Data un’istruzione R, l’istruzione \(\sim R\) è chiamata negazione di R. Se R è un’istruzione complessa, è spesso il caso che la sua negazione \(\sim R\) possa essere scritta in una forma più semplice o più utile. Il processo di ricerca di questa forma è chiamato negazione di R. Nel dimostrare i teoremi è spesso necessario negare certe affermazioni. Ora indaghiamo su come farlo.
Abbiamo già esaminato parte di questo argomento. Le leggi di DeMorgan
\(\sim (P \wedge Q) = (\sim P) \vee (\sim Q)\)
\(\sim (P \vee Q) = ( \sim P) \wedge (\sim Q)\)
Forse puoi trovare \(\sim R\) senza invocare le leggi di DeMorgan. Questo è un bene; hai interiorizzato le leggi di DeMorgan e le stai usando inconsciamente.
non è il caso che P(x) è vera per tutti i numeri naturali x.
\(\sim (\forall x \in X, P(x)) = \exists x \in X \sim P(x)\)
\(\sim (\exists x \in X, P(x)) = \forall x \in X \sim P(x)\)
assicurati che la comprensione di queste due equivalenza logica. Sono conformi al nostro uso quotidiano del linguaggio, ma ne fissano il significato in modo matematicamente preciso.
\(\sim (P \Rightarrow Q) = P \ wedge \ sim Q\).
(Infatti, nell’esercizio 12 della Sezione 2.6, hai usato una tabella di verità per verificare che queste due affermazioni siano effettivamente logicamente equivalenti.)
L’esempio precedente 2.15 ha mostrato come negare un’istruzione condizionale \(P(x) \Rightarrow Q(x)\). Questo tipo di problema a volte può essere incorporato in negazione più complessa. Vedere l’esercizio 5 sotto (e la sua soluzione).