Scale (map)

amint azt Gauss Theorema Egregiuma is bizonyítja, egy gömb (vagy ellipszoid) torzítás nélkül nem vetíthető síkra. Ezt általában az szemlélteti, hogy a narancshéjat nem lehet sima felületre simítani anélkül, hogy elszakadna vagy deformálódna. A gömb egyetlen valódi ábrázolása állandó léptékben egy másik gömb, például egy földgömb.

tekintettel a földgömbök korlátozott gyakorlati méretére, térképeket kell használnunk a részletes leképezéshez. A térképek előrejelzéseket igényelnek. A vetítés torzulást jelent: Az állandó elválasztás a térképen nem felel meg a földön való állandó elválasztásnak. Míg a térkép grafikus sávméretet jeleníthet meg, a skálát azzal a megértéssel kell használni, hogy a térképnek csak néhány vonalán lesz pontos. (Ezt a következő szakaszok példái tárgyalják tovább.)

legyen p egy pont a (vagy ellipszoid) gömbben a (\displaystyle \varphi }

és a hosszúság (\displaystyle \lambda }

) szélességben. Legyen Q egy szomszédos pont, és legyen \\displaystyle \ alpha}

legyen a PQ elem és a P meridián közötti szög: ez a szög a PQ elem azimut szöge. Legyen p’ és Q ‘ A vetület megfelelő pontja. A P’ Q ‘ irány és a meridián vetülete közötti szög a következő csapágy: \ \ displaystyle \ beta }

. Általánosságban elmondható, hogy \ \ displaystyle \ Alpha \NEQ \ Beta}

. Megjegyzés: ez a pontos különbség azimut (a Föld felszínén) és a csapágy (a térképen) között nem általánosan megfigyelhető, sok író szinte felcserélhető módon használja a kifejezéseket.

definíció: a P pontskála a két P’ Q ‘ és PQ távolság aránya abban a határban, amelyet Q megközelít P. Ezt úgy írjuk le , hogy

(\lambda,\, \varphi ,\,\alpha) = \Lim _{Q\to P} {\frac {P ‘Q’} {PQ}},}

ahol a jelölés azt jelzi, hogy a pontskála a P pozíciójának függvénye, valamint a PQ elem iránya.

meghatározás: ha P és Q ugyanazon a meridiánon fekszenek (++=0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, akkor a meridiánskálát a következővel jelöljük: h (!,) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

meghatározás: ha P és Q ugyanazon a párhuzamon fekszenek (++=++/2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, akkor a párhuzamos skálát k-vel jelöljük (!,!) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

meghatározás: ha a pontskála csak a pozíciótól függ, nem pedig az iránytól , akkor azt mondjuk, hogy izotróp, és az értékét hagyományosan bármely irányban a K párhuzamos skálatényezővel jelöljük (\\displaystyle k (\lambda,\varphi)}

.

definíció: a térkép vetülete akkor mondható konformnak, ha a P pontban metsző vonalpár közötti szög megegyezik a vetített vonalak közötti szöggel a vetített ponton P’, A P pontban metsző összes vonalpár esetében. Ezzel szemben az izotróp skála tényezői a térképen konform vetületet jelentenek.

a skála Izotrópiája azt jelenti, hogy a kis elemeket minden irányban egyenlően nyújtják, vagyis egy kis elem alakja megmarad. Ez az ortomorfizmus tulajdonsága (görögül ‘helyes alak’). A ‘kicsi’ minősítés azt jelenti, hogy bizonyos adott mérési pontosságnál nem észlelhető változás a skála tényezőjében az elem felett. Mivel a konform vetületek izotróp skálafaktorral rendelkeznek, ortomorf vetületeknek is nevezték őket. Például a Mercator-vetület konform, mivel a szögek megőrzésére van kialakítva, skálatényezője pedig izotóp, csak a szélesség függvénye: a Mercator megőrzi az alakot kis régiókban.

meghatározás: egy izotróp skálával rendelkező konform vetületen az azonos skálaértékű pontok összekapcsolhatók az egyenlő skálájú vonalak kialakításához. Ezeket nem ábrázolják a végfelhasználók térképein, de sok szabványos szövegben szerepelnek. (Lásd Snyder oldalak 203-206.)

a reprezentatív frakció (RF) vagy a fő skálaszerkesztés

két konvenciót használnak az adott vetület egyenleteinek meghatározásához. Például az equirectangularis hengeres vetület írható

kartográfusként: x = a ++ {\displaystyle x=a\lambda }

y = a ++ {\displaystyle y=a\varphi }

matematikusok: x = ++ {\displaystyle x=\lambda }

y = ++ {\displaystyle y=\varphi }

itt fogadjuk el az első ilyen konvenciót (a következő használat a Snyder felméréseiben). Nyilvánvaló, hogy a fenti vetítési egyenletek meghatározzák a föld köré tekert, majd kibontott hatalmas henger helyzetét. Azt mondjuk, hogy ezek a koordináták határozzák meg a vetítési térképet, amelyet logikusan meg kell különböztetni a tényleges nyomtatott (vagy Megtekintett) térképektől. Ha az előző szakaszban a pontskála meghatározása a vetítési térkép szempontjából történik, akkor számíthatunk arra, hogy a skála tényezők közel állnak az egységhez. Normál tangens hengeres vetületeknél az Egyenlítő mentén a skála k=1, és általában a skála változik, amikor elmozdulunk az egyenlítőtől. A skála elemzése a vetítési térképen a K változásának vizsgálata az egység valódi értékétől.

a tényleges nyomtatott térképeket a vetítési térképből állandó méretezéssel állítják elő, amelyet olyan Arány jelöl, mint 1:100M (egész világtérképek esetén) vagy 1:10000 (például várostervek esetén). A skála szó használata során felmerülő félreértések elkerülése érdekében ezt a konstans skála frakciót a nyomtatott Térkép reprezentatív frakciójának (RF) nevezzük, és a térképen nyomtatott arányokkal kell azonosítani. Az equirectangular hengeres vetület tényleges nyomtatott térképkoordinátái

nyomtatott Térkép: x = ( R F ) A(B) {\displaystyle x=(RF)a\lambda }

y = (R F)A(B) {\displaystyle y=(RF) a\varphi }

Ez az egyezmény lehetővé teszi a belső vetítési méretezés és a redukciós méretezés egyértelmű megkülönböztetését.

ettől a ponttól figyelmen kívül hagyjuk az RF-t, és a vetítési térképpel dolgozunk.

A pontskála megjelenítése: a Tissot indicatrixEdit

tekintsünk egy kis kört a Föld felszínén, amelynek középpontjában egy P pont áll, a szélességi körnél, a szélességi körnél\displaystyle \varphi}

és hosszúsági fok (Hosszúság) {\displaystyle \lambda}

. Mivel a pontskála a pozíciótól és az iránytól függően változik, a vetületen lévő kör vetülete torzul. Tissot bebizonyította, hogy mindaddig, amíg a torzítás nem túl nagy, a kör ellipszis lesz a vetítésen. Általában az ellipszis mérete, alakja és tájolása megváltozik a vetítés során. Ezeknek a torzító ellipsziseknek a térkép vetületére történő egymásra helyezése azt mutatja, hogy a pontskála hogyan változik a térképen. A torzítás ellipszis néven ismert Tissot ‘ s indicatrix. Az itt bemutatott példa a Winkel tripel vetület, a National Geographic Society által készített világtérképek standard vetülete. A minimális torzítás a középső meridiánon van, 30 fokos szélességi fokon (Észak és Dél). (Egyéb példák).

Pontskála a gömb normál hengeres vetületeihez

a skála kvantitatív megértésének kulcsa az, hogy egy végtelenül kis elemet veszünk figyelembe a gömbön. Az ábrán egy P pont látható a gömbön, a \\displaystyle\varphi }

és a \\displaystyle \ lambda }

szélességi fokon. A Q pont a következő szélességi fokon van: \\\displaystyle \varphi + \Delta \varphi }

és hosszúsági fok: \\\displaystyle\Lambda +\Delta \ Lambda }

. A PK és az MQ vonalak meridiánok ívei, amelyek hossza A. \\displaystyle A\, \delta\varphi }

ahol a {\displaystyle a}

a gömb sugara és a \\displaystyle \ varphi }

radiánméretben van. A PM és a KQ vonalak párhuzamos hosszúságú ívek ( a cos++), (a cos\displaystyle (a\COS \varphi )\Delta \Lambda }

és a\displaystyle \Lambda }

radián mérésben. A P-nél lévő vetület ponttulajdonságának levezetésekor elegendő egy végtelenül kis elemet venni pmqk a felület: a Q közeledik P egy ilyen elem végtelenül kicsi sík téglalapra hajlik.

a gömb normál hengeres vetületei x = a .. {\displaystyle x=a\lambda }

és magassága: \ y {\displaystyle \ Delta y}

. A gömb és a vetület elemeinek összehasonlításával azonnal levezethetjük a párhuzamok és meridiánok skálatényezőinek kifejezéseit. (A skála általános irányú kezelése az alábbiakban található.) párhuzamos skála tényező k = δ x, mert ⁡ φ ∆ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\, mert \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\percet \varphi \qquad \qquad {}}

meridian léptéktényező h = ∆ s ∆ φ = y ‘( φ ) egy {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}

vegye figyelembe, hogy a párhuzamos skála tényező k = sec ++ {\displaystyle k=\sec \varphi }

független az y ( ++ ) {\displaystyle y(\varphi )}

definíciójától, tehát minden normál hengeres vetületnél azonos. Hasznos megjegyezni, hogy 30 fokos szélességi fokon a párhuzamos skála k = sec ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k= \ sec 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}}=1.15}

a szélesség 45 fokos szögben a párhuzamos skála k = sec ⁡ 45 fok legyen = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

a szélesség 60 fok a párhuzamos skála k = sec ⁡ 60 fok legyen = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

a szélesség 80 fok a párhuzamos skála k = sec ⁡ 80 fok legyen = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

a 85.szélességi fokon a párhuzamos skála K = sec (sec), 85.11.5 {\displaystyle k = \sec 85^{\circ}=11.5}

az alábbi példák három normál hengeres vetületet szemléltetnek, és minden esetben a skála és a pozíció közötti eltérést az irányt pedig Tissot indikátorának használata szemlélteti.

három példa a normál hengeres projectionEdit

az equirectangular projectionEdit

az equirectangularis vetületet, más néven a carrc-Clape-t (franciául: “lapos négyzet”) vagy (kissé félrevezető módon) az egyenlő távolságú vetületet

X = a++, {\displaystyle X=a\lambda,}

y = a++, {\displaystyle y=a\varphi,}

ahol a {\displaystyle a}

a gömb sugara, a {\displaystyle \lambda }

a vetület központi meridiánjának hosszúsága (itt a greenwichi meridiánnak vesszük a következő helyen: \\displaystyle\lambda = 0}

) és \{\displaystyle \ varphi }

a szélesség. Vegye figyelembe, hogy a \\displaystyle\lambda }

és a \\displaystyle\varphi }

radiánban vannak (a fokmérést úgy kapjuk meg, hogy a mértéket megszorozzuk a\ \ displaystyle \ pi }

/180). A hosszúság (hosszúság) {\displaystyle \lambda }

{\displaystyle }

és a szélesség (szélesség) {\displaystyle \varphi }

a {\displaystyle }

tartományban van .

mivel y ‘( ++ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

az előző szakasz párhuzamos skálát ad meg, k = ++ x a cos\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiánskála h = XXII y a = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\Delta \varphi \,}}=\,1}

a pontskála tetszőleges irányú kiszámításához lásd a kiegészítést.

Az ábra szemlélteti a Tissot indikatrixot ehhez a vetülethez. Az egyenlítőn h=k=1 és a kör alakú elemek torzulásmentesekprojekció. Magasabb szélességeken a körök ellipszissé torzulnak, amelyet csak a párhuzamos irányban nyújtunk: a meridián irányban nincs torzulás. A főtengely és a kistengely aránya sec ++ {\displaystyle \sec \varphi}

. Nyilvánvaló, hogy az ellipszis területe ugyanazzal a tényezővel növekszik.

tanulságos megfontolni a sávmérlegek használatát, amelyek megjelenhetnek a vetület nyomtatott változatán. A skála igaz (k=1) az egyenlítőn úgy, hogy a nyomtatott térképen a hosszának az RF (vagy fő skála) inverzével való szorzása megadja a Föld tényleges kerületét. A térképen lévő sávskálát szintén a valódi skálán rajzolják meg, így az egyenlítő két pontja közötti elválasztás áthelyezése a sávskálára megadja a megfelelő távolságot e pontok között. Ugyanez igaz a meridiánokra is. Az egyenlítőtől eltérő párhuzamon a skála sec ++ {\displaystyle \sec \varphi}

tehát amikor a sávskála párhuzamától elválasztjuk az elválasztást, el kell osztanunk a sávskála távolságát ezzel a tényezővel, hogy megkapjuk a pontok közötti távolságot a párhuzamos mentén mérve (ami nem a valódi távolság egy nagy kör mentén). Egy olyan vonalon, amely mondjuk 45 fokos irányzaton van (\displaystyle \ beta =45^{\circ }}

), a skála folyamatosan változik a szélességi foktól függően, és a vonal mentén történő elválasztás áthelyezése a sávskálára semmilyen egyszerű módon nem ad a valódi távolsághoz kapcsolódó távolságot. (Lásd a kiegészítést). Még akkor is, ha ki tudnánk dolgozni egy távolságot az állandó vonal mentén, annak relevanciája megkérdőjelezhető, mivel a vetület ilyen vonala a gömb bonyolult görbéjének felel meg. Ezen okok miatt a kis léptékű térképeken a sávmérlegeket rendkívül óvatosan kell használni.

Mercator projectionEdit

a Mercator vetülete egy téglalapra (végtelen kiterjedésű y {\displaystyle y}

-irányba) térképezi fel a gömböt az X = a \\displaystyle x=a \ lambda\,}

y = a Ln ++ {\displaystyle y=a \ln\left}

ahol a, ++ {\displaystyle \ Lambda\,}

és \{\displaystyle \ varphi\,}

olyanok, mint az előző példában. Mivel y ‘( ++ ) = sec ++ {\displaystyle y'(\varphi )=a\SEC \varphi }

a skálatényezők a következők: párhuzamos skála K = ++ x cos ++ = sec++. {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi\, \ delta \ lambda\,}}=\, \ sec \ varphi .}

meridiánskála H = és a A = Sec). {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi\,}}=\, \ sec \ varphi .}

a matematikai kiegészítésben azt mutatjuk be, hogy a pontskála tetszőleges irányban is egyenlő sec ++ {\displaystyle \sec \varphi }

tehát a skála izotróp (minden irányban azonos), nagysága a szélességgel növekszik, mint sec ++ {\displaystyle \sec \varphi }

. A Tissot-diagramban minden végtelenül kis kör alakú elem megőrzi alakját, de a szélesség növekedésével egyre inkább megnő.

Lambert ‘ s equal area projectionEdit

a grafikon a fenti három példa skálatényezőinek variációját mutatja. A felső diagram az izotróp Mercator skála függvényt mutatja: a párhuzamos skála megegyezik a meridiánon lévő skálával. A többi ábra a meridián skála tényezőjét mutatja az Equirectangular vetületre (h=1) és a Lambert equal area vetületre. Ennek az utolsó két vetületnek párhuzamos skálája van, amely megegyezik a Mercator-telekkel. Lambert számára vegye figyelembe, hogy a párhuzamos skála (mint Mercator A) a szélességgel növekszik, a meridián skála (C) pedig a szélességgel csökken oly módon, hogy hk=1, garantálva a terület megőrzését.

Scale variation on the Mercator projectionEdit

a Mercator pont skála egység az egyenlítőn, mert olyan, hogy az építésében használt segédhenger érintőleges a Föld az egyenlítőn. Ezért a szokásos vetületet tangens vetületnek kell nevezni. A skála a szélességi foktól függően változik, mint k = sec ++ {\displaystyle k = \sec \varphi}

. Mivel a SEC ++ {\displaystyle \sec \varphi }

a pólusokhoz közeledve a végtelenségig hajlik, a Mercator térképe nagy szélességi fokon erősen torzul, ezért a vetítés teljesen alkalmatlan a világtérképekhez (kivéve, ha navigációról és loxonvonalakról beszélünk). Körülbelül 25 fokos szélességi fokon azonban a SEC ++ {\displaystyle \sec \varphi}

értéke körülbelül 1.1 tehát a Mercator pontossága 10% – on belül van egy 50 fokos szélességű sávban, az Egyenlítő közepén. A keskenyebb csíkok jobbak:egy 16 fokos szélességű csík (az Egyenlítő közepén) 1% – on belül vagy 1 rész 100-ban pontos.

a jó nagy léptékű térképek standard kritériuma, hogy a pontosság 4 rész 10 000-ben vagy 0,04% – ban legyen, ami k = 1,0004 {\displaystyle k=1,0004}

. Mivel a SEC ++ {\displaystyle \sec \varphi}

ezt az értéket a következő helyen éri el: ++ = 1.62 {\displaystyle \ varphi =1,62}

fok (lásd az alábbi ábrát, piros vonal). Ezért a tangens Mercator vetülete nagyon pontos egy 3,24 fokos szélességű sávon belül, az Egyenlítő közepén. Ez körülbelül 360 km (220 mérföld) észak-déli távolságnak felel meg. Ezen a szalagon belül a Mercator nagyon jó, nagyon pontos és alakmegőrző, mert konform (szögmegőrző). Ezek a megfigyelések arra késztették a keresztirányú Mercator-vetületek kifejlesztését, amelyekben a meridiánt úgy kezelik, mint a vetület egyenlítőjét, hogy pontos térképet kapjunk a meridiántól szűk távolságon belül. Az ilyen térképek jó országok igazított közel észak-déli (mint Nagy-Britannia), és egy sor 60 ilyen térképek használják a Universal Transverse Mercator (UTM). Vegye figyelembe, hogy mindkét vetületben (amelyek különböző ellipszoidokon alapulnak) az X és y transzformációs egyenletei, valamint a skálatényező kifejezése mind a szélességi, mind a hosszúsági bonyolult függvények.

Secant, or modified, projectionsEdit

a szekáns vetület alapötlete az, hogy a gömböt egy hengerbe vetítik, amely két párhuzamban keresztezi a gömböt, mondjuk, hogy 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

Észak és Dél. Nyilvánvaló, hogy a skála most igaz ezeken a szélességi fokokon, míg az ezen szélességi fokok alatti párhuzamokat a vetület csökkenti, és a (párhuzamos) skála tényezőjüknek kevesebbnek kell lennie, mint egy. Az eredmény az, hogy a skála eltérése az egységtől szélesebb szélességi tartományban csökken.

példaként az egyik lehetséges szekáns Mercator-vetületet

x = 0,9996 a ++ Y = 0,9996 a ln) határozza meg . {\displaystyle x=0,9996 a \ lambda \ qquad \ qquad y=0,9996 a \ Ln \ left (\tan\left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right) \ right).}

a numerikus szorzók nem változtatják meg a vetület alakját, de ez azt jelenti, hogy a skálafaktorok módosulnak:

secant Mercator skála, k = 0,9996 sec++. {\displaystyle \ quad k\;=0,9996 \sec \ varphi .}

így

• a skála az egyenlítőn 0,9996,
• a skála K = 1 a szélességben, amelyet az 1. számú fővonal ad meg, az 1. számú főútvonalon, amelyet az 1. számú főút határoz meg, {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  ahol Sec 1 = 1 / 0,9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  úgy, hogy 1 = 1,62 {\displaystyle \varphi _{1}=1,62}

  

  fok, k=1,0004 a szélességi fokon, 2. \{\displaystyle\varphi _{2}}

  

  a SEC-től adva 2 = 1,0004 / 0,9996 = 1,0008 {\displaystyle \sec \ varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  , amelynél az ++ 2 = 2,29 támogatás {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  fok. Ezért a vetület 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , azaz 0,04% – os pontosság , szélesebb, 4,58 fokos csík felett (szemben az érintő forma 3,24 fokával).

ezt az előző szakasz ábrájának alsó (zöld) görbéje szemlélteti.

az UTM és a brit OSGB vetületben ilyen keskeny, nagy pontosságú zónákat használunk, amelyek mindegyike szekáns, keresztirányú Mercator az ellipszoidon, a skála a központi meridián állandón k 0 = 0,9996 {\displaystyle k_{0}=0,9996}

. A K = 1 {\displaystyle k=1}

egyenlő nagyságú vonalak a középső meridiántól körülbelül 180 km-re keletre és nyugatra enyhén ívelt vonalak. A skála tényező maximális értéke UTM esetén 1,001, OSGB esetén pedig 1,0007.

az egységskála vonalai az 1.szélességi fokon (\displaystyle \varphi _{1}}

(Észak és Dél), ahol a hengeres vetületfelület metszi a gömböt, a szekáns vetület standard párhuzamai.

míg egy keskeny sáv | k − 1 | < 0,0004 {\displaystyle |k-1|<0,0004}

fontos a nagy pontosságú leképezéshez nagy léptékben, a világtérképeknél sokkal szélesebb távolságra elhelyezkedő szabványos párhuzamokat használnak a skála variációjának szabályozására. Példák

• Behrmann szabványos párhuzamokkal 30N, 30S.
• epe egyenlő terület standard párhuzamokkal 45N, 45S.

az utóbbiak skálatáblázatai az alábbiakban láthatók a Lambert egyenlő terület skála tényezőivel összehasonlítva. Ez utóbbiban az Egyenlítő egyetlen standard párhuzamos, a párhuzamos skála pedig K=1-ről növekszik, hogy kompenzálja a meridián skála csökkenését. Az epe esetében a párhuzamos skála az egyenlítőn csökken (k=0,707-re), míg a meridián skála növekszik (k=1,414-re). Ez az alak durva torzulását eredményezi az epe-Peters vetületben. (A világon Afrika körülbelül olyan hosszú, mint széles). Vegye figyelembe, hogy a meridián és a párhuzamos skálák egyaránt egységesek a standard párhuzamokon.

Mathematical addendumEdit

normál hengeres vetületeknél a végtelen kis elemek geometriája AD

(A) Tan(Tan) = a cos(cos) a (cos), {\displaystyle {\text {(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\COS \varphi \,\Delta \lambda }{a\,\Delta \varphi}},}

(b) tan ⁡ β = δ δ x y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text {(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}

a kapcsolat A szög β {\displaystyle \béta }

, majd α {\displaystyle \alfa }

(c) tan ⁡ β = egy percet ⁡ φ y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi)}} \tan \alpha .\ ,}

a Mercator-vetületre y ‘( ++ ) = a SEC \{\displaystyle\y'(\varphi )=a\SEC\varphi }

a\SEC\alpha = \beta }

: a szögek megmaradnak. (Aligha meglepő, mivel ezt a kapcsolatot használják a Mercator levezetéséhez). Az egyenlő, illetve Lambert előrejelzések van y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\, mert \varphi }

, illetve így a kapcsolat α {\displaystyle \alfa }

, majd a β {\displaystyle \béta }

attól függ, hogy a szélesség φ {\displaystyle \varphi }

. Leírhatják a pontos skálán a P amikor a végtelenül elem PQ tesz egy szög α {\displaystyle \alfa \,}

a meridián által μ .α. {\displaystyle \ mu _ {\alpha}.}

Ez által megadott arány távolságok: μ α = lim Q → P P Q P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 2 δ φ 2 + 2 cos 2 ⁡ φ ∆ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P Q}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}.}

Beállítás δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

, majd a helyettesítő δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

, majd a δ y {\displaystyle \delta y}

a egyenleteket (a) vagy (b), illetve ad μ α ( φ ) = mp ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _ {\alpha } (\varphi) = \sec \varphi \ left.}

a Mercatoron kívüli vetületeknél először ki kell számolnunk a \\displaystyle\beta }

a \\displaystyle\alpha }

és a\{\displaystyle \varphi }

a (C) egyenlet segítségével, mielőtt rátalálnánk a (C) – re, hogy megtaláljuk a (C) – t, mielőtt rátalálnánk A (Z)\\displaystyle \ Mu _{\Alpha }}

. Például az equirectangularis vetület y ‘= a {\displaystyle y ‘=a}

tehát tan (tan), azaz tan (tan), azaz tan (tan), azaz tan (sec), azaz tan (SC), azaz tan (SC), azaz tan (SC), azaz tan (SC), azaz tan (SC), azaz tan (SC). {\displaystyle \ tan \ beta = \ sec \ varphi \ tan \ alpha .\ ,}