Schaal

zoals bewezen door Gauss ‘ Theorema Egregium, kan een bol (of ellipsoïde) niet zonder vervorming op een vlak worden geprojecteerd. Dit wordt vaak geïllustreerd door de onmogelijkheid om een sinaasappelschil op een vlak oppervlak glad te maken zonder het te scheuren en te vervormen. De enige echte weergave van een bol op constante schaal is een andere bol zoals een bol.

gezien de beperkte praktische grootte van globes, moeten we kaarten gebruiken voor gedetailleerde mapping. Kaarten vereisen projecties. Een projectie impliceert vervorming: Een constante scheiding op de kaart komt niet overeen met een constante scheiding op de grond. Hoewel een kaart een grafische Balk schaal kan weergeven, moet de schaal worden gebruikt met dien verstande dat het accuraat zal zijn op slechts enkele lijnen van de kaart. (Dit wordt verder besproken in de voorbeelden in de volgende paragrafen.)

zij P een punt op breedtegraad φ {\displaystyle \ varphi }

en lengtegraad λ {\displaystyle \lambda }

op de bol (of ellipsoïde). Zij Q een aangrenzend punt en zij α {\displaystyle \ alpha }

de hoek tussen het element PQ en de meridiaan op P: deze hoek is de azimuthoek van het element PQ. Laat P ‘en Q’ overeenkomstige punten op de projectie zijn. De hoek tussen de richting P ‘ Q ‘ en de projectie van de meridiaan is de lager β {\displaystyle \beta }

. In het algemeen α ≠ β {\displaystyle \ alpha \ neq \ beta }

. Reactie: dit precieze onderscheid tussen AZIMUT (op het aardoppervlak) en lager (op de kaart) wordt niet algemeen waargenomen, veel schrijvers gebruiken de termen bijna door elkaar.

definitie: de puntschaal bij P is de verhouding tussen de twee afstanden P ‘ Q ‘ en PQ in de limiet die Q benadert P. We schrijven dit als

μ ( λ φ , α ) = lim Q → P P Q P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\P}{\frac {P ‘Q’}{PQ}},}

waar de notatie geeft aan dat het punt schaal is een functie van de positie van P en ook de richting van het element PQ.

definitie: als P en Q op dezelfde meridiaan liggen ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, wordt de meridiaanschaal aangeduid met h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

definitie: als P en Q op dezelfde parallel liggen ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, wordt de parallelle schaal aangegeven door k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

definitie: als de puntschaal alleen afhankelijk is van positie, niet van richting, zeggen we dat het isotroop is en conventioneel de waarde in elke richting aangeeft met de parallelle schaalfactor k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}

.

definitie: van een kaartprojectie wordt gezegd dat ze Hoekig is als de hoek tussen een paar lijnen die elkaar snijden op een punt P gelijk is aan de hoek tussen de geprojecteerde lijnen op het geprojecteerde punt P’, voor alle paren lijnen die elkaar snijden op punt P. een hoekige kaart heeft een isotrope schaalfactor. Omgekeerd impliceren isotrope schaalfactoren over de kaart een hoekprojectie.

schaalisotropie houdt in dat kleine elementen gelijkmatig in alle richtingen worden uitgerekt, dat wil zeggen dat de vorm van een klein element behouden blijft. Dit is de eigenschap van orthomorfisme (van het Griekse ‘rechte vorm’). De kwalificatie “klein” betekent dat bij een bepaalde meetnauwkeurigheid geen verandering in de schaalfactor ten opzichte van het element kan worden gedetecteerd. Omdat hoekprojecties een isotrope schaalfactor hebben, worden ze ook orthomorfe projecties genoemd. De Mercatorprojectie is bijvoorbeeld conformaal omdat ze is geconstrueerd om hoeken te behouden en de schaalfactor isotopisch is, een functie van breedtegraad: Mercator behoudt vorm in kleine gebieden.

definitie: bij een hoekprojectie met een isotrope schaal kunnen punten die dezelfde schaalwaarde hebben, worden samengevoegd tot de isoscale lijnen. Deze zijn niet uitgezet op kaarten voor eindgebruikers, maar ze zijn opgenomen in veel van de standaardteksten. (Zie Snyder blz. 203-206.)

de representatieve fractie (RF) of hoofdschaaldit

Er worden twee conventies gebruikt bij het bepalen van de vergelijkingen van een bepaalde projectie. De equirectangulaire cilindrische projectie kan bijvoorbeeld worden geschreven als

cartografen: x = A λ {\displaystyle x=a\lambda }

y = a φ {\displaystyle y=a\varphi }

wiskundigen: x = λ {\displaystyle X=\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

Snyder). De bovenstaande projectievergelijkingen bepalen duidelijk posities op een enorme cilinder rond de aarde gewikkeld en dan uitgerold. We zeggen dat deze coördinaten de projectiekaart definiëren die logisch moet worden onderscheiden van de feitelijk afgedrukte (of bekeken) kaarten. Als de definitie van puntschaal in het vorige deel in termen van de projectiekaart is dan kunnen we verwachten dat de schaalfactoren dicht bij eenheid zijn. Voor normale cilindrische raakprojecties is de schaal langs de evenaar k = 1 en in het algemeen verandert de schaal naarmate we van de evenaar af bewegen. Analyse van schaal op de projectiekaart is een onderzoek naar de verandering van k weg van zijn ware waarde van eenheid.

werkelijke gedrukte kaarten worden geproduceerd uit de projectiekaart door een constante schaling aangegeven met een verhouding zoals 1:100M (voor hele wereldkaarten) of 1:10000 (voor bijvoorbeeld stadsplattegronden). Om verwarring bij het gebruik van het woord ‘schaal’ te voorkomen, wordt deze constantscale-fractie de representatieve fractie (RF) van de afgedrukte kaart genoemd en moet deze worden geïdentificeerd met de verhouding die op de kaart is afgedrukt. De werkelijke afgedrukte kaartcoördinaten voor de equirectangular cilindrische projectie zijn

afgedrukte kaart: x = ( R F ) A λ {\displaystyle x=(RF)a\lambda }

y = ( R F ) A φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }

deze conventie maakt een duidelijk onderscheid mogelijk tussen de intrinsieke projectieschaling en de reductie-schaling.

vanaf dit punt negeren we de RF en werken we met de projectiekaart.

visualisatie van puntschaal: de Tissot indicatrixEdit

Overweeg een kleine cirkel op het oppervlak van de Aarde gericht op een punt P op de breedtegraad φ {\displaystyle \varphi }

– en lengtegraad λ {\displaystyle \lambda }

. Omdat de puntschaal varieert met positie en richting zal de projectie van de cirkel op de projectie worden vervormd. Tissot bewees dat, zolang de vervorming niet te groot is, de cirkel een ellips op de projectie zal worden. In het algemeen zullen de dimensie, vorm en oriëntatie van de ellips veranderen over de projectie. Door deze vervormings-ellipsen op de kaartprojectie te plaatsen, wordt de manier weergegeven waarop de puntschaal over de kaart verandert. De distortion ellipse staat bekend als Tissot ‘ s indicatrix. Het voorbeeld hier is de Winkel tripel projectie, de standaard projectie voor wereldkaarten gemaakt door de National Geographic Society. De minimale vervorming bevindt zich op de centrale meridiaan op breedtegraden van 30 Graden (Noord en Zuid). (Andere voorbeelden).

puntschaal voor normale cilindrische projecties van de boldit

de sleutel tot een kwantitatief begrip van schaal is om een infinitesimaal element op de bol te beschouwen. De figuur toont een punt P op breedtegraad φ {\displaystyle \ varphi }

en lengtegraad λ {\displaystyle \lambda }

op de bol. Het punt Q staat op breedtegraad φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

en lengtegraad λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. De lijnen PK en MQ zijn bogen van meridianen van lengte A δ φ {\displaystyle a\,\delta \varphi }

waar a {\displaystyle a}

de straal is van de bol en φ {\displaystyle \varphi }

is in radiale maat. De lijnen PM en KQ zijn bogen van parallelle lengtecirkels ( a cos φ φ ) δ λ {\displaystyle (A\cos \varphi )\delta \lambda }

Met λ {\displaystyle \lambda }

in radiale maat. Bij het afleiden van een punteigenschap van de projectie op P volstaat het om een infinitesimaal element PMQK van het oppervlak te nemen: in de grens van Q nadert P neigt een dergelijk element naar een infinitesimaal kleine vlakke rechthoek.

Normale cilindrische projectie van de bol hebben x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

en y {\displaystyle y}

gelijk naar een functie van breedtegraad alleen. Daarom projecteert het infinitesimale element PMQK op de bol naar een infinitesimaal element P’ M ‘ Q ‘ K ‘ dat een exacte rechthoek is met een basis δ x = A δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

en hoogte δ y {\displaystyle \delta y}

. Door de elementen op bol en projectie te vergelijken kunnen we meteen uitdrukkingen afleiden voor de schaalfactoren op parallellen en meridianen. (De behandeling van de schaal in een algemene richting kan hieronder worden gevonden. in de parallelle schaal factor k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{een\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiaan schaal factor h = δ en δ φ = y ‘( φ ) een {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}

Merk op dat de parallelle schaalfactor k) = sec ⁡ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }

onafhankelijk van de definitie van y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}

dus het is dezelfde voor alle normale cilindrische projectie. Het is nuttig op te merken dat op breedtegraad 30 graden de parallelle schaal k = sec is⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k=\sec 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}}=1.15}

op geografische breedte van 45 graden, de parallel schaal is k = sec ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

op de breedtegraad 60 graden de parallelle schaal is k = sec ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

bij latitude 80 graden de parallelle schaal is k = sec ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

op breedtegraad 85 graden is de parallelle schaal k = sec 85 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}

de volgende voorbeelden illustreren drie normale cilindrische projecties en in elk geval wordt de variatie van schaal met positie en richting geïllustreerd door het gebruik van Tissot de indicatrix.

Drie voorbeelden van normale cilindrische projectionEdit

De equirectangular projectionEdit

De equirectangular projectie, ook wel bekend als de Plaat Carrée (frans voor “flat square”) of (enigszins misleidend) de equidistante projectie, is gedefinieerd door

x = a λ , {\displaystyle x=a\lambda}

y = φ , {\displaystyle y=a\varphi ,}

waar een {\displaystyle a}

de straal van de bol, λ {\displaystyle \lambda }

is de lengte van de centrale meridiaan van de projectie (hier gebruikt als Greenwich meridian bij λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}

) en φ {\displaystyle \varphi }

is de breedtegraad. Merk op dat λ {\displaystyle \lambda }

en φ {\displaystyle \varphi }

in radialen zijn (verkregen door de graadmeter te vermenigvuldigen met een factor π {\displaystyle \pi }

/180). De lengtegraad λ {\displaystyle \lambda }

in het bereik {\displaystyle }

en de latitude φ {\displaystyle \varphi }

in het bereik {\displaystyle }

.

sinds y ‘( φ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi) = 1}

de vorige sectie geeft parallelle schaal, k = δ X a cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \ quad k\; = \;{\dfrac {\delta x}{een\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiaan schaal h = δ y a δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}

Voor de berekening van de omvang van het punt in een willekeurige richting zie addendum.

de figuur illustreert de Tissot indicatrix voor deze projectie. Op de evenaar h = k = 1 en de cirkelvormige elementen zijn onvervormd opprojectie. Op hogere breedtegraden worden de cirkels vervormd tot een ellips, gegeven door zich alleen in de parallelle richting uit te strekken: er is geen vervorming in de meridiaanrichting. De verhouding tussen de hoofdas en de kleine AS IS sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }

. Het is duidelijk dat het oppervlak van de ellips met dezelfde factor toeneemt.

het is leerzaam om het gebruik van bar schalen te overwegen die op een gedrukte versie van deze projectie kunnen voorkomen. De schaal is waar (k = 1) op de evenaar zodat het vermenigvuldigen van de lengte op een afgedrukte kaart met de inverse van de RF (of hoofdschaal) de werkelijke omtrek van de aarde geeft. De staafschaal op de kaart wordt ook op de ware schaal getekend, zodat het overbrengen van een scheiding tussen twee punten op de evenaar naar de staafschaal de juiste afstand tussen die punten geeft. Hetzelfde geldt voor de meridianen. Op een andere parallel dan de evenaar is de schaal sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi}

dus als we een scheiding overbrengen van een parallel naar de maatschaal moeten we de afstand van de maatschaal delen door deze factor om de afstand te verkrijgen tussen de punten gemeten langs de parallel (wat niet de ware afstand langs een grootcirkel is). Op een lijn met een lager van bijvoorbeeld 45 graden (β = 45 ∘ {\displaystyle \ beta = 45^{\circ }}

) varieert de schaal continu met de breedtegraad en het overbrengen van een scheiding langs de lijn naar de maatschaal geeft op geen enkele eenvoudige manier een afstand gerelateerd aan de werkelijke afstand. (Maar zie addendum). Zelfs als we een afstand konden berekenen langs deze lijn van constant dragende is de relevantie twijfelachtig omdat zo ‘ n lijn op de projectie overeenkomt met een ingewikkelde kromme op de bol. Om deze redenen moeten bar schalen op kleinschalige kaarten met uiterste voorzichtigheid worden gebruikt.

Mercator projectiedit

De Mercator projectie kaarten van het gebied tot een rechthoek (van oneindige mate in de y {\displaystyle y}

-richting) de vergelijkingen van de vorm x = a λ {\displaystyle x=a\lambda \,}

y = a ln ⁡ {\displaystyle y=a\ln \left}

waar a, λ {\displaystyle \lambda \,}

en φ {\displaystyle \varphi \,}

zijn zoals in het vorige voorbeeld. Aangezien y ‘(φ ) = sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

zijn de schaalfactoren: parallelle schaal k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi\, \ delta \ lambda \,}}=\, \ sec \ varphi .}

meridiaanschaal h = δ en A δ φ = sec φ φ . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi \,}}=\, \ sec \ varphi .}

In de wiskundige addendum is aangetoond dat de omvang van het punt in een willekeurige richting is ook gelijk sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

zodat de schaal is isotroop (in alle richtingen), de grootte toeneemt met de breedtegraad als sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

. In het Tissot-diagram behoudt elk infinitesimaal cirkelelement zijn vorm, maar wordt meer en meer vergroot naarmate de breedtegraad toeneemt.

Lambert ‘ s gelijke oppervlakte projectionEdit

Lambert equal-area projection kaarten de sfeer op een eindige rechthoek door de vergelijkingen

x = een λ y = a sin ⁡ φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }

waar a, λ {\displaystyle \lambda }

en φ {\displaystyle \ varphi }

zijn zoals in het vorige voorbeeld. Omdat y ‘( φ ) = cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }

de schaal factoren zijn parallel schaal k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{een\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridiaan schaal h = δ y a δ φ = cos ⁡ φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }

De berekening van de omvang van het punt in een willekeurige richting wordt hieronder gegeven.

De verticale en horizontale schalen compenseren elkaar nu (hk = 1) en in het Tissot-diagram wordt elk infinitesimaal cirkelelement vervormd tot een ellips van hetzelfde gebied als de niet-vervormde cirkels op de evenaar.

grafieken van schaal factorsEdit

de grafiek toont de variatie van de schaalfactoren voor de bovenstaande drie voorbeelden. De bovenste plot toont de isotrope Mercator-schaalfunctie: de schaal op de parallel is dezelfde als de schaal op de meridiaan. De andere plots tonen de meridiaanschaalfactor voor de Equirectangulaire projectie (h = 1) en voor de Lambert equal area projectie. Deze laatste twee projecties hebben een parallelle schaal die identiek is aan die van de Mercator plot. Voor de Lambert opmerking dat de parallelle schaal (als Mercator a) toeneemt met de breedtegraad en de meridiaan schaal (C) afneemt met de breedtegraad op een zodanige wijze dat hk=1, garanderen behoud van het gebied.

Schaalvariatie op de Mercator-projectiedit

de Mercator-puntschaal is eenheid op de evenaar omdat deze zo is dat de Hulpcilinder die bij de constructie wordt gebruikt, raaklijnt aan de aarde bij de evenaar. Om deze reden moet de gebruikelijke projectie een raakprojectie worden genoemd. De schaal varieert met de breedtegraad als k = sec φ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }

. Aangezien sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi }

naar oneindigheid neigt wanneer we de Polen naderen, is de Mercatorkaart op grote breedtegraden grof vervormd en daarom is de projectie totaal ongeschikt voor wereldkaarten (tenzij we het hebben over navigatie en loxodromen). Echter, op een breedtegraad van ongeveer 25 graden is de waarde van sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }

ongeveer 1.1 Mercator is dus tot op 10% nauwkeurig in een strook met een breedte van 50 graden gecentreerd op de evenaar. Smallere stroken zijn beter: een strook met een breedte van 16 graden (gecentreerd op de evenaar)is nauwkeurig tot op 1% of 1 deel op 100.

een standaardcriterium voor goede grootschalige afbeeldingen is dat de nauwkeurigheid binnen 4 delen op 10.000, of 0,04% moet zijn, overeenkomend met k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}

. Sinds sec φ φ {\displaystyle \ sec \ varphi }

bereikt deze waarde op φ = 1.62 {\displaystyle \ varphi = 1.62}

graden (zie figuur hieronder, rode lijn). Daarom is de tangent Mercator projectie zeer nauwkeurig binnen een strook met een breedte van 3,24 graden gecentreerd op de evenaar. Dit komt overeen met een Noord-zuidafstand van ongeveer 360 km. Binnen deze strip Mercator is zeer goed, zeer nauwkeurig en vorm behoud omdat het is conformal (hoek behoud). Deze waarnemingen hebben geleid tot de ontwikkeling van de transversale mercatorprojecties waarin een meridiaan ‘als een evenaar’ van de projectie wordt behandeld, zodat we een nauwkeurige kaart krijgen binnen een nauwe afstand van die meridiaan. Dergelijke kaarten zijn goed voor landen die bijna noord-zuid liggen (zoals Groot-Brittannië) en een set van 60 dergelijke kaarten wordt gebruikt voor de Universele Transverse Mercator (UTM). Merk op dat in beide projecties (die gebaseerd zijn op verschillende ellipsoïden) de transformatievergelijkingen voor x en y en de uitdrukking voor de schaalfactor gecompliceerde functies zijn van zowel lengte-als breedtegraad.

Secant, of modified, projectionsEdit

het basisidee van een secant projectie is dat de bol wordt geprojecteerd op een cilinder die de bol snijdt op twee parallellen, zeg φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

Noord en Zuid. Het is duidelijk dat de schaal nu waar is op deze breedtegraden, terwijl parallellen onder deze breedtegraden door de projectie worden samengetrokken en hun (parallelle) schaalfactor kleiner moet zijn dan één. Het resultaat is dat de afwijking van de schaal van eenheid wordt verminderd over een breder scala van breedtegraden.

als voorbeeld wordt een mogelijke secant Mercatorprojectie gedefinieerd door

x = 0,9996 a λ y = 0,9996 a ln ln ( tan π (π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x=0.9996 a\lambda \qquad \qquad y=0.9996 a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}

De numerieke vermenigvuldigers veranderen de vorm van de projectie niet, maar het betekent wel dat de schaalfactoren worden gewijzigd:

secant Mercator schaal, k = 0,9996 sec φ φ . {\displaystyle \ quad k\; = 0,9996 \ sec \ varphi .}

Dus

• de schaal op de evenaar is 0.9996,
• de schaal is k = 1 op een breedte gegeven door φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  waar sec ⁡ φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  zodat φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  graden, k=1.0004 op de lengte-φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  gegeven door de sec ⁡ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  waarvoor φ 2 = 2.29 ondersteuning heeft {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  graden. Daarom is de projectie heeft 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , dat is een nauwkeurigheid van 0,04% over een bredere strook van 4.58 graden (in vergelijking met 3.24 graden voor de raaklijn vorm).

Dit wordt geïllustreerd door de onderste (groene) curve in de figuur van de vorige sectie.

zulke smalle zones met hoge nauwkeurigheid worden gebruikt in de UTM en de Britse OSGB-projectie, die beide secant, transversaal Mercator op de ellipsoïde zijn met de schaal op de centrale meridiaanconstante bij k 0 = 0,9996 {\displaystyle k_{0}=0,9996}

. De isoscale lijnen met k = 1 {\displaystyle k = 1}

zijn licht gebogen lijnen ongeveer 180 km ten oosten en ten westen van de centrale meridiaan. De maximale waarde van de schaalfactor is 1.001 voor UTM en 1.0007 voor OSGB.

de lijnen van eenheidsschaal op breedtegraad φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

(Noord en Zuid), waar het cilindrische projectieoppervlak de bol snijdt, zijn de standaard parallellen van de secantprojectie.

terwijl een smalle band met | k − 1 | < 0,0004 {\displaystyle |k-1|<0,0004}

is belangrijk voor het in kaart brengen van hoge nauwkeurigheid op grote schaal, want wereldkaarten met veel grotere afstanden worden standaardparallellellen gebruikt om de schaalvariatie te controleren. Voorbeelden zijn

• Behrmann met standaardparallellen op 30N, 30S.
• gal gelijk gebied met standaardparallellen op 45N, 45S.

De schaaldiagrammen voor deze laatste worden hieronder weergegeven in vergelijking met de Lambert equal area scale factors. In de laatste is de evenaar een enkele standaard parallel en de parallelle schaal neemt toe van k = 1 om de afname van de meridiaanschaal te compenseren. Voor de gal wordt de parallelle schaal aan de evenaar verkleind (tot k=0,707) terwijl de meridiaanschaal wordt verhoogd (tot K=1,414). Dit geeft aanleiding tot de grove vervorming van de vorm in de gal-Peters projectie. (Op de wereldbol is Afrika ongeveer zo lang als het breed is). Merk op dat de meridiaan en parallelle schalen beide eenheid zijn op de standaard parallellen.

Wiskundige addendumEdit

Voor de normale cilindrische projecties van de geometrie van het oneindig kleine elementen geeft

(a) tan ⁡ α = a cos ⁡ φ δ λ een δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}

(b) tan β β = δ x δ y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text {(b)}} \ quad \ tan \ beta = {\frac {\delta x} {\delta y}}={\frac {a\, \ delta \ lambda } {\delta y}}.}

de relatie tussen de hoeken β {\displaystyle \beta }

en α {\displaystyle \alpha }

is (c) tan β β = a sec φ φ Y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi)}} \tan \alpha .\ ,}

voor de Mercator-projectie y ‘( φ ) = a sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

geeft α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

: hoeken blijven behouden. (Niet verwonderlijk, want dit is de relatie die gebruikt wordt om Mercator af te leiden). Voor de equidistante en Lambert projecties hebben we y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

en y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }

respectievelijk dus de relatie tussen α {\displaystyle \alpha }

en β {\displaystyle \beta }

hangt af van de lengte-φ {\displaystyle \varphi }

. Geef de puntschaal aan op P wanneer het infinitesimale element PQ een hoek α maakt {\displaystyle \ alpha\,}

met de meridiaan door μ α . {\displaystyle \ Mu _{\alpha }.}

het wordt gegeven door de verhouding van afstanden: μ α = lim Q → P P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → p δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P Q}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}.}

Instelling δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

en vervangen door δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

en δ y {\displaystyle \delta y}

uit vergelijkingen (a) en (b) respectievelijk geeft μ α ( φ ) = sec ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha } (\varphi) = \sec \varphi \ left.}

Voor de prognoses van andere dan Mercator moeten we eerst berekenen β {\displaystyle \beta }

van α {\displaystyle \alpha }

en φ {\displaystyle \varphi }

met vergelijking (c), voordat we kunnen vinden μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}

. De equirectangulaire projectie heeft bijvoorbeeld y ‘= a {\displaystyle y ‘= a}

zodat tan β β = sec φ φ tan α α . {\displaystyle \ tan \ beta = \ sec \ varphi \ tan \ alpha .\ ,}