Scala (mappa)

Come dimostrato dal Teorema Eegium di Gauss, una sfera (o ellissoide) non può essere proiettata su un piano senza distorsioni. Ciò è comunemente illustrato dall’impossibilità di levigare una buccia d’arancia su una superficie piana senza strapparla e deformarla. L’unica vera rappresentazione di una sfera a scala costante è un’altra sfera come un globo.

Data la limitata dimensione pratica dei globi, dobbiamo usare le mappe per la mappatura dettagliata. Le mappe richiedono proiezioni. Una proiezione implica distorsione: Una separazione costante sulla mappa non corrisponde a una separazione costante sul terreno. Mentre una mappa può visualizzare una scala a barre grafica, la scala deve essere utilizzata con la consapevolezza che sarà accurata solo su alcune linee della mappa. (Questo è discusso ulteriormente negli esempi nelle sezioni seguenti.)

sia P un punto alla latitudine φ {\displaystyle \varphi }

e longitudine λ {\displaystyle \lambda }

sulla sfera (o ellissoide). Sia Q un punto confinante e sia α {\displaystyle \alpha }

l’angolo tra l’elemento PQ e il meridiano a P: questo angolo è l’angolo azimutale dell’elemento PQ. Sia P’ e Q ‘ punti corrispondenti sulla proiezione. L’angolo tra la direzione P’Q ‘ e la proiezione del meridiano è il cuscinetto β {\displaystyle \beta }

. In generale α β β {\displaystyle \ alpha \ neq \ beta}

. Commentare: questa precisa distinzione tra azimut (sulla superficie terrestre) e cuscinetto (sulla mappa) non è universalmente osservata, molti scrittori usano i termini quasi in modo intercambiabile.

Definizione: la scala del punto a P è il rapporto tra le due distanze P’Q ‘ e PQ nel limite che Q si avvicina a P. Scriviamo questo, come

µ ( λ , φ , α ) = lim Q → P P ‘ Q ‘P, Q,, {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\P}{\frac {P, Q’}{PQ}},}

dove la notazione indica che la scala è una funzione della posizione di P e anche la direzione dell’elemento PQ.

Definizione: se P e Q si trovano sullo stesso meridiano ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, il meridiano scala è indicato con h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definizione: se P e Q si trovano sullo stesso parallelo ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, il parallelo scala è indicato con k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definizione: se la scala del punto dipende solo dalla posizione, non dalla direzione, diciamo che è isotropica e convenzionalmente denota il suo valore in qualsiasi direzione dal fattore di scala parallelo k (λ, φ) {\displaystyle k(\lambda ,\varphi)}

.

Definizione: una proiezione cartografica è detta conforme se l’angolo tra una coppia di linee che si intersecano in un punto P è uguale all’angolo tra le linee proiettate nel punto proiettato P’, per tutte le coppie di linee che si intersecano nel punto P. Una mappa conforme ha un fattore di scala isotropico. Al contrario, i fattori di scala isotropica attraverso la mappa implicano una proiezione conforme.

L’isotropia della scala implica che i piccoli elementi sono allungati ugualmente in tutte le direzioni, cioè la forma di un piccolo elemento è preservata. Questa è la proprietà dell’ortomorfismo (dal greco ‘forma giusta’). La qualifica “piccolo” significa che ad una certa precisione di misura non può essere rilevata alcuna variazione nel fattore di scala rispetto all’elemento. Poiché le proiezioni conformi hanno un fattore di scala isotropico, sono state anche chiamate proiezioni ortomorfe. Ad esempio, la proiezione di Mercatore è conforme poiché è costruita per preservare gli angoli e il suo fattore di scala è isotopico, una funzione della sola latitudine: Mercatore conserva la forma in piccole regioni.

Definizione: su una proiezione conforme con una scala isotropa, i punti che hanno lo stesso valore di scala possono essere uniti per formare le linee di isoscala. Questi non sono tracciati su mappe per gli utenti finali, ma sono presenti in molti dei testi standard. (Vedi Snyder pagine 203-206.)

La frazione rappresentativa (RF) o scala principaleedit

Ci sono due convenzioni utilizzate per impostare le equazioni di una data proiezione. Per esempio, il equirettangolare proiezione cilindrica può essere scritto come:

cartografi: x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

matematici: x = λ {\displaystyle x=\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

Qui si adotta la prima di queste convenzioni (seguendo l’uso nel corso delle indagini, da parte di Snyder). Chiaramente le equazioni di proiezione di cui sopra definiscono le posizioni su un enorme cilindro avvolto intorno alla Terra e poi srotolato. Diciamo che queste coordinate definiscono la mappa di proiezione che deve essere distinta logicamente dalle mappe reali stampate (o visualizzate). Se la definizione di scala di punti nella sezione precedente è in termini di mappa di proiezione, possiamo aspettarci che i fattori di scala siano vicini all’unità. Per le normali proiezioni cilindriche tangenti la scala lungo l’equatore è k=1 e in generale la scala cambia man mano che ci spostiamo dall’equatore. L’analisi della scala sulla mappa di proiezione è un’indagine sul cambiamento di k dal suo vero valore di unità.

Le mappe stampate effettive sono prodotte dalla mappa di proiezione da una scala costante indicata da un rapporto come 1:100M (per le mappe del mondo intero) o 1:10000 (per i piani urbani). Per evitare confusione nell’uso della parola ‘scala’ questa frazione constantscale è chiamata la frazione rappresentativa (RF) della mappa stampata e deve essere identificata con il rapporto stampato sulla mappa. Le coordinate effettive della mappa stampata per la proiezione cilindrica equirettangolare sono

mappa stampata: x = ( R F ) λ {\displaystyle x=(RF)un\lambda }

y = ( R F ) φ {\displaystyle y=(RF)un\varphi }

Questa convenzione permette una chiara distinzione intrinseca proiezione di scala e la riduzione di scala.

Da questo punto ignoriamo la RF e lavoriamo con la mappa di proiezione.

Visualizzazione della scala dei punti: l’indicatrixEdit Tissot

si Consideri un piccolo cerchio sulla superficie della Terra, centrato in un punto P ad una latitudine di φ {\displaystyle \varphi }

e longitudine λ {\displaystyle \lambda }

. Poiché la scala del punto varia con la posizione e la direzione, la proiezione del cerchio sulla proiezione sarà distorta. Tissot ha dimostrato che, finché la distorsione non è troppo grande, il cerchio diventerà un’ellisse sulla proiezione. In generale la dimensione, la forma e l’orientamento dell’ellisse cambieranno sulla proiezione. La sovrapposizione di questi ellissi di distorsione sulla proiezione della mappa trasmette il modo in cui la scala dei punti sta cambiando sulla mappa. L’ellisse di distorsione è conosciuta come indicatrix di Tissot. L’esempio mostrato qui è la proiezione di Winkel tripel, la proiezione standard per le mappe del mondo realizzata dalla National Geographic Society. La distorsione minima è sul meridiano centrale a latitudini di 30 gradi (Nord e Sud). (Altri esempi).

Scala dei punti per le normali proiezioni cilindriche della sferaedit

La chiave per una comprensione quantitativa della scala è considerare un elemento infinitesimale sulla sfera. La figura mostra un punto P alla latitudine φ {\displaystyle \ varphi}

e longitudine λ {\displaystyle \lambda}

sulla sfera. Il punto Q è alla latitudine di φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

e longitudine λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. Le linee di PK e MQ sono archi di meridiani della lunghezza di un δ φ {\displaystyle a\,\delta \varphi }

dove un {\displaystyle a}

è il raggio della sfera e φ {\displaystyle \varphi }

è in radiante misura. Le linee PM e KQ sono archi di parallelo cerchi di lunghezza ( a cos ⁡ φ ) δ λ {\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }

con λ {\displaystyle \lambda }

in radiante misura. Nel derivare una proprietà punto della proiezione a P è sufficiente prendere un elemento infinitesimale PMQK della superficie: nel limite di Q che si avvicina a P tale elemento tende a un rettangolo planare infinitesimale.

Normale cilindrico proiezioni della sfera, si ha x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

e y {\displaystyle y}

uguale a una funzione di latitudine solo. Pertanto, l’elemento infinitesimale PMQK sulla sfera progetti per un elemento infinitesimale P SONO Q K’, che è un esatto in un rettangolo con la base δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

e altezza δ y {\displaystyle \delta y}

. Confrontando gli elementi su sfera e proiezione possiamo immediatamente dedurre espressioni per i fattori di scala su paralleli e meridiani. (Il trattamento della scala in una direzione generale può essere trovato di seguito. parallelamente fattore di scala k = δ x cos ⁡ δ φ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiano fattore di scala h = δ δ φ = y ‘( φ ) un {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}

Nota che il parallelo fattore di scala k = sec ⁡ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }

è indipendente dalla definizione di y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}

così è lo stesso per tutte le normali proiezioni cilindriche. È utile notare che a latitudine 30 gradi la scala parallela è k = sec ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\stile di visualizzazione k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}

alla latitudine di 45 ° parallelo scala è k = sec ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

alla latitudine di 60 ° parallelo scala è k = sec ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

alla latitudine di 80 gradi parallelo scala è k = sec ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

alla latitudine 85 gradi parallelo scala è k = sec ⁡ 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}

I seguenti esempi illustrano tre normali proiezioni cilindriche e in ogni caso la variazione di scala con la posizione e la direzione è illustrato l’uso di Tissot indicatrici.

Tre esempi di normale cilindrico projectionEdit

equirettangolare projectionEdit

La proiezione equirettangolare, noto anche come il Piatto Carrée (francese per “appartamento piazza”) o (un po ‘ fuorviante) equidistante proiezione, è definito da

x = a λ , {\displaystyle x=a\lambda}

y = φ , {\displaystyle y=\varphi ,}

in cui un {\displaystyle a}

è il raggio della sfera, λ {\displaystyle \lambda }

è la longitudine dal meridiano centrale di proiezione (inteso come il meridiano di Greenwich a λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}

) e φ {\displaystyle \varphi }

è la latitudine. Nota che λ {\displaystyle \lambda }

e φ {\displaystyle \varphi }

sono in radianti (ottenuto moltiplicando il grado di misurare il fattore di π {\displaystyle \pi }

/180). La longitudine λ {\displaystyle \lambda }

è nell’intervallo {\displaystyle }

e la latitudine φ {\displaystyle \varphi }

è nell’intervallo {\displaystyle }

.

Poiché y'(φ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

la sezione precedente fornisce una scala parallela, k = δ x a cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \ quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiano scala h = δ y un δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}

Per il calcolo del punto di scala in una direzione arbitraria vedi addendum.

La figura illustra l’indicatrix Tissot per questa proiezione. Sull’equatore h = k = 1 e gli elementi circolari non sono distortiproiezione. A latitudini più elevate i cerchi sono distorti in un’ellisse data dallo stiramento solo nella direzione parallela: non c’è distorsione nella direzione meridiana. Il rapporto tra l’asse maggiore e l’asse minore è sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi}

. Chiaramente l’area dell’ellisse aumenta dello stesso fattore.

È istruttivo considerare l’uso di scale a barre che potrebbero apparire su una versione stampata di questa proiezione. La scala è vera (k=1) sull’equatore in modo che moltiplicando la sua lunghezza su una mappa stampata per l’inverso della RF (o scala principale) dà la circonferenza effettiva della Terra. Anche la scala della barra sulla mappa viene disegnata sulla scala vera in modo che il trasferimento di una separazione tra due punti sull’equatore alla scala della barra fornisca la distanza corretta tra questi punti. Lo stesso vale per i meridiani. In parallelo altre rispetto all’equatore la scala è del sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

così, quando abbiamo il trasferimento di una separazione da una parallela alla barra di scala dobbiamo dividere la barra di scala di distanza da questo fattore per ottenere la distanza tra i punti, misurata lungo il parallelo (che non è la vera distanza lungo un cerchio massimo). Su una linea con un cuscinetto di diciamo 45 gradi (β =45 {{\displaystyle \beta=45^{\circ }}

) la scala varia continuamente con la latitudine e il trasferimento di una separazione lungo la linea alla scala a barre non fornisce una distanza correlata alla distanza reale in alcun modo semplice. (Ma vedi addendum). Anche se potessimo calcolare una distanza lungo questa linea di portamento costante, la sua rilevanza è discutibile poiché tale linea sulla proiezione corrisponde a una curva complicata sulla sfera. Per questi motivi le scale a barre su mappe su piccola scala devono essere utilizzate con estrema cautela.

Mercator projectionEdit

La proiezione di Mercatore, mappe ambito di un rettangolo (di infinite misura y {\displaystyle y}

-direzione) dalle equazioni x = a λ {\displaystyle x=a\lambda \,}

y = ln ⁡ {\displaystyle y=\ln \left}

dove, λ {\displaystyle \lambda \,}

e φ {\displaystyle \varphi \,}

sono come nell’esempio precedente. Poiché y ‘( φ )=sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi)=a\sec \varphi }

i fattori di scala sono: scala parallela k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .} scala meridiana h = δ e a δ φ = sec φ φ . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .}

la matematica addendum è dimostrato che la scala di punto in una direzione arbitraria è anche uguale a sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

quindi la scala è isotropo (la stessa in tutte le direzioni), la sua grandezza aumenta con la latitudine del sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

. Nel diagramma di Tissot ogni elemento circolare infinitesimale conserva la sua forma ma viene ingrandito sempre di più all’aumentare della latitudine.

Lambert parità di area di projectionEdit

Lambert parità di area di mappe di proiezione della sfera per un numero finito rettangolo dalle equazioni

x = un λ y = a sin ⁡ φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=\sin \varphi }

dove, λ {\displaystyle \lambda }

e φ {\displaystyle \ varphi}

sono come nell’esempio precedente. Dal momento che y ‘( φ ) = cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }

i fattori di scala sono parallele scala k = δ x cos ⁡ δ φ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiano scala h = δ y un δ φ = cos ⁡ φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }

Il calcolo del punto di scala in una direzione arbitraria è dato seguito.

Le scale verticale e orizzontale ora si compensano a vicenda (hk=1) e nel diagramma di Tissot ogni elemento circolare infinitesimale viene distorto in un’ellisse della stessa area dei cerchi non distorti sull’equatore.

Grafici dei fattori di scalamodifica

Il grafico mostra la variazione dei fattori di scala per i tre esempi precedenti. Il grafico in alto mostra la funzione di scala isotropica di Mercatore: la scala sul parallelo è la stessa della scala sul meridiano. Gli altri grafici mostrano il fattore di scala meridiano per la proiezione equirettangolare (h=1) e per la proiezione di area uguale di Lambert. Queste ultime due proiezioni hanno una scala parallela identica a quella del diagramma di Mercator. Per il Lambert si noti che la scala parallela (come Mercatore A) aumenta con la latitudine e la scala meridiana (C) diminuisce con la latitudine in modo tale che hk=1, garantendo la conservazione dell’area.

Variazione di scala sulla proiezione di mercatoredit

La scala del punto di Mercatore è unità sull’equatore perché è tale che il cilindro ausiliario utilizzato nella sua costruzione è tangenziale alla Terra all’equatore. Per questo motivo la proiezione usuale dovrebbe essere chiamata proiezione tangente. La scala varia con la latitudine come k = sec φ φ {\displaystyle k=\sec\varphi }

. Fin dal sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

tende all’infinito avvicinandosi ai poli la mappa di Mercatore è gravemente distorto a latitudini più alte e per questo motivo la proiezione è totalmente inadeguato per le mappe del mondo (a meno che non stiamo discutendo di navigazione lossodromica e linee). Tuttavia, ad una latitudine di circa 25 gradi il valore di sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi}

è circa 1.1 quindi Mercator è preciso entro il 10% in una striscia di larghezza 50 gradi centrata sull’equatore. Le strisce più strette sono migliori: una striscia di larghezza 16 gradi (centrata sull’equatore) è accurata entro 1% o 1 parte su 100.

Un criterio standard per buone mappe su larga scala è che la precisione dovrebbe essere entro 4 parti in 10.000, o 0.04%, corrispondente a k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}

. Poiché sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi}

raggiunge questo valore a φ = 1.62 {\displaystyle\varphi =1.62}

gradi (vedi figura sotto, linea rossa). Pertanto, la proiezione di Mercatore tangente è altamente accurata all’interno di una striscia di larghezza 3,24 gradi centrata sull’equatore. Ciò corrisponde alla distanza nord-sud di circa 360 km (220 miglia). All’interno di questa striscia Mercator è molto buono, altamente accurato e preserva la forma perché è conforme (conservazione dell’angolo). Queste osservazioni hanno spinto lo sviluppo delle proiezioni Mercator trasversali in cui un meridiano è trattato ‘come un equatore’ della proiezione in modo da ottenere una mappa accurata entro una distanza stretta di quel meridiano. Tali mappe sono buone per i paesi allineati quasi nord-sud (come la Gran Bretagna) e un set di 60 tali mappe viene utilizzato per l’Universal Transverse Mercator (UTM). Si noti che in entrambe queste proiezioni (che si basano su vari ellissoidi) le equazioni di trasformazione per x e y e l’espressione per il fattore di scala sono funzioni complicate di latitudine e longitudine.

Ad esempio, una possibile proiezione di Mercatore secante è definita da

x = 0,9996 a λ y = 0,9996 a ln ⁡ ( tan ⁡ ( π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x=0.9996 a \ lambda \ qquad \ qquad y=0.9996 a \ ln \ left (\tan \ left ({\frac {\pi } {4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right) \ right).}

I moltiplicatori numerici non alterano la forma della proiezione, ma significa che i fattori di scala sono modificati:

secant Mercator scale, k = 0.9996 sec φ φ . {\displaystyle \ quad k\;=0.9996 \ sec \ varphi . Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy .}

Così

• la scala sull’equatore è 0.9996,
• la scala è k = 1 alla latitudine dato da φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  dove sec ⁡ φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  in modo che φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  gradi, k=1.0004 alla latitudine φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  dato dalla sec ⁡ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  per cui φ 2 = 2.29 supporto {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  gradi. Pertanto, la proiezione 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , che è di una precisione pari a 0,04%, su una più ampia fascia di 4.58 gradi (rispetto 3.24 gradi per la tangente forma).

Questo è illustrato dalla curva inferiore (verde) nella figura della sezione precedente.

Tali zone strette di alta precisione sono utilizzate nell’UTM e nella proiezione OSGB britannica, entrambe secanti, Mercatore trasversale sull’ellissoide con la scala sulla costante del meridiano centrale a k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}

. Le linee isoscale con k = 1 {\displaystyle k=1}

sono linee leggermente curve a circa 180 km ad est e ad ovest del meridiano centrale. Il valore massimo del fattore di scala è 1.001 per UTM e 1.0007 per OSGB.

Le linee di scala unitaria alla latitudine φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

(nord e sud), dove la superficie di proiezione cilindrica interseca la sfera, sono i paralleli standard della proiezione secante.

Mentre una banda stretta con | k − 1 | <0.0004 {\displaystyle |k-1|< 0.0004}

è importante per la mappatura ad alta precisione su larga scala, per le mappe del mondo vengono utilizzati paralleli standard distanziati molto più ampi per controllare la variazione della scala. Esempi sono:

• Behrmann con paralleli standard a 30N, 30S.
• Gallo parità di area con paralleli standard a 45N, 45S.

I grafici di scala per quest’ultimo sono mostrati di seguito confrontati con i fattori di scala di area uguale di Lambert. In quest’ultimo l’equatore è un singolo parallelo standard e la scala parallela aumenta da k=1 per compensare la diminuzione della scala meridiana. Per il Gallo la scala parallela è ridotta all’equatore (a k=0,707) mentre la scala meridiana è aumentata (a k=1,414). Ciò dà origine alla distorsione grossolana della forma nella proiezione di Gall-Peters. (Sul globo L’Africa è lunga quanto è ampia). Si noti che le scale meridiano e parallelo sono entrambi unità sui paralleli standard.

Matematica addendumEdit

Per le normali proiezioni cilindriche la geometria degli elementi infinitesimi dà

(a) tan ⁡ α = a cos ⁡ δ φ λ un δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}

(b) tan β β = δ x δ y = a δ λ δ y . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Il rapporto tra gli angoli β {\displaystyle \beta }

e α {\displaystyle \alpha }

è (c) tan β = sec ⁡ φ y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .\,}

Per la proiezione di Mercatore, y ‘( φ ) = sec ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

mi α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

: gli angoli sono conservati. (Non sorprende dal momento che questa è la relazione utilizzata per derivare Mercator). Per equidistante e Lambert proiezioni abbiamo y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

e y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }

rispettivamente, in modo che il rapporto tra α {\displaystyle \alpha }

e β {\displaystyle \beta }

dipende dalla latitudine φ {\displaystyle \varphi }

. Denota la scala del punto a P quando l’elemento infinitesimale PQ crea un angolo α {\displaystyle \ alpha\,}

con il meridiano di μ α . {\displaystyle \ mu _{\alpha}.}

È dato dal rapporto delle distanze: μ α = lim Q → P P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\P}{\frac {P, Q}{PQ}}=\lim _{Q\P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}. In questo modo, il nostro team di esperti si impegna a fornire un servizio di assistenza e assistenza per la gestione di tutte le attività di ricerca e sviluppo.}\cos^{2} \varphi\, \delta\lambda^{2}}}}.}

δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

e sostituendo δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

e δ y {\displaystyle \delta y}

dalle equazioni (a) e (b), rispettivamente, dà μ α ( φ ) = sec ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha} (\varphi) = \ sec \ varphi \ left.}

Per le altre proiezioni di Mercatore dobbiamo prima calcolare β {\displaystyle \beta }

da α {\displaystyle \alpha }

e φ {\displaystyle \varphi }

utilizzando l’equazione (c), prima che possiamo trovare μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}

. Ad esempio, la proiezione equirettangolare ha y ‘= a {\displaystyle y’=a}

in modo che tan β β = sec φ φ tan α α . {\displaystyle \ tan \ beta = \ sec \ varphi \ tan \ alpha .\ ,}