Scale (map)

Definition: hvis P og P ligger på den samme meridian ( prit = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, betegnes meridianskalaen med h ( prit , prit ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definition: hvis P og P ligger på den samme parallel ( Prip = Prip / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, betegnes parallelskalaen med k ( Prip , Prip ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definition: hvis punktskalaen kun afhænger af position, ikke af retning, siger vi , at den er isotrop og konventionelt angiver dens værdi i en hvilken som helst retning ved hjælp af den parallelle skalafaktor k ( prisT, prisT ) {\displaystyle k(\lambda, \varphi )}

.

Definition: en kortprojektion siges at være konform, hvis vinklen mellem et par linjer, der krydser hinanden ved et punkt P, er den samme som vinklen mellem de projicerede linjer ved det projicerede punkt P’, for alle par linjer, der krydser hinanden ved punkt P. et konformt kort har en isotrop skalafaktor. Omvendt isotrope skalafaktorer på tværs af kortet indebærer en konform projektion.

isotropi af skala indebærer, at små elementer strækkes lige i alle retninger, det vil sige formen af et lille element bevares. Dette er egenskaben af orthomorphism (fra græsk ‘højre form’). Kvalifikationen ‘lille’ betyder, at der ved en given målenøjagtighed ikke kan påvises nogen ændring i skalafaktoren over elementet. Da konforme fremskrivninger har en isotrop skalafaktor, er de også blevet kaldt ortomorfe fremskrivninger. For eksempel er Mercator-projektionen konform, da den er konstrueret til at bevare vinkler, og dens skalafaktor er isotopisk, kun en funktion af breddegrad: Mercator bevarer form i små regioner.

Definition: på en konform projektion med en isotrop skala kan punkter, der har den samme skalaværdi, sammenføjes for at danne isoskalalinjerne. Disse er ikke plottet på kort til slutbrugere, men de findes i mange af standardteksterne. (Se Snyder side 203-206.)

den repræsentative fraktion (RF) eller hovedskalaedit

Der er to konventioner, der bruges til at fastlægge ligningerne for en given projektion. For eksempel kan den ækvivalentangulære cylindriske projektion skrives som

kartografer: s = a l {\displaystyle S=a\lambda }

y = a l {\displaystyle y=a\varphi }

matematikere: {\displaystyle y=\varphi }

y = liter {\displaystyle y=\varphi}

Her skal vi vedtage den første af disse konventioner (efter brugen i undersøgelserne af snyder). Det er klart, at ovenstående projektionsligninger definerer positioner på en enorm cylinder viklet rundt om Jorden og derefter rullet ud. Vi siger, at disse koordinater definerer projektionskortet, som skal skelnes logisk fra de faktiske trykte (eller viste) kort. Hvis definitionen af punktskala i det foregående afsnit er med hensyn til projektionskortet, kan vi forvente, at skalafaktorerne er tæt på enhed. For normale tangentcylindriske fremspring er skalaen langs ækvator k=1, og generelt ændres skalaen, når vi bevæger os væk fra ækvator. Analyse af skala på projektionskortet er en undersøgelse af ændringen af k væk fra dens sande værdi af enhed.

faktiske trykte kort produceres fra projektionskortet ved en konstant skalering betegnet med et forhold som 1:100m (for hele verdenskort) eller 1:10000 (For såsom byplaner). For at undgå forvirring i brugen af ordet ‘skala’ kaldes denne konstantskala fraktion den repræsentative fraktion (RF) af det trykte kort, og det skal identificeres med det forhold, der er trykt på kortet. De faktiske trykte kortkoordinater for den ækvivalentangulære cylindriske projektion er

trykt kort:

y=(R F)A L {\displaystyle y=(RF)a\varphi}

denne konvention tillader en klar skelnen mellem den iboende projektionsskalering og reduktionsskaleringen.

fra dette punkt ignorerer vi RF og arbejder med projektionskortet.

visualisering af punktskala: Tissot-indikatorenrediger

blinket tripelprojektionen med Tissots indicatrice af deformation

overvej en lille cirkel på jordens overflade centreret ved et punkt P ved breddegrad\displaystyle \varphi }

og længdegrad {\displaystyle \Lambda }

. Da punktskalaen varierer med position og retning, vil projektionen af cirklen på projektionen blive forvrænget. Tissot viste, at så længe forvrængningen ikke er for stor, bliver cirklen en ellipse på fremspringet. Generelt vil ellipsens dimension, form og orientering ændre sig over projektionen. Overlejring af disse forvrængnings ellipser på kortprojektionen formidler den måde, hvorpå punktskalaen ændrer sig over kortet. Distortion ellipse er kendt som Tissot ‘ s indicatrids. Eksemplet vist her er Blink tripel-projektionen, standardprojektionen for verdenskort lavet af National Geographic Society. Den mindste forvrængning er på den centrale meridian ved breddegrader på 30 grader (nord og Syd). (Andre eksempler).

punktskala for normale cylindriske fremspring af sfærenredit

nøglen til en kvantitativ forståelse af skalaen er at overveje et uendeligt element på kuglen. Figuren viser et punkt P ved breddegrad {\displaystyle \ varphi }

og længdegradslængde {\displaystyle \lambda }

på kuglen. Latitude Latitude Latitude + Latitude +Latitude +Latitude + Latitude +Latitude+Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + Latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + latitude + Latitude + Latitude + Latitude\Lambda + \delta\Lambda }

. Linierne PK og MK er buer af meridianer af længde a list {\displaystyle a\,\delta \varphi }

hvor a {\displaystyle a}

er radius af sfæren og Len {\displaystyle \varphi }

er i Radian mål. Linjerne PM og KK er buer af parallelle cirkler af længde ( a cos-l ) l {\displaystyle (A\cos \varphi )\delta \Lambda }

med L {\displaystyle \Lambda }

i radianmål. Ved at udlede en punktegenskab af projektionen ved P er det tilstrækkeligt at tage et uendeligt lille element af overfladen: i grænsen for S nærmer sig P har et sådant element en tendens til et uendeligt lille plan rektangel.

infinitesimale elementer på kuglen og en normal cylindrisk projektion

normale cylindriske fremspring af kuglen har h = ah=a\Lambda

og Højde p ‘ s {\displaystyle\Delta y}

. Ved at sammenligne elementerne på kugle og projektion kan vi straks udlede udtryk for skalafaktorerne på paralleller og meridianer. (Behandlingen af skalaen i en generel retning kan findes nedenfor.) parallel skala faktor k = δ x cos ⁡ φ ∆ λ = sek ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridian skala faktor h = δ og δ φ = y ‘( φ ) en {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{et}}}

Bemærk, at parallelskalafaktoren k = sec til {\displaystyle k=\sec\varphi }

er uafhængig af definitionen af y ( liter) {\displaystyle y (\varphi )}

så det er det samme for alle normale cylindriske fremspring. Det er nyttigt at bemærke, at ved breddegrad 30 grader er parallelskalaen k = sek ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k= \ sek 30^{\circ }=2 / {\kvm {3}}=1.15}

på bredde-45 grader parallel skala, er k = sek ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sek 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

på bredde-60 grader parallel skala, er k = sek ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sek 60^{\circ }=2}

på bredde-80 grader parallel skala, er k = sek ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

ved breddegrad 85 grader er parallelskalaen k = sec list 85 list = 11,5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11,5}

de følgende eksempler illustrerer tre normale cylindriske fremspring og i hvert tilfælde variationen af skalaen med position og retning illustreres ved brug af Tissot ‘ s indicatrids.

tre eksempler på normal cylindrisk projektionredit

den ækvivalente projektionredit

den ækvivalente projektion med Tissots indikator for deformation

den ækvivalentangulære projektion, også kendt som pladen Carr Kriste (fransk for “flad firkant”) eller (noget vildledende) den ækvivalente projektion, er defineret af

a\displaystyle=a\Lambda,}

y = a prish, {\displaystyle y=a\varphi,}

hvor a {\displaystyle a}

er kuglens radius, vi {\displaystyle \lambda }

er længdegraden fra projektionens centrale meridian (her taget som den grønne meridian ved prit = 0 {\displaystyle \Lambda =0}

) og prit {\displaystyle \varphi }

er Breddegrad. Bemærk, at Lenin {\displaystyle \lambda }

og Lenin {\displaystyle \varphi }

er i radianer (opnået ved at multiplicere graden mål med en faktor af Lenin {\displaystyle \pi }

/180). Længdegradslængden {\displaystyle \lambda }

er i området {\displaystyle }

og breddegradslængden {\displaystyle \varphi }

er i området {\displaystyle }

.

siden y ‘( varphi ) = 1 {\displaystyle y ‘ (\varphi) =1}

det foregående afsnit giver parallel skala, k = \;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridian skala h = ∆ y ∆ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}

For beregningen af skalaen i en vilkårlig retning, se tillæg.

figuren illustrerer Tissot-indikatoren for denne projektion. På ækvator h=k=1 og de cirkulære elementer er uforvrænget påprojektion. Ved højere breddegrader forvrænges cirklerne til en ellipse givet ved kun at strække sig i parallel retning: der er ingen forvrængning i meridianretningen. Forholdet mellem hovedaksen og minoraksen er sec L. {\displaystyle \sec \varphi }

. Det er klart, at ellipsens område stiger med samme faktor.

det er lærerigt at overveje brugen af stregskalaer, der kan vises på en trykt version af denne projektion. Skalaen er sand (k=1) på ækvator, så at multiplicere dens længde på et trykt kort med den inverse af RF (eller hovedskala) giver jordens faktiske omkreds. Stangskalaen på kortet tegnes også i den sande skala, så overførsel af en adskillelse mellem to punkter på ækvator til stangskalaen giver den korrekte afstand mellem disse punkter. Det samme gælder for meridianerne. På en anden parallel end ækvator er skalaen sec list {\displaystyle \sec \varphi }

så når vi overfører en adskillelse fra en parallel til stangskalaen, skal vi dele stangskalaafstanden med denne faktor for at opnå afstanden mellem punkterne målt langs parallellen (hvilket ikke er den sande afstand langs en stor cirkel). På en linje med et leje på sige 45 grader ( prisT = 45 prist {\displaystyle \beta =45^{\circ }}

) skalaen varierer kontinuerligt med breddegrad, og overførsel af en adskillelse langs linjen til bjælkeskalaen giver ikke en afstand relateret til den sande afstand på nogen enkel måde. (Se tillæg). Selv om vi kunne udarbejde en afstand langs denne linje med konstant bærende, er dens relevans tvivlsom, da en sådan linje på fremspringet svarer til en kompliceret kurve på kuglen. Af disse grunde skal barskalaer på småskala kort bruges med ekstrem forsigtighed.

Mercator projektionedit

Mercatorprojektionen med tissots indikator for deformation. (Forvrængningen øges uden grænse ved højere breddegrader)

Mercatorprojektionen kortlægger kuglen til et rektangel (med uendelig udstrækning I Y {\displaystyle y}

-retning) ved ligningerne h = ah=a\Lambda\,

y=a Ln l {\displaystyle y = a\Ln\Left}

hvor a, LR{\displaystyle\lambda\,}

og {\displaystyle\varphi\,}

er som i det foregående eksempel. Siden y ‘(Lars ) = sec Lars {\displaystyle y ‘ (\varphi )=a\sec \varphi }

skalafaktorerne er: parallel skala k = Lars cos Lars = Lars . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta} {a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}}=\, \ sek \ varphi .}

meridian skala h = LR og A LRR = sek LRR . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi \,}}=\, \ sek \ varphi .}

i det matematiske tillæg er det vist, at punktskalaen i en vilkårlig retning også er lig med sec-Larsen {\displaystyle \sec \varphi }

så skalaen er isotrop (samme i alle retninger), dens størrelse stiger med breddegrad som SEC-Larsen {\displaystyle \sec \varphi }

. I Tissot-diagrammet bevarer hvert uendeligt cirkulært element sin form, men forstørres mere og mere, når bredden øges.

Lambert i samme område projectionEdit

Lambert ‘s normale cylindriske lige-området projektion med Tissot’ s indicatrix af deformation

Lambert lige-området projektion kort sfære til en finite rektangel af ligninger

x = en λ y = a sin ⁡ φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\synd \varphi }

hvor a, λ {\displaystyle \lambda }

og list {\displaystyle \ varphi }

er som i det foregående eksempel. Siden y ‘( Lars ) = cos Lars {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }

skalafaktorerne er parallelle skala k = Lars cos Lars = sec Lars {\displaystyle \fird k\;=\;{\dfrac {\a\cos \varphi \,\Delta \Lambda\,}}=\, \sec \varphi \varphi \varphi {}}

meridian scale h = Larry y a Larry = cos Larry {\displaystyle \firhjul h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\,\delta \varphi\,}}=\, \cos \varphi }

beregningen af punktskalaen i en vilkårlig retning er angivet nedenfor.

de lodrette og vandrette skalaer kompenserer nu hinanden (hk=1), og i Tissot-diagrammet forvrænges hvert uendeligt lille cirkulært element til en ellipse af samme område som de uforvrængede cirkler på ækvator.

grafer af skalafaktorerredit

grafen viser variationen af skalafaktorerne for ovenstående tre eksempler. Det øverste plot viser den isotrope Mercator-skalafunktion: skalaen på parallellen er den samme som skalaen på meridianen. De andre plots viser meridianskalafaktoren for den Ækvivalentangulære projektion (h=1) og for Lambert lige arealprojektion. Disse sidste to fremskrivninger har en parallel skala, der er identisk med Mercator-plottet. For Lambert bemærk, at den parallelle skala (som Mercator a) stiger med breddegrad, og meridianskalaen (C) falder med breddegrad på en sådan måde, at hk=1, hvilket garanterer bevarelse af området.

Skalavariation på Mercator-projektionredit

Mercator-punktskalaen er enhed på ækvator, fordi den er sådan, at hjælpecylinderen, der bruges i dens konstruktion, er tangentiel til Jorden ved ækvator. Af denne grund skal den sædvanlige projektion kaldes en tangentprojektion. Skalaen varierer med latitude som k = sec latitude {\displaystyle k = \sec \varphi}

. Siden sec Larsen {\displaystyle \sec \varphi}

har tendens til uendelig, når vi nærmer os polerne, er Mercator-kortet groft forvrænget ved høje breddegrader, og derfor er projektionen helt upassende for verdenskort (medmindre vi diskuterer navigations-og rhumb-linjer). Ved en breddegrad på ca. 25 grader er værdien af sec (sec / varphi)

ca.1.1 så Mercator er nøjagtig inden for 10% i en strimmel med bredde 50 grader centreret på ækvator. Smallere strimler er bedre: en strimmel med bredde 16 grader (centreret på ækvator) er nøjagtig inden for 1% eller 1 del i 100.

et standardkriterium for gode store kort er, at nøjagtigheden skal være inden for 4 dele i 10.000 eller 0,04%, svarende til k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}

. Siden sec Lars {\displaystyle \sec \varphi}

opnår denne værdi ved Lars = 1.62 {\displaystyle \ varphi =1.62}

grader (se figur nedenfor, rød linje). Derfor er tangent Mercator-projektionen meget nøjagtig inden for en strimmel med bredde 3,24 grader centreret på ækvator. Dette svarer til nord-syd afstand på omkring 360 km (220 mi). Inden for denne strimmel er Mercator meget god, meget præcis og formbevarende, fordi den er konform (vinkelbevarende). Disse observationer førte til udviklingen af de tværgående Mercator-fremspring, hvor en meridian behandles ‘som en ækvator’ af projektionen, så vi får et nøjagtigt kort inden for en snæver afstand fra denne meridian. Sådanne kort er gode for lande, der er næsten nord-syd (som Storbritannien), og et sæt på 60 sådanne kort bruges til Universal Transversal Mercator (UTM). Bemærk, at I begge disse fremskrivninger (som er baseret på forskellige ellipsoider) er transformationsligningerne for H og y og udtrykket for skalafaktoren komplicerede funktioner af både breddegrad og længdegrad.

skala variation nær ækvator for tangenten (rød) og sekant (grøn) Mercator fremskrivninger.

Secant, eller modificeret, projektionsedit

grundideen med en secant-projektion er, at kuglen projiceres til en cylinder, der skærer kuglen ved to paralleller, siger kun 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

nord og syd. Det er klart, at skalaen nu er sand på disse breddegrader, mens paralleller under disse breddegrader er kontraheret af projektionen, og deres (parallelle) skalafaktor skal være mindre end en. Resultatet er, at afvigelse af skalaen fra enhed reduceres over en bredere vifte af breddegrader.

som et eksempel er en mulig secant Mercator-projektion defineret af

0.9996 a Purpur y = 0.9996 a ln purpur ( tan purpur 4 + purpur 2 ) ) . {\displaystyle n=0,9996 a \ lambda \n \ y=0,9996 a\Ln \Ln \ Ln (\tan\left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\højre) \ højre).}

de numeriske multiplikatorer ændrer ikke projektionens form, men det betyder, at skalafaktorerne ændres:

secant Mercator-skala, k = 0,9996 sek . = 0.9996 \ sek \ varphi.}

således

• skalaen på ækvator er 0,9996,
• skalaen er k = 1 på en breddegrad givet af Latitude 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  hvor sec latitude 1 = 1 / 0, 9996 = 1, 00004 {\displaystyle \sek \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  så at 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  grader, k=1.0004 ved breddegrad 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  givet af SEC-kursen 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  , for hvilken den 2 = 2.29-understøttelse har {\displaystyle \ varphi _ {2}=2.29}

  

  grader. Derfor har projektionen 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , det er en nøjagtighed på 0,04% over en bredere strimmel på 4,58 grader (sammenlignet med 3,24 grader for tangentformen).

dette illustreres af den nederste (grønne) kurve i figuren i det foregående afsnit.

sådanne smalle områder med høj nøjagtighed anvendes i UTM og den britiske Osgb-projektion, som begge er sekant, tværgående Mercator på ellipsoiden med skalaen på den centrale meridian-konstant ved k 0 = 0,9996 {\displaystyle k_{0}=0,9996}

. Isoskalalinjerne med k = 1 {\displaystyle k=1}

er let buede linjer cirka 180 km øst og vest for den centrale meridian. Den maksimale værdi af skalafaktoren er 1.001 for UTM og 1.0007 for Osgb.

linjerne i enhedsskala ved breddegrad 1 {\displaystyle \ varphi _{1}}

(Nord og syd), hvor den cylindriske projektionsoverflade skærer kuglen, er standardparallellerne for sekantprojektionen.

mens et smalt bånd med / k – 1/< 0.0004 {\displaystyle|k-1/<0.0004}

er vigtig for kortlægning med høj nøjagtighed i stor skala, for verdenskort bruges meget bredere fordelte standardparalleller til at kontrollere skalavariationen. Eksempler er

• Behrmann med standardparalleller ved 30N, 30S.
• Gall lige areal med standardparalleller ved 45N, 45S.

skala variation for Lambert (grøn) og Gall (rød) lige område fremskrivninger.

skalaen for sidstnævnte er vist nedenfor sammenlignet med Lambert-ligearealskalafaktorerne. I sidstnævnte er ækvator en enkelt standard parallel, og parallelskalaen stiger fra k=1 for at kompensere faldet i meridianskalaen. For galden reduceres den parallelle skala ved ækvator (til k=0,707), mens meridianskalaen øges (til k=1,414). Dette giver anledning til grov forvrængning af form i Gall-Peters-projektionen. (På kloden er Afrika omtrent så længe det er bredt). Bemærk, at meridian-og parallelle skalaer begge er enhed på standardparallellerne.

matematisk addendumEdit

infinitesimale elementer på kuglen og en normal cylindrisk projektion

for normale cylindriske fremspring giver geometrien af de uendelige elementer