med matricen begrebet, PM kan hævde sin kontroversielle aksiom af reducerbarhed: en funktion af en eller to variabler (to er tilstrækkelige til PM ‘s brug), hvor alle dens værdier er givet (dvs., i sin matrice) er (logisk) ækvivalent (“Kris”) til en eller anden “predikativ” funktion af de samme variabler. Definitionen af en variabel er angivet nedenfor som en illustration af notationen (PM 1962:166-167):
12.1 1: 1 .Hr. f ! Pp;
Pp er en “primitiv proposition” (“propositioner antaget uden bevis”) (PM 1962:12, dvs.moderne “aksiomer”), der tilføjer til de 7, der er defineret i afsnit lot 1 (startende med lot 1.1 modus ponens). Disse skal skelnes fra de “primitive ideer”, der inkluderer påstandstegnet “Kristian”, negation”~”, logisk eller “V”, begreberne “elementær proposition” og “elementær propositionel funktion”; disse er så tæt som PM kommer til Regler for notational dannelse, dvs.syntaks.
dette betyder: “Vi hævder sandheden om følgende: Der findes en funktion f med egenskaben, som: givet alle værdier af H, deres evalueringer i funktion, er logisk ækvivalent med nogle f evalueret ved de samme værdier af H. (og omvendt, dermed logisk ækvivalens)”. Med andre ord: givet en matrice bestemt af ejendom, der er anvendt på variabel K, findes der en funktion f, der, når den anvendes på K, logisk svarer til matricen. Eller: hver matrice kan repræsenteres af en funktion f anvendt på H og omvendt.
L. 13: identitetsoperatøren”=”: dette er en definition, der bruger tegnet på to forskellige måder, som det fremgår af citatet fra PM:
L. 13.01. = y . =: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y DF
betyder:
” denne definition siger, at h og y skal kaldes identiske, når hver predikativ funktion, der er opfyldt af H, også er opfyldt af y … Bemærk, at det andet tegn på lighed i ovenstående definition kombineres med “Df”, og er således ikke rigtig det samme symbol som det tegn på lighed, der er defineret.”
ikke-lighedstegnet” Kristian ” fremstår som en definition på Kristian 13.02.
L. 14: beskrivelser:
“en beskrivelse er en sætning i formularen “udtrykket y, der tilfredsstiller L. A., hvor L. A. er en funktion, der er opfyldt af et og kun et argument.”
fra denne PM anvender to nye symboler, en fremadrettet “E” og en omvendt IOTA “Kristian”. Her er et eksempel:
til 14.02. E ! (Hr. y) (Hr.= : (Venstre): venstre . Hr. Y. y = b Df.
dette har betydningen:
“Den y-tilfredsstillende Kris eksisterer”, som holder hvornår, og kun når Kris er tilfreds med en værdi af Y og af ingen anden værdi.”(PM 1967: 173-174)
Introduktion til notationen af teorien om klasser og relationerredit
teksten springer fra sektion kar 14 direkte til de grundlæggende sektioner kar 20 generel teori om klasser og kar 21 generel teori om relationer. “Relationer” er det, der er kendt i moderne sætteori som sæt af ordnede par. Afsnit 20 og 22 introducerer mange af symbolerne, der stadig er i moderne brug. Disse omfatter symboler “ε”, “⊂”, “∩”, “∪”, “–”, “Λ”, og “V”: “ε” betyder “er et element af” (PM 1962:188); “⊂” (✸22.01) betyder “den, der er indeholdt i”, “er en delmængde af”; “∩” (✸22.02) angiver skæringspunktet (logisk produkt) af klasser (sæt); “∪” (✸22.03) betyder union (logisk sum) af klasser (sæt); “–” (✸22.03) betyder negation af en klasse (sæt); “L” betyder null klasse; og ” V ” betyder den universelle klasse eller univers af diskurs.
Små græske bogstaver (andre end “ε”, “i”, “q”, “φ”, “ψ”, “χ”, og “θ) repræsenterer klasser (fx, “α”, “β”, “γ”, “d” osv.) (PM 1962: 188):
“brugen af enkelt bogstav i stedet for symboler som f. eks. Å) er praktisk talt næsten uundværlig, da ellers notationen hurtigt bliver utålelig cumbrous. Således vil “K. K.” betyde, at K. er medlem af klassen K. K.”. (PM 1962: 188) kr. –kr. = V. Foreningen af et sæt og dets inverse er det universelle (færdige) sæt. et sæt og dets inverse er null (tomt) sæt.
når det anvendes på relationer i afsnit L. 23 beregning af relationer, symbolerne “⊂”, “∩”, “∪”, og ” – ” erhverve en prik: for eksempel: “venstre”, “højre”.
begrebet og notationen af “en klasse” (sæt): i den første udgave hævder PM, at ingen nye primitive ideer er nødvendige for at definere, hvad der menes med “en klasse”, og kun to nye “primitive propositioner” kaldet aksiomer for reducerbarhed for henholdsvis klasser og relationer (PM 1962:25). Men før dette begreb kan defineres, mener PM, at det er nødvendigt at skabe en ejendommelig notation “Kristian”, som den kalder et “fiktivt objekt”. (PM 1962: 188)
≡. “det vil sige, at” k er et medlem af den klasse, der bestemmes af (K) “svarer til” K opfylder (k), “eller til” (k) er sandt.'”. (PM 1962:25) mindst PM kan fortælle læseren, hvordan disse fiktive objekter opfører sig, fordi “en klasse er helt bestemt, når dens medlemskab er kendt, det vil sige, at der ikke kan være to forskellige klasser, der har det samme medlemskab” (PM 1962:26). Dette er symboliseret ved følgende lighed (svarende til lp 13.01 ovenfor: lp(lp) = lp(lp) . til højre : (til): til højre .≡. “dette sidste er klassernes karakteristiske træk og retfærdiggør os ved at behandle Kristus som den klasse, der er bestemt af Kristus.”(PM 1962: 188)
måske kan ovenstående gøres klarere ved diskussionen af klasser i Introduktion til anden udgave, der disponerer over Reduktionsaksiomet og erstatter det med forestillingen: “alle funktioner af funktioner er ekstensionelle” (PM 1962:…), dvs .⊃. (h): Hr. (Hr.) Hr.(Hr. 1962):(xxxix)
Dette er den rimelig hvilket betyder, at “HVIS der for alle værdier af x sandheden-værdier af funktionerne φ og ψ af x er tilsvarende, SÅ den funktion ƒ af en given φẑ og ƒ af ψẑ er ækvivalente.”PM hævder, at dette er “indlysende”:
“dette er indlysende, da kurr kan kun forekomme i kurr(kurr) ved substitution af værdier af kurr for p, k, r,… i en funktion giver substitutionen af p i en funktion den samme sandhedsværdi til sandhedsfunktionen som substitutionen af p i en funktion. Derfor er der ikke længere nogen grund til at skelne mellem funktionsklasser, for vi har i kraft af det ovenfor nævnte, at der er nogen grund til at skelne mellem funktionsklasser .⊃. (h). kr = . Hr.”.
Overhold ændringen til ligestillingen ” = ” tegn til højre. PM fortsætter med at sige, at det vil fortsætte med at hænge på notationen “Kristian”, men det svarer kun til Kristian, og det er en klasse. (alle citater: PM 1962:…).