Definisjon
et polynom i variabelen x er en funksjon som kan skrives i form,
hvor an, an-1 , …, a2, a1, a0 er konstanter. Anxn) den ledende termen, og vi kaller en ledende koeffisient. Graden av polynomet er kraften til x i ledende sikt. Vi har allerede sett grad 0, 1 og 2 polynomer som var henholdsvis konstant, lineær og kvadratisk funksjon. Grad 3, 4 og 5 polynomer har også spesielle navn: kubiske, kvartære og quintiske funksjoner. Polynomer med grad n > 5 kalles bare nth graders polynomer. Navnene på forskjellige polynomfunksjoner er oppsummert i tabellen nedenfor.
| Degree of the polynomial | Name of the function |
| 0 | Constant function |
| 1 | Linear function |
| 2 | Quadratic function |
| 3 | Cubic function |
| 4 | Quartic function |
| 5 | Quintic Function |
| n (where n > 5) | nth degree polynomial |
Some examples of polynomials include:
Begrensningsadferden til Polynomer
begrensningsadferden til en funksjon beskriver hva som skjer med funksjonen som x→ ± ∞. Graden av et polynom og tegnet av dets ledende koeffisient dikterer sin begrensende oppførsel. Spesielt
disse resultatene er oppsummert i tabellen nedenfor.
du kan bruke denne informasjonen til å avgjøre om et polynom har odd eller even grad og om den ledende koeffisienten er positiv eller negativ, bare ved å inspisere grafen.
følgende grafer av polynomer eksemplifiserer hver av oppføringene som er skissert i tabellen ovenfor.
røtter og vendepunkter
graden av et polynom forteller deg enda mer om det enn begrensende oppførsel. Spesielt kan en nte grad polynom har på de fleste n reelle røtter (x-avskjærer eller nuller) telle multiplikiteter. Anta for eksempel at vi ser på et 6. grad polynom som har 4 forskjellige røtter. Hvis to av de fire røttene har mangfold 2 og de andre 2 har mangfold 1, vet vi at det ikke finnes andre røtter fordi vi har regnet for alle 6 røttene. Dette skyldes at røttene med et mangfold av to (også kjent som doble røtter) regnes som to røtter.
Vær oppmerksom på at en nte grad polynom trenger ikke ha n reelle røtter – det kan ha mindre fordi den har imaginære røtter. Legg merke til at et polynom i ulik grad må ha minst en reell rot siden funksjonen nærmer seg – ∞ i den ene enden og + ∞ i den andre; en kontinuerlig funksjon som bytter fra negativ til positiv, må krysse x-aksen et sted i mellom. I tillegg kan en nth grad polynom har på de fleste n-1 vendepunkter. Et vendepunkt er et punkt hvor funksjonen endres fra økende til avtagende eller avtagende til økende som vist i figuren nedenfor. Igjen, en nth grad polynom trenger ikke å ha n – 1 vendepunkter, det kan ha mindre.
Merk Av Forsiktighet
det er viktig å innse forskjellen mellom jevne og odde funksjoner og jevne og odde gradspolynomer. Enhver funksjon, f(x), er enten selv om,
f(−x) = x,
for alle x i domenet til f(x), eller oddetall hvis,
f(−x) = −x,
for alle x i domenet til f(x), eller verken partall eller oddetall hvis ingen av de ovennevnte er sanne setninger.
en kth grad polynom, p(x), sies å ha jevn grad hvis k er et jevnt tall og odd grad hvis k er et oddetall. Husk at selv om p(x) har jevn grad, er det ikke nodvendigvis en jevn funksjon. På samme måte, hvis p(x) har odd grad, er det ikke nødvendigvis en merkelig funksjon.
vi bruker også begrepene jevn og merkelig for å beskrive røtter av polynomer. Spesielt har et polynom p(x) rot x = a av multiplikasjon k (dvs. x = a er en rot gjentatt k ganger) hvis (x-a) k er en faktor av p(x). Vi sier at x = a har jevn multiplikasjon hvis k er et jevnt tall og merkelig multiplikasjon hvis k er et oddetall.
Domene og Område
alle polynomer har samme domene som består av alle reelle tall. Utvalget av odd grad polynomer består også av alle reelle tall. Utvalget av jevn gradspolynomer er litt mer komplisert, og vi kan ikke eksplisitt angi rekkevidden av alle jevn gradspolynomer. Hvis den ledende koeffisienten er positiv, vil funksjonen strekke seg til + ∞; mens hvis den ledende koeffisienten er negativ, vil den strekke seg til – ∞. Dette betyr at selv grad polynomer med positiv ledende koeffisient har rekkevidde hvor ymax betegner det globale maksimumet funksjonen oppnår. Generelt er det ikke mulig å analytisk bestemme maksima eller minima av polynomene.
*****
i neste avsnitt vil du lære polynom divisjon, en teknikk som brukes til å finne røttene av polynom funksjoner.
Polynom divisjon