een auteur merkt op dat “de notatie in dat werk is vervangen door de latere ontwikkeling van de logica in de 20e eeuw, in de mate dat de beginner moeite heeft om PM te lezen”; terwijl veel van de symbolische inhoud kan worden omgezet in moderne notatie, de oorspronkelijke notatie zelf is “een onderwerp van wetenschappelijke dispuut”, en sommige notatie “belichaamt inhoudelijke logische doctrines, zodat het niet eenvoudig kan worden vervangen door hedendaagse symbolism”.Kurt Gödel was fel kritisch over de notatie:
“het valt te betreuren dat deze eerste uitgebreide en grondige presentatie van een wiskundige logica en de afleiding van de wiskunde ervan zo sterk ontbreekt in formele precisie in de grondslagen (opgenomen in Princip 1-21 21 van Principia ) dat het in dit opzicht een aanzienlijke stap achteruit betekent in vergelijking met Frege. Wat vooral ontbreekt, is een precieze verklaring van de syntaxis van het formalisme. Syntactische overwegingen worden weggelaten, zelfs in gevallen waarin ze nodig zijn voor de overtuigingskracht van de bewijzen”.
Dit wordt weergegeven in het voorbeeld hieronder van de symbolen “p”, “q”, “r” en ” ⊃ “die kunnen worden gevormd in de string “p ⊃ q ⊃ r”. PM vereist een definitie van wat deze symbool-string betekent in termen van andere symbolen; in hedendaagse behandelingen zouden de “formatieregels” (syntactische regels die leiden tot “goed gevormde formules”) de vorming van deze string hebben voorkomen.
bron van de notatie: hoofdstuk I “voorafgaande verklaringen van ideeën en notaties” begint met de bron van de elementaire delen van de notatie (de symbolen = ⊃λ-ΛVε en het systeem van punten):de notatie in dit werk is gebaseerd op die van Peano, en de volgende verklaringen zijn tot op zekere hoogte gemodelleerd naar die welke hij voorvoegsel in zijn Formulario Mathematico . Zijn gebruik van puntjes als haakjes wordt aangenomen, en zo zijn veel van zijn symbolen” (PM 1927:4).
PM veranderde Peano ’s opstelling in⊃, en nam ook een paar van Peano’ s latere symbolen over, zoals ℩ EN ι, en Peano ‘ s praktijk van het ondersteboven draaien van letters.
PM neemt het assertieteken “⊦” uit Frege ‘ s 1879 Begrifsschrift aan:
” (i)t kan gelezen worden ‘het is waar dat’ “
aldus een stelling bevestigen p PM schrijft:
“⊦. p. ” (PM 1927:92)
(merk op dat, net als in het origineel, de linker stip vierkant is en groter dan de periode aan de rechterkant.)
Het grootste deel van de rest van de notatie in PM is uitgevonden door Whitehead.
een inleiding tot de notatie van “Section A Mathematical Logic” (formules ✸1–5 5.71)bewerken
PM ’s dots worden gebruikt op een manier die vergelijkbaar is met haakjes. Elke punt (of meerdere punt) vertegenwoordigt ofwel een linker of rechter haakje of het logische symbool ∧. Meer dan één punt geeft de “diepte” van de haakjes aan, bijvoorbeeld, “.”, “: “of”:.”, “::”. De positie van de overeenkomende rechter-of linkerhaak wordt echter niet expliciet aangegeven in de notatie, maar moet worden afgeleid uit een aantal regels die complex en soms dubbelzinnig zijn. Bovendien, wanneer de punten staan voor een logisch symbool ∧ zijn linker en rechter operanden moeten worden afgeleid met behulp van soortgelijke regels. Eerst moet men op basis van context beslissen of de punten staan voor een linker of rechter haakje of een logisch symbool. Dan moet men beslissen hoe ver de andere overeenkomstige haakjes is: hier gaat men door tot men ofwel een groter aantal punten ontmoet, of hetzelfde aantal punten daarna die gelijke of Grotere “kracht” hebben, of het einde van de lijn. Stippen naast de tekens ⊃,≡,∨, = Df hebben een grotere kracht dan stippen naast (x), (∃x) enzovoort, die een grotere kracht hebben dan stippen die een logisch product ∧aangeven.
Voorbeeld 1. De regel
3.4 3.4. ⊢ : p . q. ⊃ . p ⊃ q
komt overeen met
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
de twee stippen die onmiddellijk na het assertion-teken bij elkaar staan, geven aan dat wat wordt beweerd de hele lijn is: aangezien er twee van hen zijn, is hun reikwijdte groter dan die van een van de enkele punten aan hun rechterkant. Ze worden vervangen door een linkerhaakje waar de puntjes staan en een rechterhaakje aan het einde van de formule, dus:
⊢ (p . q. ⊃ . p ⊃ q).
(in de praktijk worden deze buitenste haakjes, die een hele formule omsluiten, meestal onderdrukt.) De eerste van de enkele punten, die tussen twee propositionele variabelen staan, vertegenwoordigt conjunctie. Het behoort tot de derde groep en heeft de smalste reikwijdte. Hier wordt het vervangen door het moderne symbool voor voegwoord “∧”, dus
⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).
De twee resterende losse punten kiezen de hoofdverbinding van de hele formule uit. Zij illustreren het nut van de puntnotatie in het uitkiezen van die verbindingen die relatief belangrijker zijn dan degenen die hen omringen. De linker van de ” ⊃ ” wordt vervangen door een paar haakjes, de rechter gaat waar de stip is en de linker gaat zo ver naar links als het kan zonder een groep punten met grotere kracht te kruisen, in dit geval de twee punten die het assertion-teken volgen, dus
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)
De Punt aan de rechterkant van de “⊃” wordt vervangen door een linkerhaak die gaat waar de punt is en een rechterhaak die zo ver naar rechts gaat als het kan zonder verder te gaan dan het bereik dat al is vastgesteld door een groep punten met grotere kracht (in dit geval de twee punten die het assertie-teken volgden). Dus de rechterhaak die de punt rechts van de “⊃” vervangt wordt geplaatst voor de rechterhaak die de twee punten na het assertie-teken vervangt, dus
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Voorbeeld 2, met dubbele, drievoudige en viervoudige punten:
9 9.521. ⊢ :: (∃x). φx . ⊃ . q:⊃:. (∃x). φx . v. r:⊃. q v r
staat voor
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Voorbeeld 3, met een dubbele punt wijst op een logische symbool (uit volume 1, pagina 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
staat voor
(p⊃q) ∧ (q⊃r)⊃(p⊃r))
waar de dubbele punt staat voor de logische symbool ∧ en kan worden gezien als het hebben van de hogere prioriteit als een niet-logische één punt.
Later in sectie 14 14 verschijnen haakjes””, en in sectie 20 20 en volgende worden haakjes “{ }” weergegeven. Of deze symbolen specifieke betekenissen hebben of alleen bedoeld zijn voor visuele verduidelijking is onduidelijk. Helaas de enkele stip (maar ook “:”,”:.”, “::”, etc.) wordt ook gebruikt om “logisch product” (hedendaags logisch en vaak gesymboliseerd door “&” of”∧”) te symboliseren.
logische implicatie wordt weergegeven door Peano ‘ s “yang” vereenvoudigd tot “⊃”, logische negatie wordt gesymboliseerd door een langgerekte tilde, dat wil zeggen, “~” (hedendaagse “~” of “”), de logische of door “v”. Het symbool ” = “samen met” Df ” wordt gebruikt om aan te geven “is gedefinieerd als”, terwijl in secties 13 13 en volgende “=” wordt gedefinieerd als (wiskundig) “identiek met”, dat wil zeggen, hedendaagse wiskundige “gelijkheid” (cf. discussie in sectie ✸13). Logische equivalentie wordt weergegeven door ” ≡ “(hedendaags” als en alleen als”);” elementaire “propositionele functies worden op de gebruikelijke manier geschreven, bijvoorbeeld” f(p)”, maar later verschijnt het functieteken direct voor de variabele zonder haakjes, bijvoorbeeld” φx”,” xx”, enz.
voorbeeld: PM introduceert de definitie van “logisch product” als volgt:
3 3.01. p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.waar ” p . q ” is het logische product van p en q. ✸3,02. p ⊃ q r r .=. p ⊃ q . q r r Df.Deze definitie dient slechts om bewijzen af te korten.
vertaling van de formules in hedendaagse symbolen: verschillende auteurs gebruiken alternatieve symbolen, zodat er geen definitieve vertaling kan worden gegeven. Echter, vanwege kritiek zoals die van Kurt Gödel hieronder, zullen de beste hedendaagse behandelingen zeer nauwkeurig zijn met betrekking tot de” formatieregels ” (de syntaxis) van de formules.
de eerste formule kan als volgt worden omgezet in moderne symboliek:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
afwisselend
(p & q) =df ((p v q))
afwisselend
(p ∧ q) =df ((p v q))
enz.
de tweede formule kan als volgt worden geconverteerd:
(p → q → r)=df (p → q) & (q → r)
maar merk op dat dit niet (logisch) equivalent is aan (p → (q → r)) noch aan ((p → q) → r), en deze twee zijn ook niet logisch equivalent.
een inleiding tot de notatie van “Sectie B theorie van schijnbare variabelen” (formules 8 8-14 14.34) Bewerk
deze secties hebben betrekking op wat nu bekend staat als predicaatlogica, en predicaatlogica met identiteit (gelijkheid).
- NB: als gevolg van kritiek en vooruitgang vervangt de tweede editie van PM (1927) ✸9 door een nieuwe 8 8 (Bijlage A). Deze nieuwe sectie elimineert het onderscheid tussen reële en schijnbare variabelen in de eerste editie, en het elimineert “de primitieve idee ‘assertion of a propositional function’. Om de complexiteit van de behandeling te vergroten, introduceert ✸8 de notie van het vervangen van een “matrix”, en de Sheffer stroke:
- Matrix: In hedendaags gebruik is de matrix van PM (althans voor propositionele functies), een waarheidstabel, d.w.z. alle waarheidswaarden van een propositionele of predicaatfunctie.
- Sheffer stroke: Is de hedendaagse logische NAND (niet-en), dat wil zeggen, “incompatibiliteit”, wat betekent:
“gegeven twee proposities p en q, dan betekent’ p | q ‘ “stelling p is onverenigbaar met propositie q”, dat wil zeggen, als beide proposities p en q evalueren als waar, dan en alleen dan p | q evalueert als onwaar.”Na sectie ✸8 de Sheffer beroerte ziet geen gebruik.
sectie 10 10: De existentiële en universele “operators”: PM voegt ” (x)” toe om de hedendaagse symboliek te representeren “voor alle x” d.w.z., “ÿx”, en het gebruikt een achterwaarts geserifeerde E om te vertegenwoordigen “er bestaat een x”, d.w.z., “(Ǝx)”, d.w.z., de hedendaagse “∀x”. De typische notatie zou vergelijkbaar zijn met de volgende:
“(x). φx “betekent” voor alle waarden van variabele x, functie φ evalueert naar waar “” (Ǝx). φx “means” for some value of variable x, function φ evaluates to true “
secties 10 10, 11 11 ,12 12: eigenschappen van een variabele uitgebreid tot alle individuen: sectie 10 10 introduceert de notie van “een eigenschap” van een “variabele”. PM geeft het voorbeeld: φ is een functie die aangeeft “is een Griek”, en ψ geeft aan” is een mens”, en χ geeft aan” is een sterveling ” deze functies zijn dan van toepassing op een variabele x. PM kan nu schrijven, en evalueren:
(x) . ψx
de bovenstaande notatie betekent “voor alle x is x een man”. Gegeven een verzameling van individuen, kan men de bovenstaande formule voor waarheid of valsheid te evalueren. Bijvoorbeeld, gezien de beperkte collectie van individuen { Socrates, Plato, Russell, Zeus } het bovenstaande evalueert naar “waar” als we toestaan dat Zeus een man. Maar het mislukt voor:
(x) . φx
omdat Russell niet Grieks is. En het mislukt voor
(x) . xx
omdat Zeus geen sterveling is.
uitgerust met deze notatie kan PM formules maken om het volgende uit te drukken: “als alle Grieken mannen zijn en als alle mensen stervelingen zijn, dan zijn alle Grieken stervelingen”. (PM 1962: 138)
(x). φx ψ ψx : (x). ψx xx xx:⊃: (x). φx xx xx
een ander voorbeeld: de formule:
10 10.01. (Ǝx). φx . = . ~(x). φx Df.
betekent ” de symbolen die de bewering weergeven ‘Er bestaat ten minste één x die voldoet aan functie φ’ wordt gedefinieerd door de symbolen die de bewering weergeven ‘Het is niet waar dat, gegeven alle waarden van x, er geen waarden van x zijn die voldoen aan φ'”.
de symbolen ⊃x en” ≡x ” verschijnen bij 10 10.02 en ✸10.03. Beide zijn afkortingen voor universaliteit (d.w.z. voor allen) die de variabele x binden aan de logische operator. Hedendaagse notatie zou eenvoudigweg haakjes buiten het gelijkheidsteken (“=”) hebben gebruikt:
10 10.02 φx ψ X ψx .=. (x). φx ψ ψx Dftijdelijke notatie: ÿx(φ(X) → ψ (x)) (of een variant) 10 10.03 φx ψ x ψx .=. (x). φx ψ ψx Dftijdelijke notatie: ÿx (φ (X) ↔ ψ(x)) (of een variant)
PM schrijft de eerste symboliek toe aan Peano.
Sectie 11 11 past deze symboliek toe op twee variabelen. Dus de volgende notaties: ⊃x, y y, ⊃x, y kunnen allemaal verschijnen in een enkele formule.
sectie 12 12 introduceert de notie van “matrix” (hedendaagse waarheidstabel), de notie van logische types, en in het bijzonder de noties van eerste-orde en tweede-orde functies en proposities.
nieuwe symboliek ” φ ! x ” staat voor elke waarde van een first-order functie. Als een circumflex “”boven een variabele wordt geplaatst, dan is dit een” individuele “waarde van y, wat betekent dat” ŷ “”individuen” aangeeft (bijvoorbeeld een rij in een waarheidstabel); dit onderscheid is noodzakelijk vanwege de matrix/extenties aard van propositionele functies.
nu uitgerust met de matrix notie, kan PM zijn controversiële axioma van reduceerbaarheid bevestigen: een functie van één of twee variabelen (twee zijn voldoende voor PM ’s gebruik) waar alle waarden zijn gegeven (d.w.z., in zijn matrix) is (logisch) equivalent ( ” ≡ “) aan een” predicatieve ” functie van dezelfde variabelen. De definitie van één variabele wordt hieronder gegeven als illustratie van de notatie (PM 1962:166-167):
12 12.1⊢: (Ǝ f): φx .≡x. f ! X Pp;
Pp is een “primitieve propositie” (“proposities aangenomen zonder bewijs”) (PM 1962:12, dat wil zeggen, hedendaagse” axioma ‘s”), toe te voegen aan de 7 gedefinieerd in Sectie 1 1 (beginnend met 1.1 1.1 modus ponens). Deze zijn te onderscheiden van de ‘primitieve ideeën’ die het assertieteken”⊢”, negatie”~”, logisch of “V”, de noties van “elementaire propositie” en “elementaire propositionele functie” omvatten; deze komen zo dicht mogelijk bij regels van notatievorming, d.w.z. syntaxis.
Dit betekent: “we beweren de waarheid van het volgende: Er bestaat een functie f met de eigenschap dat: gegeven alle waarden van x, hun evaluaties in functie φ (dat wil zeggen, resulterend hun matrix) is logisch equivalent aan sommige f geëvalueerd op dezelfde waarden van x. (en vice versa, vandaar logische equivalentie)”. Met andere woorden: gegeven een matrix bepaald door eigenschap φ toegepast op variabele x, bestaat er een functie f die, wanneer toegepast op de x is logisch equivalent aan de matrix. Of: elke matrix φx kan worden weergegeven door een functie f toegepast op x, en vice versa.
13 13: de identiteit operator”=”: Dit is een definitie die het teken op twee verschillende manieren gebruikt, zoals opgemerkt door het citaat uit PM:
13 13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
means:
” Deze definitie stelt dat x en y identiek moeten worden genoemd wanneer elke predicatieve functie die door x wordt vervuld ook door y wordt vervuld … Merk op dat het tweede teken van gelijkheid in de bovenstaande definitie wordt gecombineerd met “Df”, en dus niet echt hetzelfde symbool is als het teken van gelijkheid dat is gedefinieerd.”
het niet-gelijkteken ” ≠ ” verschijnt als definitie op ✸13,02.
14 14: Descriptions:
” a description is a phrase of the form “(een beschrijving is een uitdrukking van de vorm) de term y die voldoet aan φsari, waarbij φsari een functie is die door slechts één argument wordt vervuld.”
van deze PM gebruikt twee nieuwe symbolen, een voorwaartse ” E “en een omgekeerde jota”℩”. Hier is een voorbeeld:
14 14.02. E ! (φ y) (φy).= : (Ǝb): φy . ≡y . y = b Df.
Dit heeft de Betekenis:
“De y-bevredigende φæs bestaat,” die geldt wanneer, en alleen wanneer φæs wordt voldaan door een waarde van y en door geen andere waarde.”(PM 1967:173-174)
Introduction to the notation of the theory of classes and relationsEdit
the text sprongen from section ✸14 direct to the foundational sections 20 20 GENERAL THEORY OF CLASSES and ✸21 GENERAL THEORY of RELATIONS. “Relaties” zijn wat in de hedendaagse verzamelingenleer bekend staat als verzamelingen van geordende paren. Secties 20 20 en 22 22 introduceren veel van de symbolen nog steeds in hedendaags gebruik. Deze omvatten de symbolen “ε”, “⊂”, “∩”, “∪”, “–”, “Λ”, en “V”: “ε” betekent “is een element van” (PM 1962:188); “⊂” (✸22.01) betekent “is opgenomen in”, “is een deelverzameling van”; “∩” (✸22.02, eerste) betekent het kruispunt (logische product) van de lessen (reeksen); “∪” (✸22.03) betekent de unie (logische som) van de lessen (reeksen); “–” (✸22.03) betekent de negatie van een klasse (set); “Λ” betekent de null-klasse; en ” V ” betekent de universele klasse of universum van discours.
kleine Griekse letters (andere dan “ε”, “ι”, “π”, “φ”, “ψ”, “χ” En “θ”) vertegenwoordigen klassen (bijvoorbeeld “α”, “β”, “γ”, “δ”, enz.) (PM 1962:188):
x ε α”het gebruik van een enkele letter in plaats van symbolen zoals ẑ (φz) of ẑ(φ ! z) is praktisch bijna onmisbaar, omdat anders de notatie snel onverdraaglijk cumbreus wordt. “X ε α “betekent dus”x is een lid van de klasse α””. (PM 1962:188) α ∪ – α = VDE Vereniging van een verzameling en haar inverse is de universele (voltooide) verzameling. α ∩ – α = Λhet snijpunt van een verzameling en zijn inverse is de nul (lege) verzameling.
wanneer toegepast op relaties in sectie 23 23 analyse van relaties, de symbolen “⊂”, “∩”, “∪”, en ” – ” verkrijg een punt: bijvoorbeeld:”⊍”,”∸”.
de notie en notatie van “een klasse” (verzameling): in de eerste editie stelt PM dat er geen nieuwe primitieve ideeën nodig zijn om te definiëren wat met “een klasse” wordt bedoeld, en slechts twee nieuwe “primitieve proposities” die de axioma ‘ s van reduceerbaarheid voor klassen en relaties worden genoemd (PM 1962:25). Maar voordat deze notie kan worden gedefinieerd, vindt PM het nodig om een eigenaardige notatie “ẑ(φz)” te creëren die het een “fictief object”noemt. (PM 1962: 188)
⊢: x ε ẑ(φz).≡. (φx) “dat wil zeggen,’ x is een lid van de klasse bepaald door (φẑ)’ is gelijk aan ‘ X voldoet (φẑ),’ of aan ‘(φx) is waar.'”. (PM 1962:25)
tenminste PM kan de lezer vertellen hoe deze fictieve objecten zich gedragen, omdat “een klasse geheel bepaald is wanneer haar lidmaatschap bekend is, dat wil zeggen dat er geen twee verschillende klassen kunnen zijn die hetzelfde lidmaatschap hebben” (PM 1962:26). Dit wordt gesymboliseerd door de volgende gelijkheid (vergelijkbaar met ✸13.01 hierboven:
ẑ(φz) = ẑ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx”dit laatste is het onderscheidende kenmerk van klassen, en rechtvaardigt ons in het behandelen van ψ(ψz) als de klasse bepaald door ψẑ.”(PM 1962:188)
misschien kan het bovenstaande duidelijker worden gemaakt door de bespreking van klassen in de inleiding tot de tweede editie, die het axioma van reduceerbaarheid bevat en het vervangt door de notie:” alle functies van functies zijn extensioneel ” (PM 1962:xxxix), dat wil zeggen,
φx ≡x ψx .⊃. (x): ƒ (φẑ) ƒ ƒ (ψẑ) (PM 1962:xxxix)
Dit heeft de redelijke betekenis dat ” als voor alle waarden van x de waarheidswaarden van de functies φ en ψ van x gelijkwaardig zijn, dan zijn de functie ƒ van een gegeven φẑ en ƒ van ψ gelijkwaardig.”PM beweert dat dit”voor de hand liggend “is:
” Dit is voor de hand liggend, omdat φ alleen in F(φẑ) kan voorkomen door de substitutie van waarden van φ Voor p, q, r, … in een functie, en als φx ψ ψx, geeft de substitutie van φx voor p in een functie dezelfde waarheidswaarde aan de waarheidsfunctie als de substitutie van ψx. Er is dus geen reden meer om onderscheid te maken tussen functieklassen, want op grond van het bovenstaande hebben we φx ψ x ψx .⊃. (x). φẑ = . ψẑ”.
Let op de verandering in het gelijkheidsteken “=” aan de rechterkant. PM gaat verder met te stellen dat zal blijven vasthouden aan de notatie “φ(φz)”, maar dit is slechts equivalent aan φẑ, En dit is een klasse. (alle citaten: PM 1962: xxxix).