az egyik szerző megjegyzi, hogy” a jelölést ebben a műben felváltotta a logika későbbi fejlődése a 20.század folyamán, olyan mértékben, hogy a kezdőnek egyáltalán nehézségei vannak a PM olvasásával”; míg a szimbolikus tartalom nagy része átalakítható modern jelöléssé, maga az eredeti jelölés” tudományos vita tárgya”, és néhány jelölés”lényegi logikai doktrínákat testesít meg, így azt nem lehet egyszerűen helyettesíteni a kortárs szimbolikával”.
Kurt G XXL-ddel élesen bírálta a jelölést:
“meg kell sajnálni, hogy ez az első átfogó és alapos lesz bemutatása matematikai logika és a levezetése matematika belőle annyira hiányzik a formális pontosság alapjait (szereplő 1-1–21 a Principia), hogy ez képviseli ebben a tekintetben jelentős visszalépést képest Frege. Mindenekelőtt hiányzik a formalizmus szintaxisának pontos megállapítása. A szintaktikai megfontolásokat még azokban az esetekben is kihagyják, amikor ezek szükségesek a bizonyítékok megalapozottságához”.
ezt tükrözi az alábbi példa a “p”, “q”, “r” és ” ++ ” szimbólumokból, amelyek a “p”karakterláncba alakíthatók. A PM megköveteli annak meghatározását, hogy mit jelent ez a szimbólum-húr más szimbólumok szempontjából; a kortárs kezelésekben a “formázási szabályok” (A “jól kialakított képletekhez” vezető szintaktikai szabályok) megakadályozták volna ennek a húrnak a kialakulását.
Forrás a jelölés: i. Fejezet “Előzetes Magyarázat Ötletek, Jelölések” kezdődik, a forrása az elemi részek a jelölés (a szimbólumok =⊃≡−ΛVε a rendszer, pontok):
” a jelölés elfogadott a jelen munka alapul, hogy a Peano, és a következő magyarázatok bizonyos mértékig mintájára azokat, amelyeket ő előtag az ő Formulario Mathematico . A pontok zárójelként való használata elfogadott, és számos szimbóluma is” (PM 1927:4).
A PM megváltoztatta Peano ‘ s-ját, és átvette Peano néhány későbbi szimbólumát is, mint például a caipinit és a cop-ot, és Peano gyakorlatát, hogy a betűket fejjel lefelé fordította.
PM elfogadja a kijelentés jele ” ++ ” Frege 1879 Begriffsschrift:
“(i) t lehet olvasni “igaz, hogy “”
így érvényesíteni egy állítást P PM írja:
“c). p.” (PM 1927:92)
(figyeljük meg, hogy az eredetihez hasonlóan a bal pont négyzet alakú és nagyobb méretű, mint a jobb oldali pont.)
a PM többi jelölésének nagy részét Whitehead találta ki.
Bevezetés Az “a szakasz matematikai logikájába” (képletek)1–5.71) Szerkesztés
PM pontjait a zárójelekhez hasonló módon használják. Minden pont (vagy több pont) bal vagy jobb zárójelet vagy a logikai szimbólumot jelöli. Egynél több pont jelzi a zárójelek “mélységét”, például”.”, “: “vagy”:.”, “::”. A megfelelő jobb vagy bal zárójel helyét azonban a jelölés nem jelzi kifejezetten, hanem néhány összetett és időnként kétértelmű szabályból kell levezetni. Továbbá, ha a pontok logikai szimbólumot jelölnek, akkor a bal és a jobb operandusokat hasonló szabályokkal kell levezetni. Először a kontextus alapján kell eldönteni, hogy a pontok bal vagy jobb zárójelet vagy logikai szimbólumot jelentenek-e. Ezután el kell döntenie, hogy milyen messze van a másik megfelelő zárójel: itt az ember addig folytatja, amíg nagyobb számú ponttal nem találkozik, vagy ugyanannyi ponttal, amelyek egyenlő vagy nagyobb “erővel” rendelkeznek, vagy a vonal végével. A jelek melletti pontoknak a (X), a (X), a (X) és így tovább pontok nagyobb erővel bírnak, mint a logikai szorzatot jelölő pontok.
1. példa. A vonal
3.4. BC: p . q. ⊃ . p ++ q
– nek felel meg ((p ++ q))).
az állításjelet közvetlenül követő két pont azt jelzi, hogy az állítás az egész vonal: mivel ezek közül kettő van, hatókörük nagyobb, mint a jobb oldalon lévő egyetlen ponté. Ezek helyébe egy bal zárójel áll, ahol a pontok vannak, és egy jobb zárójel a képlet végén, így:
++ (p . q. ⊃ . p).
(a gyakorlatban ezeket a legkülső zárójeleket, amelyek egy teljes képletet tartalmaznak, általában elnyomják.) Az egyes pontok közül az első, amely két propozíciós változó között áll, a kötőszót jelenti. A harmadik csoportba tartozik, és a legszűkebb hatókörrel rendelkezik. Itt felváltja a modern szimbólum a Kötőszó számára”++”, így
++ (p ++ q . ⊃ . p).
a két megmaradt egyetlen pont kiválasztja a teljes képlet fő kötését. Szemléltetik a pontjelölés hasznosságát azoknak a kapcsolatoknak a kiválasztásában, amelyek viszonylag fontosabbak, mint azok, amelyek körülveszik őket. Az egyik, hogy a bal oldalon a “⊃” helyébe egy pár zárójelben, a jó megy, ahol a pont a bal megy olyan messzire, hogy a bal, mint átlépése nélkül egy csoport a pontok nagyobb erő, ebben az esetben a két pont, amely kövesse az állítás-jel, így
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ++ q)
a pont, hogy a jobb oldalon a ” ++ ” helyébe egy bal zárójel, amely megy, ahol a pont, és egy jobb zárójel, amely megy, amennyire csak lehet, anélkül, hogy túlmegy a hatókör már létrehozott egy csoportja pontok nagyobb erő (ebben az esetben a két pont, amely követte az állítás-jel). Tehát a jobb oldali zárójel, amely felváltja a pont a jobb oldalon a ” ++ ” elé kerül a jobb zárójel, amely felváltotta a két pont után az állítás-jel, így
((P. A.) Q. A.) (P. A.).
2. példa, dupla, hármas és négyszeres pontokkal:
október 9.521. (x). xxxx . ⊃ . Q:++:. (x). xxxx . v. r:++. q v a r
rövidítése ((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q, v, r)))
3. Példa, egy dupla pont, jelezve, logikai szimbólum (a kötet 1, 10 oldal):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
rövidítése (p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
ahol a kettős pont a logikai szimbólum ∧ meg lehet tekinteni, hogy a magasabb prioritású, mint a nem-logikai egyetlen pont.
később a 14.szakaszban a “” zárójelek jelennek meg, a 20. és az azt követő szakaszokban pedig a “{ }” zárójelek jelennek meg. Nem világos, hogy ezeknek a szimbólumoknak konkrét jelentése van-e, vagy csak vizuális tisztázásra szolgálnak. Sajnos az egyetlen pont (hanem”:”,”:.”, “:: “stb.) a “logikai termék” szimbolizálására is használják (kortárs logikai és gyakran “&” vagy”++”).
a logikai implikációt Peano “”- ja “”- ra egyszerűsítve””, a logikai tagadást egy hosszúkás tilde, azaz “~” (kortárs “~” vagy””), a logikai vagy “v”jelképezi. A “=” szimbólum a “Df” – vel együtt a “definíció szerint”, míg a 13.és az azt követő szakaszokban a “=” definíció szerint (matematikailag) “azonos”, azaz a kortárs matematikai “egyenlőség” (vö. fejezet) 13). A logikai ekvivalenciát az ” ++ ” (kortárs “csak akkor, ha”) képviseli; az “elemi” propozíciós függvények a szokásos módon vannak írva, pl. “f(p)”, de később a függvényjel közvetlenül a változó előtt jelenik meg zárójel nélkül pl.
példa, a PM a következőképpen vezeti be a “logikai termék” meghatározását:
3.01. p. q.=. ~(~p V ~q) Df.ahol ” p . q ” A P és q logikai szorzata.3.02. P. B. A. R.=. P. B. K. Q. B. D. F.Ez a meghatározás csupán a bizonyítékok rövidítésére szolgál.
a képletek fordítása kortárs szimbólumokra: különböző szerzők alternatív szimbólumokat használnak, így végleges fordítás nem adható meg. Azonban az olyan kritikák miatt, mint az alábbi Kurt g), a legjobb kortárs kezelések nagyon pontosak lesznek a képletek “formázási szabályai” (szintaxisa) tekintetében.
az első képlet a következőképpen alakítható át modern szimbolikává:
(p & q) =df (~(~p V ~q))
váltakozva
(p & q) =df ((p v q))
váltakozva
(p ++ q) =df ((p V q))
stb.
A második képlet lehet átszámítani a következők szerint:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
bevezetés a “B. szakasz látszólagos változók elméletének” jelölésébe (képletek) 6-14.34) Edit
ezek a szakaszok az úgynevezett predikátum logikára, valamint az identitással (egyenlőséggel) rendelkező predikátum logikára vonatkoznak.
- NB: a kritika és az előrehaladás eredményeként a PM (1927) második kiadása felváltja a 9.évfolyamot egy új 8. évfolyammal (A. függelék). Ez az új szakasz kiküszöböli az első kiadás megkülönböztetését a valós és a látszólagos változók között, és kiküszöböli “a primitív elképzelést” egy propozíciós függvény állítása”. A kezelés összetettségének növelése érdekében a “mátrix” helyettesítésének fogalmát, valamint a Sheffer-stroke-ot:
- mátrix: A kortárs használatban a PM mátrixa (legalábbis propozíciós függvények esetében) a igazságtábla, azaz minden propozíciós vagy predikátumfüggvény igazságértéke.
- Sheffer stroke: a kortárs logikai NAND (NOT-AND), azaz “inkompatibilitás”, jelentése:
“adott két P és q propozíció, akkor a “p | q” azt jelenti, hogy “P propozíció összeegyeztethetetlen q propozícióval”, azaz ha mind a P, mind a q propozíció igaznak értékeli, akkor és csak akkor p | q hamisnak értékeli.”A 8. szakasz után a Sheffer stroke nem lát használatot.
szakasz 10. fejezet: az egzisztenciális és egyetemes “operátorok”: A PM hozzáadja az “(x)” – t, hogy képviselje a kortárs szimbolizmust “minden x” – re, azaz az “X” – re, és egy visszafelé sorosított E-t használ, hogy képviselje “létezik x”, azaz “(XXL)”, azaz a kortárs “x” – et. A tipikus jelölés hasonló lenne a következőhöz:
” (x). az” X “változó minden értékére azt jelenti, hogy az” x “függvény igazra értékeli a “” függvényt (“X”). φx” azt jelenti, hogy “valami értéket az x változó, függvény φ értéke igaz”
Szakaszok ✸10, ✸11, ✸12: tulajdonságaira, változó terjed ki minden egyének: a szakasz további 10 bevezeti a gondolat, hogy “az ingatlan” a “változó”. A PM példát ad: A (Z) “egy görög”, A (Z) “egy ember”, a (Z) “egy halandó”, A (Z) “egy halandó”, A (Z) “egy halandó”, A (Z) X változóra ezek a függvények vonatkoznak. A (Z) PM most írhat és értékelhet:
(x). a fenti jelölés azt jelenti, hogy “minden x, x egy ember”. Az egyének gyűjteménye alapján értékelhetjük az igazság vagy a hamisság fenti képletét. Például, tekintettel az egyének korlátozott gyűjteményére { Szókratész, Platón, Russell, Zeusz } a fentiek “igaznak” minősülnek, ha megengedjük, hogy Zeusz ember legyen. De nem sikerül: (x). mert Russell nem görög. És nem sikerül(x). xx
mert Zeusz nem halandó.
ezzel a jelöléssel a PM képleteket hozhat létre a következők kifejezésére: “ha minden görög ember, és ha minden ember halandó, akkor minden görög halandó”. (PM 1962: 138)
(x). (x). (x): (x). egy másik példa: a képlet: 10.01. (Xxx). xxxx . = . ~(x). ~ xxxdf.
azt jelenti, hogy “a szimbólumokat, amelyek azt az állítást képviselik, hogy “létezik legalább egy X, amely kielégíti a függvényt”, az állítást ábrázoló szimbólumok határozzák meg”nem igaz, hogy az x összes értékét figyelembe véve nincsenek x értékei, amelyek kielégítik a kb-t””.
az “X” és a ” x ” szimbólumok a 10.02 és a 10.03. Mindkettő az egyetemesség (azaz mindenki számára) rövidítése, amely az x változót a logikai operátorhoz köti. A kortárs jelölés egyszerűen zárójeleket használt volna az egyenlőség (“=”) jelén kívül:
10.02 .=. (x). dfkideiglenes jelölés: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (vagy variáns) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). (vagy egy változat)
pm az első szimbolikát Peano-nak tulajdonítja.
a 11.fejezet ezt a szimbolikát két változóra alkalmazza. Így a következő jelöléseket: ⊃x ⊃y ⊃x, y mind jelenik meg egyetlen képlet.
a 12.szakasz újra bevezeti a “mátrix” (kortárs igazságtábla) fogalmát, a logikai típusok fogalmát, különös tekintettel az elsőrendű és másodrendű függvények és propozíciók fogalmaira.
új szimbolizmus”! x ” az elsőrendű függvény bármely értékét jelenti. Ha a circumflex “” egy változó fölé kerül, akkor ez egy “egyéni” értéke y, ami azt jelenti, hogy az ” ++ ” “egyéneket” jelöl (pl. egy sor a igazság táblázat); erre a megkülönböztetésre a propozíciós függvények mátrix/extenziós jellege miatt van szükség.
a mátrix fogalmával felszerelve a PM érvényesítheti ellentmondásos axiómáját redukálhatóság: egy vagy két változó függvénye (kettő elegendő a PM használatához), ahol minden értéke meg van adva (azaz., annak mátrixában) (logikusan) egyenértékű ( ” ++ ” ) ugyanazon változók néhány “predikatív” függvényével. Az egyváltozós definíciót az alábbiakban adjuk meg a jelölés illusztrációjaként (PM 1962: 166-167):
12,1. számú, (F) számú, azaz).x. f ! x Pp;
A Pp egy “primitív tétel” (“bizonyítékok nélkül feltételezett állítások”) (PM 1962:12, azaz kortárs “axiómák”), hozzáadva a szakaszban meghatározott 7-et 1.szakasz (kezdve a 1.1. Ezeket meg kell különböztetni a “primitív eszméktől”, amelyek magukban foglalják az állítás előjelét:”++”, tagadás”~”, logikai vagy “V”, az “elemi propozíció” és az “elemi propozíciós funkció” fogalmai; ezek olyan közel állnak, mint a PM a jelölési formáció szabályaihoz, azaz a szintaxishoz.
Ez azt jelenti: “a következők igazságát állítjuk: létezik egy f függvény azzal a tulajdonsággal, hogy: figyelembe véve az összes értéket x, azok értékelése a függvényben (azaz mátrixukat eredményezve) logikailag egyenértékű néhány F értékével, amelyeket ugyanazon értékeken értékelnek x. (és fordítva, ezért logikai ekvivalencia)”. Más szavakkal: az X változóra alkalmazott tulajdonság által meghatározott mátrix alapján létezik egy függvény f hogy ha az x-re alkalmazzák, logikusan egyenértékű a Mátrixszal. Vagy: minden mátrixot ábrázolhat egy f függvény x-re alkalmazva, és fordítva.
++ 13: az identitás operátor”=”: ez egy olyan meghatározás, amely a jelet két különböző módon használja, amint azt a PM idézete is megjegyzi:
13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
jelentése:
” Ez a definíció kimondja, hogy x és y azonosnak kell nevezni, ha minden X által kielégített predikatív függvényt Y is kielégít … Vegye figyelembe, hogy a fenti definícióban az egyenlőség második jele “Df” – vel van kombinálva, így valójában nem ugyanaz a szimbólum, mint az egyenlőség jele, amelyet meghatározunk.”
a nem-egyenlő jel ” ( ” ) “a 13.02-es (” ) – nél jelenik meg definícióként.
14. fejezet: Leírások:
“a leírás a forma kifejezése “az Y kifejezés, amely kielégíti a bitcoinvt, ahol a bitcoinv egy olyan függvény, amelyet egyetlen argumentum elégít ki.”
ebből a PM-ből két új szimbólumot használ, egy előre “E” és egy fordított iota”++”. Íme egy példa:
14.02. E ! (y) (y) .= : (B): B). XXII . y = b Df.
ennek a jelentése:
“az Y kielégítőciklin létezik”, amely akkor és csak akkor érvényes, ha a ciklinit egy Y értékkel elégítik ki, más értékkel pedig nem.”(PM 1967: 173-174)
Bevezetés az osztályok és relációk elméletének jelölésébe
a szöveg a 14.szakaszból közvetlenül a 20. szakaszba ugrik az osztályok általános elmélete és a 21. fejezet a kapcsolatok általános elmélete. A” kapcsolatok ” az, ami a kortárs halmazelméletben rendezett Párok halmazaként ismert. A 20. és a 22. fejezet számos olyan szimbólumot mutat be, amelyek ma is használatban vannak. Ezek közé tartozik a szimbólumok “ε”, “⊂”, “∩”, “∪”, “–”, “Λ”, valamint a “V”: “ε” azt jelenti, “eleme” (PM 1962:188); “⊂” (✸22.01) azt jelenti, “tartalmaz”, “egy részét”; “∩” (✸22.02) azt jelzi, hogy az útkereszteződés (logikai termék) osztályok (meghatározza); “∪” (✸22.03) azt jelzi, hogy az unió (logikai összeg) osztályok (meghatározza); “–” (✸22.03) tagadás azt jelenti, hogy egy osztály (set); “Λ” azt jelzi, hogy a null osztály; a “V” pedig a beszéd egyetemes osztályát vagy univerzumát jelenti.
Kis görög betű (más, mint a “ε”, “ι”, “π”, “φ”, “ψ”, “χ”, valamint a “θ”) képviseli az osztályt (pl. az “α”, “β”, “γ”, “δ”, stb.) (PM 1962: 188):
X ++ ” az egyetlen betű használata olyan szimbólumok helyett, mint például a), vagy a (! z) gyakorlatilag szinte nélkülözhetetlen, mivel különben a jelölés gyorsan elviselhetetlenül cumbrussá válik. Így az ” X ++ “azt jelenti, hogy” X az osztály tagja!”. (PM 1962:188) a halmaz egyesülése és annak fordítottja az univerzális (befejezett) halmaz. egy halmaz metszéspontja és inverz értéke a null (üres) halmaz.
ha a 23. fejezet szerinti kapcsolatokra alkalmazzák a kapcsolatok számítása, a szimbólumok “⊂”, “∩”, “∪”, a ” – ” pedig egy pontot szerez: például: “vállalkozók”, “vállalkozók”.
az “A osztály” (halmaz) fogalma és jelölése: az első kiadásban A PM azt állítja, hogy nincs szükség új primitív ötletekre annak meghatározásához, hogy mit jelent az “A osztály”, és csak két új “primitív tétel”, amelyeket az osztályok és a kapcsolatok redukálhatóságának axiómáinak neveznek (PM 1962:25). De mielőtt ezt a fogalmat meg lehetne határozni, a PM szükségesnek érzi, hogy hozzon létre egy sajátos jelölést: “Au(Au)”, amelyet “fiktív objektumnak”nevez. (PM 1962:188)
(x): x (x).≡. “azaz,” x tagja az osztály által meghatározott (!) “egyenértékű” x megfelel (!), “vagy” (!) igaz.'”. (PM 1962: 25)
legalább a PM elmondhatja az olvasónak, hogyan viselkednek ezek a fiktív tárgyak, mert “egy osztály teljesen meghatározott, ha tagsága ismert, vagyis nem lehet két különböző osztály, amelynek ugyanaz a tagsága” (PM 1962:26). Ezt a következő egyenlőség jelképezi (hasonlóan a fenti 13,01-eshez):
() = () ()). (x): (x): (x).≡. “ez utóbbi az osztályok megkülönböztető jellemzője, és igazolja számunkra, hogy a(C) – t úgy kezeljük, mint a (C) – t, mint a (C) – t.”(PM 1962: 188)
talán a fentiek világosabbá tehetők a második kiadás bevezetőjében az osztályok megvitatásával, amely rendelkezik a Redukálhatóság Axiómájával, és felváltja azt a fogalommal: “a függvények minden funkciója extenzív” (PM 1962:xxxix), azaz
.⊃. (x): (1962. délután):xxxix)
Ez az ésszerű, ami azt jelenti, hogy “HA az összes értéke x az igazság-értéke a függvény φ, valamint ψ x egyenértékű, AKKOR a funkció ƒ az adott φẑ, illetve ƒ a ψẑ egyenértékű.”A PM azt állítja, hogy ez”nyilvánvaló”:
” Ez nyilvánvaló, mivel a antioxidánsok csak akkor fordulhatnak elő, ha a p, q, r,… egy függvényben, és ha a függvényben a P-vel való helyettesítés, akkor a P-vel való helyettesítés ugyanazt az igazságértéket adja az igazságfüggvénynek, mint a C-vel való helyettesítés. Következésképpen nincs többé ok arra, hogy megkülönböztessék funkciók osztályok, a mi van, az erény, a fenti, φx ≡x ψx .⊃. (x). = = . “).
figyelje meg a jobb oldali egyenlőség “=” jelének változását. A PM folytatja azt a kijelentést, hogy továbbra is ragaszkodik az “Au(Au)” jelöléshez, de ez csupán egyenértékű a CU (AU) – val, és ez egy osztály. (minden idézet: PM 1962: xxxix).