gegeven een statement R, wordt de statement \(\sim R\) de negatie van R. genoemd als R een complexe statement is, dan is het vaak het geval dat de negatie \(\sim R\) in een eenvoudiger of nuttiger vorm kan worden geschreven. Het proces om deze vorm te vinden wordt negerend R. in bewijsstellingen is het vaak noodzakelijk om bepaalde stellingen te ontkennen. We onderzoeken nu hoe we dit kunnen doen.
we hebben al een deel van dit onderwerp besproken. De wetten van DeMorgan
\(\sim (P \wedge Q) = (\sim P) \vee (\Sim Q)\)
\(\sim (P \vee Q) = ( \sim P) \wedge (\Sim Q)\)
misschien kunt u \(\Sim R\) vinden zonder de wetten van DeMorgan aan te roepen. Dat is goed; je hebt de wetten van DeMorgan geïnternaliseerd en gebruikt ze onbewust.
Het is niet zo dat P(x) waar is voor alle natuurlijke getallen x.
\(\Sim (\forall x \in X, P(x)) = \exists X \in X, \sim P(x)\)
\(\Sim (\exists X \in X, P(x)) = \forall x \in X, \sim P(x)\)
zorg ervoor dat u deze twee logische gelijkwaardigheid. Ze voldoen aan ons dagelijks taalgebruik, maar ze pinnen de betekenis op een wiskundig precieze manier vast.
\(\sim (P \ Rightarrow Q) = P \ wedge \sim Q\).
(in feite, in oefening 12 van paragraaf 2.6, gebruikte u een waarheidstabel om te verifiëren dat deze twee stellingen inderdaad logisch equivalent zijn.)
het bovenstaande voorbeeld 2.15 liet zien hoe een voorwaardelijke verklaring \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) te ontkennen. Dit soort problemen kan soms worden ingebed in meer complexe negatie. Zie oefening 5 hieronder (en de oplossing ervan).