MathBootCamps

Omtrent hver teorem i matematikk tar på skjemaet «hvis, da» (den betingede) eller » iff » (kort for hvis og bare hvis – den bikondisjonelle). Derfor er det svært viktig å forstå betydningen av disse uttalelsene. I denne veiledningen vil vi se på sannhetstabellen for hver og hvorfor det kommer ut slik det gjør.

annonse

når vi analyserer sannhetstabellene, husk at ideen er å vise sannhetsverdien for utsagnet, gitt alle mulige kombinasjoner av sannhetsverdier for p og q. matter – det er radene selv som må være riktige. For hver sannhetstabell nedenfor har Vi to proposisjoner: p og q. De kan enten begge være sanne (første rad), begge være falske (siste rad), eller ha en sann og den andre falske (mellom to rader). Å skrive dette ut er det første trinnet i et sannhetstabell.

den betingede – «p impliserer q» eller «hvis p, så q»

den betingede setningen sier at hvis p er sant, vil q umiddelbart følge og dermed være sant. Så følger den første raden naturlig denne definisjonen. På samme måte følger den andre raden dette fordi vi sier «p innebærer q», og da er p sant, men q er falsk, da setningen «p innebærer q» må være falsk, da q ikke umiddelbart fulgte p.

de to siste radene er de tøffe å tenke på. Så la oss se på dem individuelt.

• Rad 3: p er usann, q er sann.
  Tenk på følgende uttalelse. Hvis det er sol, bruker jeg solbriller. Hvis p er falsk, og q er sant, så sier dette at det ikke er solfylt, men jeg hadde uansett solbrillene mine. Dette absolutt ikke oppheve min opprinnelige uttalelse som jeg kanskje bare liker mine solbriller. Så hvis p er falsk, men q er sant, er det rimelig å tenke «p innebærer q» er fortsatt sant.
• Rad 4: p er falsk, q er falsk.Ved å Bruke eksemplet om solbriller ovenfor, vil dette tilsvare at det ikke er solfylt og jeg ikke har på meg solbrillene mine. Igjen, dette ville ikke ugyldiggjøre min uttalelse om at «hvis det er solfylt, bærer jeg solbrillene mine». Derfor, hvis p er falsk og q er sant, «p innebærer q» er fortsatt sant.Fortsetter med solbrilleeksemplet bare litt mer, den eneste gangen du vil stille spørsmål om gyldigheten av uttalelsen min er hvis du så meg på en solrik dag uten solbrillene mine (p true, q false). Derfor kan du bare huske at den betingede setningen er sant i alt annet enn ett tilfelle: når fronten (første setning) er sant, men baksiden (andre setning) er falsk.
  

  the biconditional-» p iff q «eller»p hvis og bare hvis q»

  

  Hvis Og bare hvis uttalelser, som matte folk liker å shorthand med» iff», er veldig kraftige da de i hovedsak sier at p og q er utskiftbare uttalelser. Når en er sann, vet du automatisk at den andre er sann også. Også, når en er falsk, må den andre også være falsk. Dette gjenspeiles i sannhetstabellen. Når de to uttalelsene har samme sannhetsverdi, er det bikondisjonelle sant. Ellers er det falskt.

  den bikondisjonelle bruker en dobbel pil fordi det egentlig sier «p innebærer q» og også «q innebærer p». Symbolsk er det ekvivalent med:

  \(\left(p \Rightarrow q\right) \wedge \left(q \Rightarrow p\right)\)

  dette skjemaet kan være nyttig når du skriver bevis eller når du viser logiske ekvivalenser.

  annonse

  Oppsummering

  for å hjelpe deg å huske sannhetstabellene for disse uttalelsene, kan du tenke på følgende:

  • den betingede, p innebærer q er falsk bare når fronten er sann, men baksiden er falsk. Ellers er det sant.
  • den bikondisjonelle, p iff q, er sann når de to uttalelsene har samme sannhetsverdi. Ellers er det falskt.

  Fortsett å gjennomgå diskrete matematiske emner

  Forrige: Sannhetstabeller for «ikke», «og», «eller» (negasjon, konjunksjon, disjunksjon)

  Neste: Analysere sammensatte proposisjoner med sannhetstabeller

  

  abonner på vårt nyhetsbrev!

  vi legger alltid ut nye gratis leksjoner og legger til flere studieguider, kalkulatorguider og problempakker.

  Registrer deg for å få sporadiske e-poster (en gang hvert par eller tre uker) slik at du vet hva som er nytt!