autore osserva che “La notazione che il lavoro è stato sostituito dal successivo sviluppo della logica, durante il 20 ° secolo, nella misura in cui il principiante ha problemi di lettura PM a tutti”; mentre gran parte del contenuto simbolico, può essere convertito in notazione moderna, originale notazione stesso è “un soggetto di controversia scientifica”, e la notazione “incarna sostanziale logico dottrine in modo che non può essere semplicemente sostituito dal simbolismo contemporaneo”.
Kurt Gödel fu aspramente critici con la notazione:
“Si lamenta che questa prima completa e approfondita presentazione di una logica matematica e la derivazione di matematica, così notevolmente carente in precisione formale nelle fondazioni (contenute in ✸1–✸21 dei Principia ) che rappresenta in questo senso un notevole passo indietro rispetto Grundgesetze. Ciò che manca, soprattutto, è una precisa affermazione della sintassi del formalismo. Le considerazioni sintattiche sono omesse anche nei casi in cui sono necessarie per la cogenza delle prove”.
Ciò si riflette nell’esempio seguente dei simboli “p”, “q”, “r” e “⊃” che possono essere formati nella stringa “p q q r r”. PM richiede una definizione di cosa significhi questa stringa di simboli in termini di altri simboli; nei trattamenti contemporanei le ” regole di formazione “(regole sintattiche che portano a” formule ben formate”) avrebbero impedito la formazione di questa stringa.
Fonte della notazione: Il capitolo I “Spiegazioni preliminari di idee e notazioni” inizia con la fonte delle parti elementari della notazione (i simboli = ⊃ ≡−ΛVε e il sistema di punti):
“La notazione adottata nel presente lavoro si basa su quella di Peano, e le seguenti spiegazioni sono in qualche misura modellati su quelli che egli prefissi al suo Formulario Mathematico . Il suo uso di punti come parentesi è adottato, e così sono molti dei suoi simboli” (PM 1927:4).
PM cambiò Pe di Peano in⊃, e adottò anche alcuni dei simboli successivi di Peano, come ℩ e ι, e la pratica di Peano di capovolgere le lettere.
PM adotta il segno di asserzione ” ⊦ ” dal Begriffsschrift 1879 di Frege:
“(I)t può essere letto ‘è vero che'”
Quindi per affermare una proposizione p PM scrive:
“⊦. p. ” (PM 1927: 92)
(Osservare che, come nell’originale, il punto sinistro è quadrato e di dimensioni maggiori rispetto al periodo a destra.)
La maggior parte del resto della notazione in PM è stata inventata da Whitehead.
Introduzione alla notazione di “Sezione A Logica Matematica” (formule ✸1–5 5.71)Modifica
I punti di PM sono usati in modo simile alle parentesi. Ogni punto (o punto multiplo) rappresenta una parentesi sinistra o destra o il simbolo logico ∧. Più di un punto indica la ” profondità “delle parentesi, ad esempio”.”, “: “o”:.”, “::”. Tuttavia la posizione della parentesi destra o sinistra corrispondente non è indicata esplicitamente nella notazione, ma deve essere dedotta da alcune regole che sono complesse e talvolta ambigue. Inoltre, quando i punti rappresentano un simbolo logico, i suoi operandi sinistro e destro devono essere dedotti usando regole simili. Per prima cosa bisogna decidere in base al contesto se i punti rappresentano una parentesi sinistra o destra o un simbolo logico. Quindi si deve decidere fino a che punto è l’altra parentesi corrispondente: qui si continua fino a quando si incontra un numero maggiore di punti, o lo stesso numero di punti successivi che hanno “forza” uguale o maggiore, o la fine della linea. I punti accanto ai segni⊃,≡,=, = Df hanno una forza maggiore dei punti accanto a (x), (x x) e così via, che hanno una forza maggiore dei punti che indicano un prodotto logico ∧.
Esempio 1. La linea
3 3.4. ⊢ : p . q. ⊃ . p q q
corrisponde a
⊢ ((p q q) ⊃ (p q q)).
I due punti in piedi insieme immediatamente dopo il segno di asserzione indicano che ciò che viene affermato è l’intera linea: poiché ce ne sono due, la loro portata è maggiore di quella di uno qualsiasi dei singoli punti alla loro destra. Sono sostituiti da una parentesi sinistra in piedi dove sono i punti e una parentesi destra alla fine della formula, quindi:
⊢ (p . q. ⊃ . p q q).
(In pratica, queste parentesi più esterne, che racchiudono un’intera formula, vengono solitamente soppresse.) Il primo dei singoli punti, in piedi tra due variabili proposizionali, rappresenta la congiunzione. Appartiene al terzo gruppo e ha lo scopo più ristretto. Qui è sostituito dal simbolo moderno per la congiunzione”∧”, quindi
⊢ (p q q . ⊃ . p q q).
I due punti singoli rimanenti individuano il connettivo principale dell’intera formula. Illustrano l’utilità della notazione a punti nel individuare quei connettivi che sono relativamente più importanti di quelli che li circondano. Quello a sinistra di “⊃” è sostituito da una coppia di parentesi, quello a destra va dove si trova il punto e quello a sinistra va il più lontano possibile a sinistra senza attraversare un gruppo di punti di maggiore forza, in questo caso i due punti che seguono il segno di asserzione, quindi
⊢ ((p q q) ⊃ . p q q)
Il punto a destra di “⊃” è sostituito da una parentesi sinistra che va dove si trova il punto e una parentesi destra che va il più lontano possibile a destra senza andare oltre l’ambito già stabilito da un gruppo di punti di maggiore forza (in questo caso i due punti che hanno seguito il segno di asserzione). Quindi la parentesi destra che sostituisce il punto a destra di ” ⊃ ” viene posizionata davanti alla parentesi destra che ha sostituito i due punti seguendo il segno di asserzione, quindi
⊢ ((p q q) ⊃ (p q q)).
Esempio 2, con punti doppi, tripli e quadrupli:
9 9.521. ⊢ :: (x x). φx . ⊃ . d : ⊃ : . (∃X). φx . v. r : ⊃ . q v r
sta per
((((∃x)(φx)) ⊃ q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Esempio 3, con un doppio punto che indica una logica simbolo (dal volume 1, pagina 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
sta per
(p⊃q) ∧ (q⊃r)⊃(p⊃r))
in cui il doppio punto rappresenta la logica simbolo ∧ e possono essere considerate come aventi priorità maggiore, come un non-logico singolo punto.
Più avanti, nella sezione ✸14, appaiono le parentesi””, e nelle sezioni sections 20 e seguenti, appaiono le parentesi” {}”. Non è chiaro se questi simboli abbiano significati specifici o siano solo per chiarimenti visivi. Purtroppo il singolo punto (ma anche “:”, “:.”, “:: “, ecc.) è anche usato per simboleggiare “prodotto logico” (logico contemporaneo E spesso simboleggiato da “&” o”∧”).
L’implicazione logica è rappresentata da “Pe” di Peano semplificato in “⊃”, la negazione logica è simboleggiata da una tilde allungata, cioè “~” (contemporaneo “~” o””), la logica O da “v”. Il simbolo ” = “insieme a” Df “è usato per indicare” è definito come”, mentre nelle sezioni ✸13 e seguenti, ” = “è definito come (matematicamente)” identico a”, cioè,” uguaglianza ” matematica contemporanea (cfr. discussione nella sezione ✸13). L’equivalenza logica è rappresentata da ” ≡ “(contemporaneo “se e solo se”); le funzioni proposizionali “elementari” sono scritte nel modo consueto, ad esempio “f(p)”, ma in seguito il segno della funzione appare direttamente prima della variabile senza parentesi, ad esempio “φx”, “xx”, ecc.
Esempio, PM introduce la definizione di “prodotto logico” come segue:
✸3,01. p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.dove ” p . q ” è il prodotto logico di p e q. ✸3.02. p q q r r .=. p q p . q r r Df.Questa definizione serve semplicemente ad abbreviare le prove.
Traduzione delle formule in simboli contemporanei: Vari autori usano simboli alternativi, quindi nessuna traduzione definitiva può essere data. Tuttavia, a causa di critiche come quella di Kurt Gödel di seguito, i migliori trattamenti contemporanei saranno molto precisi rispetto alle” regole di formazione ” (la sintassi) delle formule.
La prima formula potrebbe essere convertita in simbolismo moderno come segue:
(p &q) =df (~(~p v ~q))
alternativamente
(p &q) =df ((p v q))
alternativamente
(p ∧ q) =df ((p v q))
ecc.
La seconda formula potrebbe essere convertiti come segue:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Ma si noti che questo non è (logicamente equivalente a (p → (q → r)) o ((p → q) → r), e questi due non sono logicamente equivalenti sia.
Introduzione alla notazione della “Sezione B Teoria delle variabili apparenti” (formule formulas 8–formulas 14.34) Modifica
Queste sezioni riguardano ciò che ora è noto come logica predicato e logica predicato con identità (uguaglianza).
- NB: Come risultato di critiche e progressi, la seconda edizione di PM (1927) sostituisce ✸9 con un nuovo 8 8 (Appendice A). Questa nuova sezione elimina la distinzione della prima edizione tra variabili reali e apparenti, ed elimina “l’idea primitiva” asserzione di una funzione proposizionale”. Per aggiungere alla complessità del trattamento, ✸8 introduce la nozione di sostituzione di una “matrice” e il tratto di Sheffer:
- Matrix: Nell’uso contemporaneo, la matrice di PM è (almeno per le funzioni proposizionali), una tabella di verità, cioè tutti i valori di verità di una funzione proposizionale o predicata.
- Sheffer stroke: È la NAND logica contemporanea (NON-AND), cioè “incompatibilità”, che significa:
“Date due proposizioni p e q, allora’ p | q ‘ significa “la proposizione p è incompatibile con la proposizione q”, cioè se entrambe le proposizioni p e q valutano come vere, allora e solo allora p | q valuta come false.”Dopo la sezione 8 8 la corsa Sheffer non vede alcun utilizzo.
Sezione ✸10: Gli”operatori” esistenziali e universali: PM aggiunge ” (x) “per rappresentare il simbolismo contemporaneo “per tutti x”, cioè” x x”, e usa una E serifata all’indietro per rappresentare” esiste una x”, cioè” (ƎX)”, cioè il contemporaneo”x x”. La notazione tipica sarebbe simile alla seguente:
” (x) . φx “significa” per tutti i valori della variabile x, la funzione φ valuta true “” (ƎX) . φx “significa” per alcuni valori della variabile x, la funzione φ valuta true”
Sezioni ✸10, Properties 11,. 12: Proprietà di una variabile estesa a tutti gli individui: la sezione ✸10 introduce la nozione di “proprietà” di una “variabile”. PM dà l’esempio: φ è una funzione che indica “è un greco”, e ψ indica “è un uomo”, e χ indica” è un mortale ” queste funzioni si applicano quindi a una variabile x. PM può ora scrivere e valutare:
(x) . ψx
La notazione sopra significa “per tutti x, x è un uomo”. Data una raccolta di individui, si può valutare la formula di cui sopra per verità o falsità. Ad esempio, data la raccolta limitata di individui { Socrate, Platone, Russell, Zeus } quanto sopra valuta “vero” se permettiamo a Zeus di essere un uomo. Ma fallisce per:
(x) . φx
perché Russell non è greco. E fallisce per
(x) . xx
perché Zeus non è un mortale.
Equipaggiato con questa notazione PM può creare formule per esprimere quanto segue: “Se tutti i greci sono uomini e se tutti gli uomini sono mortali allora tutti i greci sono mortali”. (PM 1962: 138)
(x). φxxx :(x). xx xx xx: x: (x) . φx xx xx
Un altro esempio: la formula:
✸10.01. (xX). φx . = . ~(X) . – φx Df.
significa ” I simboli che rappresentano l’asserzione ‘Esiste almeno una x che soddisfa la funzione φ’ è definito dai simboli che rappresentano l’asserzione ‘Non è vero che, dati tutti i valori di x, non ci sono valori di x che soddisfano φ'”.
I simboli x x e “x x” appaiono a ✸10.02 e ✸10.03. Entrambe sono abbreviazioni per universalità (cioè per tutti) che legano la variabile x all’operatore logico. La notazione contemporanea avrebbe semplicemente usato parentesi al di fuori del segno di uguaglianza ( ” = ” ):
1 10.02 φx x xxx .=. (X). φx ⊃ ψx dfnotazione temporanea: ∀x(φ (x) → → (x)) (o una variante) φ 10.03 φx x xxx .=. (X). φx ≡ ψx dfnotazione temporanea: φ x(φ(x) ↔ Pe(x)) (o una variante)
PM attribuisce il primo simbolismo a Peano.
La sezione ✸11 applica questo simbolismo a due variabili. Quindi le seguenti notazioni: x x, y y, could x, y potrebbero apparire tutte in una singola formula.
La sezione ✸12 reintroduce la nozione di “matrice” (tabella di verità contemporanea), la nozione di tipi logici, e in particolare le nozioni di funzioni e proposizioni del primo e del secondo ordine.
Nuovo simbolismo “φ ! x ” rappresenta qualsiasi valore di una funzione del primo ordine. Se un circonflesso “”è posto su una variabile, allora questo è un valore” individuale ” di y, il che significa che “ŷ” indica “individui” (ad esempio, una riga in una tabella di verità); questa distinzione è necessaria a causa della matrice/natura estensionale delle funzioni proposizionali.
Ora dotato della nozione di matrice, PM può affermare il suo controverso assioma di riducibilità: una funzione di una o due variabili (due sono sufficienti per l’uso di PM) in cui sono dati tutti i suoi valori (cioè, nella sua matrice) è (logicamente) equivalente ( ” ≡ “) ad alcune funzioni” predicative ” delle stesse variabili. La definizione di una variabile è riportata di seguito come illustrazione della notazione (PM 1962: 166-167):
✸12.1⊢: (f f): φx .xf ! x Pp;
Pp è una “Proposizione primitiva” (“Proposizioni assunte senza prova”) (PM 1962:12, cioè “assiomi” contemporanei), aggiungendo al 7 definito nella sezione pon 1 (a partire da mod 1.1 modus ponens). Queste devono essere distinte dalle “idee primitive” che includono il segno di asserzione “⊢”, la negazione “~”, logica O “V”, le nozioni di “proposizione elementare” e “funzione proposizionale elementare”; queste sono le più vicine alle regole di formazione notazionale, cioè alla sintassi.
Questo significa: “Affermiamo la verità di quanto segue: Esiste una funzione f con la proprietà che: dati tutti i valori di x, le loro valutazioni in funzione φ (cioè, risultante dalla loro matrice) è logicamente equivalente ad alcune f valutate a quegli stessi valori di x. (e viceversa, quindi equivalenza logica)”. In altre parole: data una matrice determinata dalla proprietà φ applicata alla variabile x, esiste una funzione f che, quando applicata alla x è logicamente equivalente alla matrice. Oppure: ogni matrice φx può essere rappresentata da una funzione f applicata a x e viceversa.
✸13: L’operatore di identità “=” : Questa è una definizione che utilizza il segno in due modi diversi, come notato dalla citazione di PM:
✸13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
significa:
” Questa definizione afferma che x e y devono essere chiamati identici quando ogni funzione predicativa soddisfatta da x è soddisfatta anche da y … Si noti che il secondo segno di uguaglianza nella definizione di cui sopra è combinato con “Df”, e quindi non è realmente lo stesso simbolo del segno di uguaglianza che è definito.”
Il segno non uguale ” ≠ ” fa la sua comparsa come definizione a ✸13.02.
✸14: Descrizioni:
“Una descrizione è una frase della forma “il termine y che soddisfa φŷ, dove φŷ è una funzione soddisfatta da uno e un solo argomento.”
Da questo PM impiega due nuovi simboli, una ” E “in avanti e uno iota invertito”℩”. Ecco un esempio:
✸14.02. E ! (y y) (φy).= : (bB): φy . – sì . y = b Df.
Questo ha il significato:
“La y soddisfacente φ exists esiste”, che vale quando, e solo quando φŷ è soddisfatta da un valore di y e da nessun altro valore.”(PM 1967:173-174)
Introduzione alla notazione della teoria delle classi e delle relazionimodifica
Il testo salta dalla sezione directly 14 direttamente alle sezioni fondamentali THEORY 20 TEORIA GENERALE DELLE CLASSI e THEORY 21 TEORIA GENERALE DELLE RELAZIONI. Le “Relazioni” sono ciò che è noto nella teoria degli insiemi contemporanea come insiemi di coppie ordinate. Le sezioni ✸20 e 2 22 introducono molti dei simboli ancora in uso contemporaneo. Questi includono i simboli “ε”, “⊂”, “∩”, “∪”, “–”, “Λ” e “V”: “ε” significa “è un elemento di” (PM 1962:188); “⊂” (✸22.01) significa “è contenuta in”, “è un sottoinsieme di”; “∩” (✸22.02) indica l’intersezione (prodotto logico) di classi (set); “∪” (✸22.03) significa unione (somma logica) di classi (set); “–” (✸22.03) significa negazione di una classe (set); “Λ” indica la classe null; e ” V ” indica la classe universale o universo del discorso.
Le piccole lettere greche (diverse da “ε”, “ι”, “π”, “φ”, “ψ”, “χ” e “θ”) rappresentano classi (ad esempio, “α”, “β”, “γ”, “δ”, ecc.) (PM 1962: 188):
x ε α”L’uso di una singola lettera al posto di simboli come ẑ(φz) o φ(φ ! z) è praticamente quasi indispensabile, poiché altrimenti la notazione diventa rapidamente intollerabile. Quindi ‘x ε α ‘significherà’ x è un membro della classe α'”. (PM 1962:188) α ∪ –α = Vl’unione di un insieme e il suo inverso è l’insieme universale (completato). α ∩ – α = Λl’intersezione di un insieme e il suo inverso è l’insieme nullo (vuoto).
Quando applicato alle relazioni nella sezione CALC 23 CALCOLO DELLE RELAZIONI, i simboli “⊂”, “∩”, “∪”, e ” – ” acquisisci un punto: ad esempio: “⊍”, “∸”.
La nozione e la notazione di “una classe” (insieme): Nella prima edizione PM afferma che non sono necessarie nuove idee primitive per definire cosa si intende per “una classe”, e solo due nuove “proposizioni primitive” chiamate rispettivamente assiomi di riducibilità per classi e relazioni (PM 1962:25). Ma prima che questa nozione possa essere definita, PM ritiene necessario creare una notazione peculiare ” φ (φz)” che chiama un “oggetto fittizio”. (PM 1962: 188)
⊢: x ε ε(φz).≡. (φx) “cioè,’ x è un membro della classe determinata da (φẑ)’ è equivalente a ‘ x soddisfa (φ φ),’ o a ‘(φx) è vero.'”. (PM 1962:25)
Almeno PM può dire al lettore come si comportano questi oggetti fittizi, perché “Una classe è interamente determinata quando la sua appartenenza è nota, cioè non ci possono essere due classi diverse con la stessa appartenenza” (PM 1962: 26). Questo è simboleggiato dalla seguente uguaglianza (simile a above 13.01 sopra:
ẑ(φz) = ẑ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx ” Quest’ultima è la caratteristica distintiva delle classi e ci giustifica nel trattare ẑ(ψz) come la classe determinata da ψẑ.”(PM 1962: 188)
Forse quanto sopra può essere reso più chiaro dalla discussione delle classi in Introduzione alla Seconda Edizione, che dispone dell’Assioma della Riducibilità e lo sostituisce con la nozione: “Tutte le funzioni delle funzioni sono estensionali” (PM 1962: xxxix), cioè
φx x xxx .⊃. (x): ƒ (φ φ) ƒ ƒ (PM) (PM 1962:xxxix)
Questo ha il significato ragionevole che “SE per tutti i valori di x i valori di verità delle funzioni φ e ψ di x sono equivalenti, ALLORA la funzione ƒ di un dato φ φ e ƒ di ψẑ sono equivalenti.”PM afferma che questo è “ovvio”:
” Questo è ovvio, poiché φ può verificarsi solo in ƒ (φẑ) sostituendo i valori di φ per p, q, r, … in una funzione, e, se φx ≡ ψx, la sostituzione di φx per p in una funzione dà lo stesso valore di verità alla funzione di verità come la sostituzione di ψx. Di conseguenza non c’è più alcun motivo per distinguere tra le classi di funzioni, poiché abbiamo, in virtù di quanto sopra, φx x xxx .⊃. (X). φ φ = . ψẑ”.
Osservare la modifica al segno di uguaglianza ” = ” sulla destra. PM continua affermando che continuerà ad aggrapparsi alla notazione ” ẑ (φz)”, ma questo è semplicemente equivalente a φẑ, e questa è una classe. (tutte le citazioni: PM 1962: xxxix).