Normale distributies (Bell Curve): definitie, woordproblemen

waarschijnlijkheid en statistieken > normale distributies

inhoud:

1. Wat is een normale distributie?
2. het standaard normale Model
3. normale Distributiewoordproblemen.
4. normale verdeling op de TI 89 voorbeelden
5. gerelateerde artikelen.

Wat is een normale verdeling?

een normale verdeling.

een normale verdeling, ook wel de bell curve genoemd, is een verdeling die in veel situaties van nature voorkomt. Bijvoorbeeld, de klokcurve wordt gezien in tests zoals de SAT en GRE. Het grootste deel van de studenten scoort het gemiddelde (C), terwijl kleinere aantallen studenten een B of D scoort.een nog kleiner percentage van de studenten scoort een F of een A. Dit creëert een verdeling die lijkt op een bel (vandaar de bijnaam). De klokcurve is symmetrisch. De helft van de gegevens zal naar links van het gemiddelde vallen; de helft zal naar rechts vallen.
veel groepen volgen dit type patroon. Daarom wordt het veel gebruikt in het bedrijfsleven, de statistiek en in overheidsorganen zoals de FDA:

• Heights of people.
• meetfouten.
• bloeddruk.
• punten bij een test.
• IQ-scores.
• salarissen.

de empirische regel vertelt u welk percentage van uw gegevens binnen een bepaald aantal standaardafwijkingen van het gemiddelde valt:
• 68% van de gegevens valt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.95% van de gegevens valt binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde.99,7% van de gegevens valt binnen drie standaardafwijkingen van het gemiddelde.

de standaardafwijking bepaalt de spreiding van de verdeling. Een kleinere standaardafwijking geeft aan dat de gegevens strak geclusterd zijn rond het gemiddelde; de normale verdeling zal groter zijn. Een grotere standaardafwijking geeft aan dat de gegevens rond het gemiddelde worden verspreid; de normale verdeling zal vlakker en breder zijn.

eigenschappen van een normale verdeling

• Het gemiddelde, de modus en de mediaan zijn allemaal gelijk.
• de curve is symmetrisch in het midden (d.w.z. rond het gemiddelde, μ).
• precies de helft van de waarden zijn links van het centrum en precies de helft van de waarden zijn rechts.
• de totale oppervlakte onder de curve is 1.

Het standaard normaal Model
Een standaard normaal model is een normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1.

standaard normaal Model: Distributie van gegevens

een manier om uit te zoeken hoe gegevens worden gedistribueerd is om ze in een grafiek te plotten. Als de gegevens gelijkmatig worden verdeeld, kunt u komen met een bel curve. Een klokkromme heeft een klein percentage van de punten op beide staarten en het grotere percentage op het binnenste deel van de kromme. In het standaard normale model, ongeveer 5 procent van uw gegevens zou vallen in de “staarten” (donkerder oranje gekleurd in de afbeelding hieronder) en 90 procent zal tussen. Bijvoorbeeld, voor testscores van studenten, de normale verdeling zou laten zien 2,5 procent van de studenten krijgen zeer lage scores en 2.5 procent krijgt zeer hoge scores. De rest zal in het midden staan; niet te hoog of te laag. De vorm van de standaard normale verdeling ziet er als volgt uit:

standaard normaal model. Beeld door: Universiteit van Virginia.

praktische toepassingen van het standaard Normaalmodel

De standaard normaalverdeling kan u helpen uit te zoeken in welk vak u goede cijfers haalt en in welke vakjes u meer moeite moet doen vanwege lage scorepercentages. Als je eenmaal een score in een onderwerp krijgt die hoger is dan je score in een ander onderwerp, zou je kunnen denken dat je beter bent in het onderwerp waar je de hogere score hebt gekregen. Dit is niet altijd waar.

je kunt alleen zeggen dat je beter bent in een bepaald onderwerp als je een score krijgt met een bepaald aantal standaardafwijkingen boven het gemiddelde. De standaardafwijking vertelt u hoe strak uw gegevens zijn geclusterd rond het gemiddelde; Het stelt u in staat om verschillende distributies met verschillende soorten gegevens te vergelijken — met inbegrip van verschillende middelen.

bijvoorbeeld, als je een score van 90 krijgt in wiskunde en 95 in het Engels, zou je kunnen denken dat je beter bent in het Engels dan in wiskunde. In wiskunde is je score echter 2 standaarddeviaties boven het gemiddelde. In het Engels is het maar één standaardafwijking boven het gemiddelde. Het vertelt u dat in de wiskunde, uw score is veel hoger dan de meeste van de studenten (uw score valt in de staart).
gebaseerd op deze gegevens, presteerde je eigenlijk beter in wiskunde dan in het Engels!

Waarschijnlijkheidsvragen met behulp van het standaardmodel

vragen over standaard normale verdelingskans kunnen alarmerend lijken, maar de sleutel om ze op te lossen is te begrijpen wat het gebied onder een standaard normale curve vertegenwoordigt. De totale oppervlakte onder een standaard normale verdelingscurve is 100% (dat is “1” als een decimaal). Bijvoorbeeld, de linker helft van de curve is 50%, of .5. Dus de kans dat een willekeurige variabele verschijnt in de linkerhelft van de curve is .5.

natuurlijk zijn niet alle problemen zo eenvoudig, daarom is er een Z-tabel. Het enige wat een z-tabel doet is deze waarschijnlijkheden meten (dat wil zeggen 50%) en ze in standaardafwijkingen van het gemiddelde zetten. Het gemiddelde ligt in het midden van de standaard normale verdeling, en een waarschijnlijkheid van 50% is gelijk aan nul standaarddeviaties.

Standard normal distribution: How to Find Probability (Steps)

Stap 1: Teken een belcurve en schaduw in het gebied dat in de vraag wordt gevraagd. Het voorbeeld hieronder toont z >-0.8. Dat betekent dat je op zoek bent naar de kans dat z groter is dan -0,8, dus je moet een verticale lijn tekenen op -0.8 standaardafwijkingen van de gemiddelde en schaduw alles dat groter is dan dat getal.

gearceerd gebied is z > -0.8

Stap 2: Bezoek de normal probability area index en zoek een afbeelding die lijkt op uw grafiek. Volg de instructies op die pagina om de Z-waarde voor de grafiek te vinden. De Z-waarde is de waarschijnlijkheid.

Tip: Stap 1 is technisch optioneel, maar het is altijd een goed idee om een grafiek te schetsen wanneer je probabiliteitsproblemen probeert te beantwoorden. Dat komt omdat de meeste fouten niet gebeuren omdat je de wiskunde niet kunt doen of een Z-tabel kan lezen, maar omdat je een Z-score aftrekt in plaats van toe te voegen (dat wil zeggen Je stelt de kans onder de curve in de verkeerde richting. Een schets helpt u cement in je hoofd precies wat u zoekt.

als je nog steeds problemen hebt, bekijk dan de tutors op Chegg.com. je eerste 30 minuten met een live tutor is gratis!

normale Distributiewoordproblemen

Deze video toont een voorbeeld van een normaal distributiewoordprobleem. Voor meer voorbeelden, lees hieronder verder:

wanneer u de normale verdeling aanpakt in een statistiekklasse, probeert u het gebied onder de curve te vinden. De totale oppervlakte is 100% (als decimaal, dat is 1). Normale distributie problemen komen in zes basistypen. Hoe weet je dat een woordprobleem een normale verdeling inhoudt? Zoek naar de sleutelzin ” veronderstel dat de variabele normaal verdeeld is “of” veronderstel dat de variabele ongeveer normaal is.”Om een woordprobleem op te lossen moet je uitzoeken welk type je hebt.

1. “tussen”: Bevatten de zin “tussen” en bevat een boven-en ondergrens (dwz “zoek het aantal huizen geprijsd tussen $50K en 200K”).
2. “meer dan” of “boven”: bevat de zin” meer dan “of”boven”.
3. “minder dan”.
4. Lower Cut Off Example (video)
5. Upper Cut Off Example (video)
6. Middle Percent Example (video)

“Between”

Deze how-to behandelt het oplossen van problemen die de zin “between” bevatten en bevat een boven-en ondergrens (d.w.z. “zoek het aantal huizen met een prijs tussen $50K en 200K”. Merk op dat dit anders is dan het vinden van het “middelste percentage” van iets.

woordproblemen met normale verdeling:” Between”: stappen

Stap 1: Identificeer de delen van het woordprobleem. Het woord probleem identificeert:

1. Het gemiddelde (gemiddelde Of μ).
2. standaardafwijking (σ).
3. getal geselecteerd (d.w.z. “kies er een willekeurig” of “selecteer er tien willekeurig”).
4. X: de getallen geassocieerd met “tussen” (d.w.z. “tussen $ 5.000 en $ 10.000” zouden X als 5.000 en als $10.000 hebben).

daarnaast krijgt u ofwel:

1. steekproefgrootte (d.w.z. 400 huizen, 33 mensen, 99 fabrieken, 378 loodgieters enz.). Of
2. u kan gevraagd worden naar een waarschijnlijkheid (in welk geval uw steekproef waarschijnlijk iedereen zal zijn, dat wil zeggen “Journeyman loodgieters” of “eerstejaars piloten.”

Stap 2: Teken een grafiek. Zet het geà dentificeerde gemiddelde in Stap 1 in het midden. Zet het nummer geassocieerd met “Tussen” op de grafiek (neem een gok op waar de nummers zouden vallen–het hoeft niet exact te zijn). Bijvoorbeeld, als je gemiddelde $100 was, en je werd gevraagd om “uurloon tussen $75 en $125”) zal je Grafiek er ongeveer zo uitzien:

Stap 3:Zoek de Z-scores uit. Plug de eerste X-waarde (in mijn grafiek hierboven is het 75) in de Z-waardeformule en los op. De μ (Het gemiddelde), is 100 uit de steekproefgrafiek. U kunt deze cijfers (inclusief σ, de standaardafwijking) krijgen uit uw antwoorden in Stap 1 :

*Opmerking: Als de Formule u verwart, vraagt deze formule u alleen om te doen:
1. trek het gemiddelde af van X
2. deel door de standaardafwijking.

Stap 4: Herhaal stap 3 voor de tweede X.

Stap 5: Neem de getallen uit stap 3 en 4 en gebruik ze om het gebied in de Z-tabel te vinden.

Als u gevraagd werd om een waarschijnlijkheid in uw vraag te vinden, ga dan naar stap 6a. als u gevraagd werd om een getal uit een bepaalde steekproefgrootte te vinden, ga dan naar stap 6b.

stap 6a:

converteer het antwoord van stap 5 naar een percentage.

bijvoorbeeld 0,1293 is 12,93%.

dat is het-Sla stap 6b over!

stap 6b

vermenigvuldig de steekproefgrootte (gevonden in Stap 1) met de z-waarde die u vond in Stap 4. Bijvoorbeeld, 0,300 * 100 = 30.

dat is het!

“meer dan “of”boven”

Deze how-to behandelt het oplossen van normale distributieproblemen die de zin “meer dan” (of een zin als “boven”) bevatten.

Stap 1: splits het woordprobleem in delen. Vinden:

1. Het gemiddelde (gemiddelde Of μ)
2. standaardafwijking (σ)
3. een getal (bijvoorbeeld “kies vijftig willekeurig” of “selecteer 90 willekeurig”)
4. X: het getal dat geassocieerd is met de vermelding “minder dan”. Bijvoorbeeld, als je werd gevraagd om te vinden “onder $9,999” dan X is 9,999.

Stap 2: Zoek het monster uit het probleem. Je hebt ofwel een specifieke grootte (zoals “1000 televisies”) of een algemene sample (“elke televisie”).

teken een afbeelding als het probleem met het gemiddelde en het gebied dat u zoekt. Bijvoorbeeld, als het gemiddelde $15 is, en u werd gevraagd om uit te vinden wat diners meer kosten dan $10, zou uw grafiek er zo uit kunnen zien:

Stap 3: Bereken de Z-score (steek uw waarden in de Z-waardeformule en los deze op). Gebruik uw antwoorden uit stap 1 :

kortom, alles wat je doet met de formule is het gemiddelde van X aftrekken en dan dat antwoord delen door de standaardafwijking.

Stap 4: Zoek het gebied met behulp van de Z-score uit stap 3. Gebruik de z-tafel. Weet je niet hoe je een z-tafel moet lezen? Zie de video op de z-tabel pagina.

Stap 6: Ga naar stap 6a om een waarschijnlijkheid te vinden of ga naar stap 6b om een bepaald aantal of bedrag te berekenen.

stap 6a
verander het antwoord van stap 5 in een percentage.

bijvoorbeeld, 0,1293 is 12,93%.

sla stap 6b over: je bent klaar!

stap 6b
vermenigvuldig de steekproefgrootte van Stap 1 met de Z-score van stap 4. Bijvoorbeeld, 0.500 * 100 = 50.

u bent klaar!

minder dan

Deze how-to behandelt het oplossen van normale distributiewoordproblemen die de zin “minder dan” hebben (of een soortgelijke zin zoals “minder dan”).

normale distributie woordproblemen minder dan: stappen

Stap 1: splits het woordprobleem in delen:

1. Het gemiddelde (gemiddelde Of μ)
2. standaardafwijking (σ)
3. aantal geselecteerd (d.w.z. “choose one at random “or” select ten at random”)
4. X: het getal dat hoort bij” less than “(I.E.” under $99,000 ” zou x weergeven als 99,000)

Plus, Je hebt ofwel:

1. een specifieke steekproefgrootte. Bijvoorbeeld 500 Boten, 250 sandwiches, 100 televisies etc.
2. iedereen in de steekproef (u wordt gevraagd om een waarschijnlijkheid te vinden). Bijvoorbeeld “eerstejaars medische studenten”, “kankerpatiënten” of ” Luchtvaartpiloten.”

Stap 2: Teken een afbeelding om u te helpen het probleem te visualiseren. De volgende grafiek toont een gemiddelde van 15, en een gebied “onder 4”):

Stap 3: Zoek de Z-waarde door de opgegeven waarden in de formule te pluggen. De ” X ” in onze steekproefgrafiek is 4, en de μ (Of gemiddelde) is 15. U kunt deze cijfers (inclusief σ, de standaardafwijking) krijgen uit uw antwoorden in Stap 1, waar u de delen van het probleem identificeerde:

alles wat u moet doen om de formule op te lossen is:

1. Trek Het gemiddelde van X.
2. deel door de standaardafwijking.

Stap 4: Neem het getal uit stap 3, gebruik dan de Z-tabel om het gebied te vinden.

Stap 5: om een waarschijnlijkheid te vinden, ga naar stap 6a. om een getal uit een bepaalde steekproefgrootte te vinden, ga naar stap 6b.

stap 6a

verander het getal van stap 5 in percentage.

bijvoorbeeld, 0,1293 is 12,93%.

dat is het!

stap 6b

vermenigvuldig de steekproefgrootte (gevonden in Stap 1) met de z-waarde die u vond in Stap 4. Bijvoorbeeld, 0,300 * 100 = 30.

dat is het!

Lower Cut Off

soms wordt u bij een normaal distributiewoordprobleem gevraagd om een “ondergrens van een hoger percentage” van iets te vinden (d.w.z. “vind het cut-off punt om een bepaald examen te halen waar de bovenste 40% van de testnemers slagen”). Een lager cut-off punt is het punt waar de scores onder dat punt zal vallen. Bijvoorbeeld, je zou willen vinden waar de cut-off punt is voor de onderste 10% van de testnemers.

Bekijk ons YouTube-kanaal voor meer problemen.

normale verdeling TI 89 voorbeelden

in elementaire statistieken wordt u vaak geconfronteerd met een vraag die u de cut-off punten vraagt voor een bepaald percentage van de normale verdeling, zoals de top 90% of de top 10%. Terwijl het uitwerken van deze soorten problemen met de hand omslachtig is, maakt de TI-89 grafische rekenmachine licht werk van het vinden van afgesneden punten voor een hoogste percentage met de omgekeerde normale functie. Wat je eigenlijk doet is zoeken naar de cut-off punten voor een bepaald percentiel: bijvoorbeeld, als je een lijst met cijfers hebt en je wilt weten wat de score is op het 99e percentiel, kun je de inverse normal functie gebruiken om dat percentage cut-off punt te vinden.

vinden van afgesneden punten voor een Top Percentage

Steekproefprobleem: studenten aan een bepaald college gemiddeld 5 voet 8 inches (68 inches) groot. De hoogte wordt normaal verdeeld, met een standaardafwijking van 2,5 inch. Wat is de waarde die de top 1% van de hoogten scheidt van de rest van de bevolking?

Stap 1: Druk op APPS en gebruik de schuiftoetsen om statistieken/lijst Editor te markeren.

Stap 2: Druk op F5 2 1 (Dit brengt u naar het Inverse normaal scherm).

Stap 3: Voer 0,99 in het vak gebied in.

Stap 4: Voer 68 in het μ-vak in.

Stap 5: voer 2.5 in het vak σ in.

Stap 6: Druk op ENTER.

Stap 7: Lees de resultaten: Inverse = 73.8159 betekent dat de afgesneden hoogte voor het 99e percentiel 73.8159 inch is.

dat is het!

kansberekening voorbeeld (NormalCDF-functie)

voorbeeldvraag: Een groep studenten met normaal verdeelde salarissen verdienen gemiddeld $ 6.800 met een standaarddeviatie van $ 2.500. Welk deel van de studenten verdienen tussen $ 6.500 en $ 7.300?

Stap 1: druk op APPS. Scroll naar de Stats / List Editor en druk op ENTER.

Stap 2: Druk op F5 4.

Stap 3: Voer 6500 in het vak lagere waarde in.

Stap 4: Voer 7300 in het vak bovenste waarde in.

Stap 5: Vul 6800 in het μ-vak in.

Stap 6: Voer 2500 in het vak σ in. Druk op ENTER.

Stap 7: Lees het antwoord. Cdf=.127018. Met andere woorden, .013, of 13% van de studenten verdienen tussen de $ 6.500 en $ 7.300.

TI-89 Grafisch een normale Distributiecurve

de TI-89 kan niet alleen z-scores berekenen en waarden retourneren voor normale distributies, het kan ook de normale distributiecurve grafieken. Het grafisch maken van een normale distributie kan je helpen om te zien waar je naar op zoek bent, en geeft je nog een hulpmiddel om normale distributieproblemen op te lossen. De TI-89 kan een normale distributiecurve grafieken met een gearceerde oppervlakte voor elke waarde. Je zou bijvoorbeeld een grafiek kunnen maken die: minder dan een bepaald getal, groter dan een bepaald getal, of tussen een bepaalde reeks getallen.

Steekproefprobleem: teken een normale verdelingscurve voor de salarissen van studenten tijdens een typisch semester. De student salarissen hebben een gemiddelde van $ 6.800 en standaarddeviatie van $2.500. Schaduw het gebied op de grafiek die overeenkomt met salarissen tussen $7.300 en $9.000.

Stap 1: Druk op APPS en selecteer de stats / List Editor.

Stap 2: Druk op F2 3 en F2 4.

Stap 3: Druk Op F5) 1.

Stap 4: Scroll naar beneden en voer 7300 in het vak lagere waarde in.

Stap 5: Scroll naar beneden en voer 9000 in de bovenste waarde doos.

Stap 6: Scroll naar beneden en voer 6800 in het μ-vak in.

Stap 7: Scroll naar beneden en voer 2500 in het vak σ in.

Stap 8: Scroll naar beneden. Zet Auto Scale naar ” yes ” door op de rechter scroll-toets te drukken en vervolgens de schuifknop naar beneden om ja te selecteren. Druk op ENTER.

een normale verdeling grafiek weergegeven op de TI-89 calculator.

dat is het!

Tip: Als u ∞ (oneindigheid) als een van uw lagere of hogere waarden wilt invoeren, drukt u op de diamanttoets en vervolgens op Catalogus.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 533-534, 1987.Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3e ed. New York: Wiley, 1968.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: van Nostrand, 1951.Kraitchik, M. ” The Error Curve.”§6.4 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 121-123, 1942.Patel, J. K. and Read, C. B. Handboek van de normale verdeling. New York: Dekker, 1982.

1. Wat is de regel 68-95-99. 7?
2. Box Cox Transformation
3. Box Muller Transformation
4. Gaussian Mixture Models.
5. Wat is een normale Kansplot?
6. Hoe bereken je een Z-Score in statistieken
7. zoek het gebied rechts van een Z-score.
8. gebruikmakend van de normale benadering om een binomiaal probleem op te lossen
9. Wat is de continuïteitscorrectiefactor?
10. oppervlakte onder een normale Verdelingscurve Index
11. centrale limietstelling.
12. De scheve normale verdeling.
13. Tweestaartige normale Curve.
14. De Q-functie.

——————————————————————————eeft u hulp nodig met een huiswerk-of testvraag? Met Chegg Study krijgt u stap-voor-stap oplossingen voor uw vragen van een expert in het veld. Je eerste 30 minuten met een Chegg tutor is gratis!