Scale(map)

Gauss’S Theorema Egregiumによって証明されているように、球（または楕円体）は歪みのない平面に投影することはできません。 これは、オレンジピールを引き裂き変形させずに平らな表面に平滑化することが不可能であることによって一般的に説明される。 一定のスケールでの球の唯一の真の表現は、地球儀のような別の球です。

地球儀の実用的なサイズが限られているため、詳細なマッピングにはマップを使用する必要があります。 地図には投影が必要です。 投影は歪みを意味します: マップ上の一定の分離は、地面上の一定の分離に対応していません。 マップにはグラフィカルなバースケールが表示される場合がありますが、縮尺はマップの一部の行だけで正確であることを理解して使用する必要があ (これについては、次のセクションの例でさらに説明します。pを球（または楕円体）上の緯度φ{\displaystyle\varphi}

および経度λ{\displaystyle\lambda}

にある点とする。 Qを隣接点とし、α{\displaystyle\alpha}

を要素PQとpにおける子午線との間の角度とする。 P’とQ’を射影上の対応する点とする。 方向P’Q’と子午線の投影との間の角度は、方位β{\displaystyle\beta}

である。 一般にα∈β{\displaystyle\alpha\neq\beta}

である。 コメント: 方位角（地球の表面上）と方位（地図上）の間のこの正確な区別は普遍的に観察されておらず、多くの作家はほとんど同じ意味で用語を使用しています。 定義：Pにおける点スケールは、QがPに近づく限界における二つの距離P’Q’とPQの比である。 これをλ(λ,φ,α)=lim Q→P P’Q’P Q,{\displaystyle\mu(\lambda,\,\varphi,\,\alpha)=\lim_{Q\to P}{\frac{P’Q’}{PQ}},}

ここで、この表記は、ポイントスケールがpの位置と要素pqの方向の関数であることを示しています。

定義

: PとQが同じ子午線上にある場合(α=0){\displaystyle(\alpha=0)}

、子午線のスケールはh(λ,φ){\displaystyle h(\lambda,\,\varphi)}

で表される。div>

。

定義: PとQが同じ平行上にある場合(α=π/2){\displaystyle(\alpha=\pi/2)}

、平行スケールはk(λ,φ){\displaystyle k(\lambda,\,\varphi)}

。

定義: 点のスケールが方向ではなく位置のみに依存するならば、それは等方性であり、従来は平行スケール係数k(λ,φ){\displaystyle k(\lambda,\varphi)}

によって任意の方向にその値を表す。

定義:マップ投影は、点Pで交差する線のペアの間の角度が点Pで交差する線のすべてのペアについて、投影点P’で投影された線の間の角度と同じである場合、共形写像は等方性スケールファクタを持っています。 逆に、写像全体の等方性スケール因子は等角投影を意味する。

スケールの等方性は、小さな要素がすべての方向に均等に伸びていることを意味し、それは小さな要素の形状が保存されています。

スケールの等方性 これは、（ギリシャ語の「右の形」からの）正準同型の性質です。 “小さい”という認定は、測定のある特定の精度では、要素上のスケール係数に変化が検出されないことを意味します。 共形投影は等方性スケール係数を有するので、それらはまた、正方投影と呼ばれています。 例えば、メルカトル図法は角度を保持するように構成されており、そのスケール係数は同位体であり、緯度のみの関数であるため、メルカトル図法は小さな領域で形状を保持します。

定義：等方性スケールを持つ等角投影では、同じスケール値を持つ点は、等角線を形成するために結合することができます。

定義：等方性スケールを持つ等角投影では、同じスケール値を持つ点を結合することができます。 これらは、エンドユーザーのためのマップ上にプロットされていませんが、彼らは標準的なテキストの多くで機能しています。 （スナイダー203-206ページを参照。)

代表分数(RF)または主scaleEdit

任意の与えられた投影の方程式を設定する際に使用される二つの規則があります。 例えば、正距円筒図法は次のように書くことができる。x=a λ{\displaystyle x=a\lambda}

y=a φ{\displaystyle y=a\varphi}

数学者: x=λ{\displaystyle x=\lambda}

y=φ{\displaystyle y=\varphi}

ここでは、これらの規則の最初のものを採用する（Snyderによる調査での使用法に従う）。 明らかに、上記の投影方程式は、地球の周りに包まれ、展開された巨大な円柱上の位置を定義します。 これらの座標は、実際の印刷された（または表示された）地図と論理的に区別されなければならない投影地図を定義すると言います。 前のセクションのポイントスケールの定義が投影マップの観点からのものである場合、スケール係数はユニティに近いことが期待できます。 通常の正接円筒投影の場合、赤道に沿ったスケールはk=1であり、一般に赤道を離れるにつれてスケールが変化します。 投影地図上のスケールの分析は、kの真のユニティ値から離れた変化の調査です。

実際の印刷された地図は、投影地図から、1：100M（全世界地図の場合）または1：10000（町の計画などの場合）などの比率で示される一定のスケーリングによって “スケール”という言葉の使用における混乱を避けるために、この定数スケール分数は、印刷された地図の代表分数（RF）と呼ばれ、地図上に印刷された比率で識別 正距円筒図法の実際の印刷されたマップ座標は、

印刷されたマップです: x=(R F)a λ{\displaystyle x=(RF)a\lambda}

y=(R F)a φ{\displaystyle y=(RF)a\varphi}

この規約は、以下の明確な区別を可能にする。固有の投影スケーリングと縮小スケーリング。この時点から、RFを無視して投影マップを使用します。

ポイントスケールの視覚化：ティソindicatrixEdit

ティソの変形指標を持つウィンケル-トリペル投影

緯度φ{\displaystyle\varphi}の点Pを中心とする地球の表面上の小さな円を考えてみましょう

と経度λ{\displaystyle\lambda}

。 ポイントスケールは位置と方向によって変化するため、投影上の円の投影が歪んでしまいます。 ティソは、歪みが大きすぎない限り、円は投影上の楕円になることを証明しました。 一般に、楕円の寸法、形状、および向きは投影上で変化します。 これらの歪み楕円をマップ投影に重ね合わせると、ポイントスケールがマップ上でどのように変化しているかがわかります。 歪みの楕円はティソのインディカトリックスとして知られています。 ここに示されている例は、ナショナルジオグラフィック協会によって作られた世界地図の標準投影であるWinkel tripel投影です。 最小の歪みは、30度（南北）の緯度で中央子午線上にあります。 （その他の例）。

球の通常の円筒投影のためのポイントスケール編集

スケールの定量的理解の鍵は、球上の無限小の要素を考慮することです。 この図は、球上の緯度φ{\displaystyle\varphi}

と経度λ{\displaystyle\lambda}

にある点Pを示している。 点Qは緯度φ+δ φ{\displaystyle\varphi+\delta\varphi}

と経度λ+δ λ{\displaystyle\lambda+\delta\lambda}

にある。 直線PKとMQは長さa δ φ{\displaystyle a\,\delta\varphi}

ここでa{\displaystyle a}

は球の半径であり、φ{\displaystyle\varphi}

\varphi

はラジアン測度です。 直線PMとKQは長さ(a cos⁡φ)δ λ{\displaystyle(a\cos\varphi)\delta\lambda}

の平行円の弧であり、ラジアン測度ではλ{\displaystyle\lambda}

である。 Pでの射影の点特性を導出する際には、表面の無限小要素PMQKを取ることで十分である：Pに近づくQの限界において、そのような要素は無限小の平面矩形になる傾向がある。

球上の無限小要素と通常の円筒投影

球の通常の円筒投影はx=a λ{\displaystyle x=a\lambda}

and y{\displaystyle y}

緯度のみの関数に等しい。 したがって、球上の無限小要素PMQKは、底δ x=a δ λ{\displaystyle\delta x=a\,\delta\lambda}

高さδ y{\displaystyle\delta y}

。 球と投影上の要素を比較することにより、平行線と子午線上のスケール係数の式をすぐに推論することができます。 （一般的な方向のスケールの処理は以下にあります。)平行スケール係数k=δ x cos⁡φ δ⁡=sec⁡φ{\displaystyle\quad k\;=\;{\dfrac{\delta x}{a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}}=\,\sec\varphi\qquad\qquad{}}

平行スケール係数k=sec⁡φ{\displaystyle k=\sec\varphi}

はy(φ){\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y'(\varphi)}{\displaystyle y y(\varphi)}

だから、すべての通常の円筒投影で同じである。 緯度30度では、平行スケールはk=secであることに注意すると便利です⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k=\sec30^{\circ}=2/{\sqrt{3}}=1。15}

緯45度の規模並列ではk=sec⁡45∘=2=1.414{\displaystyle k=\sec45^{\circ}={\sqrt{2}}=1.414}

緯60度の規模並列ではk=sec⁡60∘=2{\displaystyle k=\秒60^{\circ}=2}

緯80度の規模並列ではk=sec⁡80∘=5.76{\displaystyle k=\秒80^{\circ}=5.76}

緯度85度では、平行スケールはk=sec⁡85⁡=11.5{\displaystyle k=\sec85^{\circ}=11.5}

次の例は三つの通常の円筒投影を示しており、それぞれの場合に位置と方向によるスケールの変化はティソの使用によって示されている。のインディカトリックス。

通常の円筒投影の三つの例編集

正距円筒投影編集

変形のティソのindicatrixと等距離投影

変形のティソのindicatrix

変形のティソのindicatrix

変形のティソのindicatrix

x=a λ,{\displaystyle x=a\lambda,}

y=a φ,{\displaystyle Y=a\varphi,}

y=a φ,{\displaystyle Y=a\varphi,}

ここで、a{\displaystyle a}

は球の半径、λ{\displaystyle\lambda}

は球からの経度である。投影の中心子午線（ここでは、λ=0{\displaystyle\lambda=0}

におけるグリニッジ子午線として取られる）およびφ{\displaystyle\varphi}

は緯度である。 Λ{\displaystyle\lambda}

とφ{\displaystyle\varphi}

はラジアン単位であることに注意してください（次数の尺度にλ{\displaystyle\pi}

/180)。 経度λ{\displaystyle\lambda}

は範囲{\displaystyle}

であり、緯度φ{\displaystyle\varphi}

は範囲{\displaystyle}

。

y'(φ)=1{\displaystyle y'(\varphi)=1}

前の節は平行スケールを与えるので、k=δ x a cos⁡φ δ⁡=sec⁡φ{\displaystyle\quad k\;=\;{\dfrac{\delta x}{a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}}=\,\sec\varphi\qquad\qquad{}}

子午線スケールh=δ y a δ φ=1{\displaystyle\quad h\;=\;{\dfrac{\Delta y}{a\,\delta\varphi}}}{\displaystyle\quad h\;=\;{\dfrac{\Delta y}{a\,\delta\varphi}}}\,}}=\,1}

{\displaystyle\quad h\;=\;{\dfrac{\delta y}{a\,\delta\,}}=\,1}

任意の方向のポイントスケールの計算については、補遺を参照してください。

図は、この投影のTissot indicatrixを示しています。 赤道上ではh=k=1であり、円の要素は上で歪められていない。 高緯度では、円は平行方向のみにストレッチすることによって与えられた楕円に歪んでいます：子午線方向に歪みはありません。 長軸と短軸の比はsec≤φ{\displaystyle\sec\varphi}

である。 明らかに、楕円の面積は同じ係数だけ増加する。

この投影の印刷されたバージョンに表示される可能性のある棒のスケールの使用を考慮することは有益です。 スケールは赤道上で真（k=1）であるため、印刷された地図上の長さにRF（または主スケール）の逆数を掛けると、地球の実際の円周が得られます。 マップ上のバースケールも真のスケールで描画されるため、赤道上の二つの点の間の分離をバースケールに転送すると、それらの点間の正しい距離が得られま 同じことが子午線にも当てはまります。 赤道以外の平行では、スケールはsec≤φ{\displaystyle\sec\varphi}

であるため、平行から棒スケールへの分離を転送するときは、平行に沿って測定された点間の距離を得るために、棒スケール距離をこの係数で除算しなければならない（これは大円に沿った真の距離ではない）。 例えば45度の方位にある線上（β=45º{\displaystyle\beta=45^{\circ}}

）では、スケールは緯度によって連続的に変化しており、線に沿った分離を棒スケールに移すことは、真の距離に関連する距離を与えることはない。 （ただし、補遺を参照）。 たとえ投影上のそのような線が球上の複雑な曲線に対応するので、この定数の線に沿って距離を計算することができたとしても、その関連性は疑 これらの理由から、小規模マップ上のバースケールは細心の注意を払って使用する必要があります。

メルカトル投影編集

変形のティソのindicatrixを持つメルカトル投影。

メルカトル図法は、球面をy{\displaystyle y}

-方向に無限の広がりを持つ長方形に写像する。

ここで、a,λ{\displaystyle\lambda\,}

およびφ{\displaystyle\varphi\,}

\varphi\,

は前の例と同じです。 Y'(φ)=sec⁡φ{\displaystyle y'(\varphi)=a\sec\varphi}

であるから、スケール係数は次のようになる：平行スケールk=δ x cos⁡φ δ⁡=sec⁡φ。 {\displaystyle k\;=\;{\dfrac{\delta x}{a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}}=\,\sec\varphi。}

子午線スケールh=δおよびδ φ=sec≤φ。 {\displaystyle h\;=\;{\dfrac{\delta y}{a\,\delta\varphi\,}}=\,\sec\varphi。}

数学的補遺では、任意の方向の点スケールもsec≤φ{\displaystyle\sec\varphi}

したがってスケールは等方性であり（すべての方向で同じ）、その大きさは緯度とともにsec≤φ{\displaystyle\sec\varphi}

. ティソ図では、各無限小の円形要素はその形状を保持しますが、緯度が高くなるにつれてますます拡大されます。

Lambert’s equal area projectionEdit

Lambert’s normal cylindrical equal-area projection with tissot’s indicatrix of deformation

lambert’s equal area projectionは、球を方程式によって有限矩形に写像する

x=a∧y=a sin∧φ{\displaystyle x=a\lambda\qquad\qquad y=a\sin\varphi}

ここで、a,λ{\displaystyle\lambda}

そしてφ{\displaystyle\varphi}

は前の例と同じである。 Y'(φ)=cos⁡φ{\displaystyle y'(\varphi)=\cos\varphi}

ので、スケール係数は平行スケールk=δ x cos⁡φ δ⁡=sec⁡φ{\displaystyle\quad k\;=\;{\dfrac{\delta x}{a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}である。}=\,\sec\varphi\qquad\qquad{}}

子午線スケールh=δ y a δ φ=cos⁡φ{\displaystyle\quad h\;=\;{\dfrac{\delta y}{a\,\delta\varphi\,}}=\,\cos\varphi}

任意の方向の点スケールの計算は以下の通りである。

垂直と水平のスケールはお互いを補償し（hk=1）、ティソ図では、各無限小の円形要素は赤道上の歪みのない円と同じ面積の楕円に歪んでいます。

スケール係数のグラフ編集

グラフは、上記の三つの例のスケール係数の変化を示しています。 上のプロットは等方性メルカトルスケール関数を示しています:平行上のスケールは子午線上のスケールと同じです。 他のプロットは、正距円筒図法(h=1)とランバート等面積図法の子午線スケール係数を示しています。 これらの最後の2つの投影法は、メルカトル図と同じ平行スケールを持ちます。 ランバートの場合、平行スケール（メルカトルA）は緯度とともに増加し、子午線スケール（C）はhk=1となるように緯度とともに減少し、面積の保存が保証されることに注意する。

メルカトル投影のスケール変動編集

メルカトル点スケールは、その建設に使用される補助円筒が赤道で地球に接線であるようなものであるため、赤道上で統一されている。 このため、通常の射影は接線射影と呼ばれるべきである。 スケールは緯度によってk=sec⁡φ{\displaystyle k=\sec\varphi}

のように変化する。 Sec⁡φ{\displaystyle\sec\varphi}

極に近づくにつれて無限大になる傾向があるため、メルカトル写像は高緯度で大きく歪んでおり、このため投影は世界地図には全く不適切である（ナビゲーションとラム線について議論していない限り）。 しかし、約25度の緯度では、sec≤φ{\displaystyle\sec\varphi}

の値は約1である。1メルカトルは赤道を中心とした幅50度のストリップで10％以内に正確です。 幅16度（赤道を中心とする）のストリップは、1％または1部の100以内に正確です。

優れた大規模マップの標準的な基準は、精度がk=1.0004{\displaystyle k=1.0004}

に対応する10,000の4つの部分、すなわち0.04%以内でなければならないということである。 Sec⁡φ{\displaystyle\sec\varphi}

はφ=1でこの値に達する。62{\displaystyle\varphi=1.62}

度（下の図、赤い線を参照）。 したがって、接線メルカトル図法は、赤道を中心とする幅3.24度のストリップ内で非常に正確です。 これは約360km(220mi)の南北距離に相当する。 このストリップの中ではメルカトルは等角（角度の維持）であるので非常によく、極めて正確および形の維持である。 これらの観測は、子午線が投影の”赤道のように”扱われる横メルカトル図法の開発を促し、その子午線の狭い距離内で正確な地図を得ることができました。 このような地図は、ほぼ南北に整列した国（英国のような）に適しており、60のそのような地図のセットは、普遍的な横断メルカトル（UTM）に使用されています。 これらの投影法（さまざまな楕円体に基づく）では、xとyの変換方程式とスケール係数の式は、緯度と経度の両方の複雑な関数であることに注意してく

接線（赤）と割線（緑）メルカトル図法の赤道付近のスケール変動。

割線、または修正された投影編集

割線投影の基本的な考え方は、球が球と交差する円柱に投影されるということである2つの平行線、例えばφ1{\displaystyle\varphi_{1}}

北と南。 これらの緯度の下の平行線は投影によって縮小され、それらの（平行な）スケール係数は1未満でなければなりませんが、これらの緯度では明らかにス その結果、より広い範囲の緯度にわたって、統一からのスケールの偏差が減少することになる。

数値乗数は投影の形状を変更しませんが、スケール係数が変更されることを意味します。

割線メルカトルスケール、k=0.9996sec≤φ。 {\displaystyle\quad k\;=0.9996\sec\varphi.}

スケールはφ1{\displaystyle\varphi_{1}}

ここで、sec≤φ1=1/0.9996=1.00004{\displaystyle\varphi_{1}}で与えられる緯度でk=1である。\displaystyle\sec\varphi_{1}=1/0.9996=1.00004}

φ1=1.62{\displaystyle\varphi_{1}=1.62}

度となるように、k=1.0004緯度φ2{\displaystyle\varphi_{2}}

secにより与えられるφ2=1.0004/0.9996=1.0008{\displaystyle\sec\varphi_{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

φ2=2.29のサポートは{\displaystyle\varphi_{2}=2.29}である。29}

度。 したがって、射影は1<k<1.0004{\displaystyle1<k<1.0004}

、これは0.04％の精度で、4.58度の広いストリップ（接線形式の3.24度と比較）です。

これは、前のセクションの図の下側（緑）の曲線で示されています。

このような高精度の狭いゾーンは、UTMと英国のOSGB投影で使用され、どちらも中央子午線定数k0=0.9996{\displaystyle k_{0}=0.9996}

のスケールを持つ楕円体上の割線、横メルカトルである。 K=1{\displaystyle k=1}

の等方線は、中央子午線の東西約180kmのわずかに湾曲した線である。 スケールファクタの最大値は、UTMの場合は1.001、OSGBの場合は1.0007です。

緯度φ1{\displaystyle\varphi_{1}}

（北と南）における単位スケールの線は、円筒投影面が球と交差するところで、割線投影の標準平行線である。

狭帯域ながら|k−1|<0.0004{\displaystyle|k-1|<0.0004}

は、大規模で高精度なマッピングのために重要であり、世界地図のためにはるかに広い間隔の標準緯線がスケール変動を制御するために使用され 例は、30N、30Sの標準緯線を持つ

• Behrmannです。
• 45N、45Sの標準緯線を持つギャル等しい面積。

ランバート（緑）とギャル（赤）…..

後者のスケールプロットは、Lambert equal areaスケール係数と比較して以下に示されています。 後者では、赤道は単一の標準平行であり、平行スケールは子午線スケールの減少を補償するためにk=1から増加する。 ゴールの場合、平行スケールは赤道で縮小され（k=0.707）、子午線スケールは増加します（k=1.414）。 これは、Gall-Peters投影における形状の全体的な歪みを生じさせます。 （地球上のアフリカは、それが広い限り、約です）。 子午線スケールと平行スケールは、両方とも標準緯線上で統一されていることに注意してください。

Mathematical addendumEdit

球上の無限小要素と通常の円筒投影

通常の円筒投影の場合、無限小要素の幾何学は

(a)tan≤α=a cos≤φ δ λ a δ φ,{\displaystyle{\text{(A)}}\quad\tan\alpha={\frac{a\cos\varphi\,\delta\lambda}{A\,\delta\varphi}},}

角度β{\displaystyle\beta}

とα{\displaystyle\alpha}

の関係は、(c)tan⁡β=a sec⁡φ y'(φ)tan⁡αである。 {\displaystyle{\text{(c)}}\quad\tan\beta={\frac{a\sec\varphi}{y'(\varphi)}}\tan\alpha。\,}

α=β{\displaystyle\alpha=\beta}

：角度は保持されます。 （これはメルカトルを導出するために使用される関係なので、ほとんど驚くべきことではありません）。 等距離およびランバート投影に対して、y'(φ)=a{\displaystyle y'(\varphi)=a}

およびy'(φ)=a cos⁡φ{\displaystyle y'(\varphi)=a\cos\varphi}

iv id=”したがって、α{\displaystyle\alpha}

とβ{\displaystyle\beta}

の関係は、緯度φ{\displaystyle\varphi}

。 無限小要素PQが子午線をθ αで角度α{\displaystyle\alpha\,}

を作るとき、Pにおける点スケールを表す。 {\displaystyle\mu_{\alpha}.}

δ x=a δ λ{\displaystyle\delta x=a\,\delta\lambda}

とδ φ{\displaystyle\delta\varphi}

とΔ y{\displaystyle\delta y}

式(a)と(b)からそれぞれΔ α(φ)=sec⁡φを与える。 {\displaystyle\mu_{\alpha}(\varphi)=\sec\varphi\left.}

メルカトル以外の投影については、まずα{\displaystyle\alpha}

とφ{\displaystyle\varphi}

からβ{\displaystyle\beta}

を計算しなければならない。\Varphi

式（C）を使用して、μ α{\displaystyle\mu_{\alpha}}

を見つける前に。 例えば、正距円筒図法はy’=a{\displaystyle y’=a}

であり、tan≤β=sec≤φ tan≤αとなる。 {\displaystyle\tan\beta=\sec\varphi\tan\alpha.\,}