Principia Mathematica

jeden z autorów zauważa, że „zapis w tej pracy został zastąpiony przez dalszy rozwój logiki w XX wieku, do tego stopnia, że początkujący ma problemy z czytaniem PM w ogóle”; podczas gdy znaczna część treści symbolicznej może być przekształcona w nowoczesną notację, sama notacja oryginalna jest „przedmiotem sporu naukowego”, a niektóre notacje „uosabiają merytoryczne doktryny logiczne, tak że nie można ich po prostu zastąpić współczesnymi doktrynami logicznymi.Symbolizm”.

Kurt Gödel ostro krytykował notację:

„należy ubolewać, że ta pierwsza kompleksowa i dokładna prezentacja logiki matematycznej i wyprowadzenia z niej matematyki tak bardzo brakuje precyzji formalnej w fundamentach (zawartych w ✸1-✸21 Principia), że stanowi pod tym względem znaczny krok wstecz w porównaniu z Frege. Brakuje przede wszystkim precyzyjnego określenia składni formalizmu. Rozważania składniowe są pomijane nawet w przypadkach, gdy są one niezbędne dla logiki dowodów”.

znajduje to odzwierciedlenie w poniższym przykładzie symboli „p”, „q”, „r” i”⊃”, które można utworzyć w łańcuch „p ⊃ q ⊃ r”. PM wymaga zdefiniowania tego, co oznacza ten ciąg symboli w kontekście innych symboli; we współczesnych metodach „reguły formacyjne” (reguły składniowe prowadzące do „dobrze uformowanych formuł”) uniemożliwiłyby powstanie tego ciągu.

źródło notacji: Rozdział I „wstępne wyjaśnienia pojęć i notacji” zaczyna się od źródła elementarnych części notacji (symbole = ⊃≡ – ΛVε i system kropek):

„zapis przyjęty w niniejszej pracy opiera się na zapisie Peano, a poniższe wyjaśnienia są w pewnym stopniu wzorowane na tych, które przedrostek do jego Formulario Mathematico . Jego użycie kropek jako nawiasów jest przyjęte, podobnie jak wiele jego symboli” (PM 1927:4).

PM zmienił Peano Ɔ na ⊃, a także przyjął kilka późniejszych symboli Peano, takich jak ι i ι, oraz praktykę obracania liter do góry nogami.

PM przyjmuje znak twierdzenia ” ⊦ „z Begriffsschrift Frege’ a z 1879 roku:

„(I)T można odczytać 'to prawda, że '”

w ten sposób do twierdzenia twierdzenia p PM pisze:

” P. ” (PM 1927:92)

(zauważ, że, jak w oryginale, lewa kropka jest kwadratowa i ma większy rozmiar niż kropka po prawej.)

większość reszty zapisu w PM została wymyślona przez Whiteheada.

wprowadzenie do notacji „Sekcja A Logika matematyczna” (wzory ✸1–✸5.71)Edycja

kropki PM są używane w sposób podobny do nawiasów. Każda kropka (lub wielokrotność kropki) reprezentuje lewy lub prawy nawias lub symbol logiczny ∧. Więcej niż jedna kropka wskazuje” głębokość „nawiasów, na przykład”.”, „: „lub”:.”, „::”. Jednak pozycja pasującego prawego lub lewego nawiasu nie jest wyraźnie wskazana w notacji, ale musi być wyprowadzona z pewnych reguł, które są złożone i czasami niejednoznaczne. Co więcej, gdy kropki oznaczają symbol logiczny∧, jego lewy i prawy operand należy wydedukować przy użyciu podobnych reguł. Najpierw trzeba zdecydować na podstawie kontekstu, czy kropki oznaczają lewy lub prawy nawias lub symbol logiczny. Następnie trzeba zdecydować, jak daleko jest drugi odpowiadający nawias: tutaj jeden prowadzi do momentu, gdy jeden spełnia albo większą liczbę punktów, lub taką samą liczbę punktów obok, które mają taką samą lub większą „siłę”, lub koniec linii. Kropki obok znaków ⊃,≡,∨, = Df mają większą siłę niż kropki obok (x), (∃x) i tak dalej, które mają większą siłę niż kropki wskazujące na iloczyn logiczny ∧.

przykład 1. Linia

✸3.4. ⊢ : p q. ⊃ . p ⊃ q

odpowiada

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

dwie kropki stojące razem bezpośrednio po znaku twierdzenia wskazują, że to, co jest twierdzeniem, to cała linia: ponieważ są dwa z nich, ich zakres jest większy niż w przypadku którejkolwiek z pojedynczych kropek po ich prawej stronie. Są one zastępowane przez lewy nawias Stojący tam, gdzie są kropki, a prawy nawias na końcu wzoru, tak więc:

⊢ (p . q. ⊃ . p ⊃ q).

(w praktyce te skrajne nawiasy, które zawierają cały wzór, są zwykle tłumione.) Pierwszy z pojedynczych kropek, Stojący pomiędzy dwiema zmiennymi propositional, reprezentuje koniunkcję. Należy do trzeciej grupy i ma najwęższy zakres. Tutaj zastępuje go współczesny symbol koniunkcji”∧”, stąd

⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).

dwie pozostałe pojedyncze kropki wybiorą główną łącznik całego wzoru. Ilustrują one użyteczność zapisu punktowego w wybraniu tych łączników, które są relatywnie ważniejsze od tych, które je otaczają. Ten po lewej stronie ” ⊃ ” jest zastąpiony przez parę nawiasów, prawy idzie tam, gdzie jest kropka, a lewy idzie tak daleko w lewo, jak to możliwe, bez przekraczania grupy kropek o większej sile, w tym przypadku dwie kropki, które podążają za znakiem twierdzenia, a więc

⊢ ((p ∧ q)⊃. p ⊃ q)

kropka po prawej stronie „⊃” jest zastępowana przez lewy nawias, który idzie tam, gdzie jest kropka, i prawy nawias, który idzie tak daleko w prawo, jak to tylko możliwe, bez wychodzenia poza zakres już ustalony przez grupę kropek o większej sile (w tym przypadku dwie kropki, które następowały po znaku twierdzenia). Tak więc prawy nawias, który zastępuje kropkę po prawej stronie”⊃”, jest umieszczony przed prawym nawiasem, który zastąpił dwie kropki po znaku twierdzenia, a więc

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

przykład 2, z podwójnymi, potrójnymi i poczwórnymi kropkami:

⊢ :: (∃x). φx . ⊃ . P:⊃:. (∃x). φx . v. r:⊃ . m w r

oznacza

((((∃x)(φx)) ⊃ (Q)) ⊃ ((((∃X) (φx)) w (p)) ⊃ (Q i R)))

w Przykładzie 3, z dwoma punktami, z podaniem logicznych znaków (z Tomu 1, s. 10):

P⊃Q:w⊃p.⊃.p⊃p

oznacza

(p⊃w) ∧ ((m⊃p)⊃(p⊃p)), gdzie dwa punkty, stanowi logiczny symbol ∧ i mogą być traktowane, jak ma wyższy priorytet, a nie logiczny punkt.

później w sekcji ✸14 pojawiają się nawiasy””, a w sekcjach ✸20 i następnych pojawiają się nawiasy klamrowe” {}”. Nie jest jasne, czy symbole te mają określone znaczenie, czy też służą jedynie wizualnemu wyjaśnieniu. Niestety pojedyncza kropka (ale także „:”, „:.”, „:: „, itd.) jest również używany do symbolizowania ” produktu logicznego „(współcześnie logicznego i często symbolizowanego przez”& „lub”∧”).

implikacja logiczna jest reprezentowana przez „Ɔ” Peano uproszczone do „⊃”, negacja logiczna jest symbolizowana przez wydłużoną tyldę, tj. „~” (współczesne „~” lub””), logiczne lub przez „v”. Symbol „=” wraz z „Df” jest używany do oznaczenia „jest zdefiniowany jako”, podczas gdy w sekcjach ✸13 i następnych „=” jest zdefiniowany jako (matematycznie) „identyczny z”, tj. współczesna matematyczna „równość” (por. dyskusja w sekcji ✸13). Równoważność logiczna jest reprezentowana przez ” ≡ „(współczesne „wtedy i tylko wtedy”);” elementarne „funkcje wnioskowe są zapisywane w sposób zwyczajowy, np.” f (p)”, ale później znak funkcji pojawia się bezpośrednio przed zmienną bez nawiasu np.” φx”,” xx ” itd.

przykład, PM wprowadza definicję „produktu logicznego” w następujący sposób:

p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.gdzie ” P. q ” jest iloczynem logicznym p i q. ✸3.02. p ⊃ q ⊃ r .=. p ⊃ q . q ⊃ r Df.Definicja ta służy jedynie skróceniu dowodów.

tłumaczenie formuł na współczesne symbole: różni autorzy używają alternatywnych symboli, więc nie można podać ostatecznego tłumaczenia. Jednak ze względu na krytykę, jak Kurt Gödel poniżej, najlepsze współczesne zabiegi będą bardzo precyzyjne w odniesieniu do” zasad formacji ” (składni) formuł.

pierwszy wzór można przekształcić we współczesną symbolikę następująco:

(p& q) =DF (~(~p v ~q))

na przemian

(p& q) =DF ((p v q))

na przemian

(p ∧ q) =df ((p v q))

itd.

drugi wzór można przekształcić w następujący sposób:

(p → q → r) =df (p → q)& (q → r)

ale zauważ, że to nie jest (logicznie) równoważne (p → (q → r)) ani ((p → q) → r), i te dwa nie są logicznie równoważne.

wprowadzenie do notacji „sekcji B teorii zmiennych pozornych” (formula_8–✸14.34) Edytuj

te sekcje dotyczą tego, co jest obecnie znane jako logika predykatu i logika predykatu z tożsamością (równością).

• NB: w wyniku krytyki i postępów, drugie wydanie PM (1927) zastępuje ✸9 nowym ✸8 (Załącznik A). Ta nowa sekcja eliminuje rozróżnienie pierwszej edycji pomiędzy zmiennymi rzeczywistymi i pozornymi oraz eliminuje „prymitywną ideę” twierdzenia funkcji wnioskującej”. Aby dodać do złożoności leczenia, ✸8 wprowadza pojęcie zastępowania „macierzy”, oraz udar Sheffera:

• macierz: We współczesnym użyciu macierz PM jest (przynajmniej dla funkcji propositional) tabelą prawdy, czyli wszystkimi wartościami prawdy funkcji propositional lub predykate.
• Sheffer stroke: jest współczesnym logicznym NAND (NOT-AND), tzn. „incompatibility”, co oznacza:

„biorąc pod uwagę dwie twierdzenia p i q, to’ p | q ’ oznacza „propozycja p jest niezgodna z propozycją q”, tzn. jeśli obie twierdzenia p I q oceniają jako prawdziwe, to i tylko wtedy p / q ocenia jako fałszywe.”Po odcinku ✸8 udar Sheffera nie widzi użycia.

Rozdział 10: egzystencjalne i uniwersalne”operatory”: PM dodaje „(x) „do reprezentowania współczesnej symboliki „dla wszystkich x”, tj.” ∀x”, i używa odwróconego e do reprezentowania” istnieje x”, tj.” (Ǝx)”, tj. współczesnego”∃x”. Typowa notacja byłaby podobna do następującej:

„(x) . φx „oznacza” dla wszystkich wartości zmiennej x, funkcja φ Zwraca wartość true „” (Ǝx).

sekcje ✸10, ✸11, ✸12: właściwości zmiennej rozszerzone na wszystkie jednostki: sekcja ✸10 wprowadza pojęcie „właściwości „”zmiennej”. PM podaje przykład: φ Jest funkcją, która wskazuje „jest greką”, a ψ oznacza „jest człowiekiem”, a χ oznacza „jest śmiertelnikiem”. funkcje te następnie odnoszą się do zmiennej x .PM może teraz pisać i oceniać:

(x). ψx

powyższy zapis oznacza „dla wszystkich x, x jest człowiekiem”. Biorąc pod uwagę zbiór jednostek, można ocenić powyższy wzór na prawdę lub FAŁSZ. Na przykład, biorąc pod uwagę ograniczony zbiór jednostek { Sokrates, Platon, Russell, Zeus } powyższe oceny są „prawdziwe”, jeśli pozwolimy, aby Zeus był człowiekiem. Ale zawodzi dla:

(x) .

bo Russell nie jest Grekiem. I zawodzi dla

(x). xx

bo Zeus nie jest śmiertelnikiem.

wyposażony w ten zapis PM może tworzyć formuły wyrażające: „jeśli wszyscy Grecy są ludźmi i jeśli wszyscy ludzie są śmiertelnikami, to wszyscy Grecy są śmiertelnikami”. (PM 1962:138)

(x) . φx ψ ψx :(x). ψx ⊃ xx :⊃: (x) . φx ⊃ xx

inny przykład: wzór:

✸10.01. (Ǝx). φx . = . ~ (x) . ~ φx Df.

oznacza, że”symbole reprezentujące twierdzenie 'istnieje co najmniej jeden x spełniający funkcję φ’ są zdefiniowane przez symbole reprezentujące twierdzenie 'nie jest prawdą, że biorąc pod uwagę wszystkie wartości X, nie ma wartości x spełniających φ'”.

symbole ⊃x i „≡x” pojawiają się w ✸10.02 i ✸10.03. Oba są skrótami uniwersalności (tzn. dla wszystkich), które wiążą zmienną x z operatorem logicznym. Współczesna notacja używałaby po prostu nawiasów poza znakiem równości ( ” = ” ):

✸10,02 φx ⊃x ψx .=. x). φx ψ ψx DF notacja współczesna: ∀x(φ(x) → ψ (x)) (Lub wariant) ✸10,03 φx ≡x ψx .=. x). φx ≡ ψx DF notacja współczesna: ∀x(φ (x) ↔ ψ (x)) (Lub wariant)

PM przypisuje Peano pierwszą symbolikę.

Sekcja ✸11 stosuje tę symbolikę do dwóch zmiennych. Tak więc następujące notacje: ⊃x, ⊃y, ⊃x, y mogą pojawić się w jednym wzorze.

Sekcja ✸12 przywraca pojęcie „macierzy” (współczesnej tablicy prawdy), pojęcie typów logicznych, a w szczególności pojęcia funkcji i twierdzeń pierwszego i drugiego rzędu.

Nowa symbolika” x ” reprezentuje dowolną wartość funkcji pierwszego rzędu. Jeśli nad zmienną umieszcza się””, to jest to” indywidualna ” wartość Y, co oznacza, że „” oznacza „jednostki” (np. wiersz w tablicy prawdy); rozróżnienie to jest konieczne ze względu na macierzową/rozszerzającą naturę funkcji wnioskujących.

teraz wyposażony w pojęcie macierzy, PM może twierdzić swój kontrowersyjny aksjomat redukowalności: funkcję jednej lub dwóch zmiennych (dwie są wystarczające do zastosowania PM), gdzie podane są wszystkie jego wartości (tj., w swojej macierzy) jest (logicznie) równoważna ( ” ≡ „) pewnej” predykatywnej ” funkcji tych samych zmiennych. Definicja jednej zmiennej jest podana poniżej jako ilustracja notacji (PM 1962:166-167):

✸12.1⊢: (Ǝ f): φx .≡x. f ! x Pp;

Pp jest „propozycją prymitywną” („propozycje zakładane bez dowodu”) (PM 1962: 12, tj. współczesne „aksjomaty”), dodając do 7 zdefiniowanych w sekcji ✸1 (zaczynając od ✸1.1 modus ponens). Należy je odróżnić od „idei prymitywnych”, które obejmują znak twierdzenia”⊢”, negację”~”, logiczne lub” V”, pojęcia” propozycja elementarna „i” funkcja propozycji elementarnej”; są one tak bliskie, jak PM dochodzi do zasad tworzenia notacji, tj. składni.

oznacza to: „twierdzę, że istnieje funkcja f o własności, która: biorąc pod uwagę wszystkie wartości x, ich oceny w funkcji φ (tj. otrzymana ich macierz) są logicznie równoważne pewnym f obliczonym przy tych samych wartościach x. (i odwrotnie, stąd równoważność logiczna)”. Innymi słowy: biorąc pod uwagę macierz określoną przez właściwość φ przyłożoną do zmiennej x, istnieje funkcja f, która po przyłożeniu do X jest logicznie równoważna macierzy. Albo: każda macierz φx może być reprezentowana przez funkcję f przyłożoną do x i odwrotnie.

✸13: operator tożsamości „=” : jest to definicja, która używa znaku na dwa różne sposoby, jak zaznaczono w cytacie z PM:

✸13.01. x = y . =: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df

oznacza:

„definicja ta mówi, że x i y mają być nazywane identycznymi, gdy każda funkcja predykatywna spełniona przez x jest również spełniona przez y … Zauważ, że drugi znak równości w powyższej definicji jest połączony z „Df”, a zatem nie jest tak naprawdę tym samym symbolem, co znak równości, który jest zdefiniowany.”

znak nie-równości ” ≠ ” pojawia się jako definicja w ✸13.02.

✸14: opisy:

„opis jest frazą postaci” termin y spełniający φŷ, gdzie φŷ jest pewną funkcją spełniającą jeden i tylko jeden argument.”

od tego PM używa się dwóch nowych symboli, przedniego „E” i odwróconego „℩”. Oto przykład:

✸14.02. E ! (℩y) (φy).= : (Ǝb): φy . ≡y . y = B Df.

ma to znaczenie:

„y spełniające φŷ Istnieje”, które utrzymuje wtedy i tylko wtedy, gdy φŷ jest spełnione przez jedną wartość y i przez żadną inną wartość.”(PM 1967:173-174)

Wprowadzenie do notacji teorii klas i relacji edytuj

tekst przeskakuje z sekcji ✸14 bezpośrednio do sekcji fundamentalnych ✸20 ogólnej teorii klas i ✸21 ogólnej teorii relacji. „Relacje” to to, co we współczesnej teorii zbiorów znane jest jako zbiory uporządkowanych par. Sekcje ✸20 i ✸22 wprowadzają wiele symboli wciąż w użyciu. Należą do nich symbole „ε”, „⊂”, „∩”, „∪”, „–”, „Λ”, oraz „v”: „ε” oznacza „jest elementem” (PM 1962:188); „⊂” (✸22.01) oznacza „jest zawarty w”, „jest podzbiorem”; ” Λ „(✸22.02) oznacza przecięcie (iloczyn logiczny) klas (zbiorów); ” ∪ „(✸22.03) oznacza związek (sumę logiczną) klas (zbiorów); ” – „(✸22.03) oznacza negację klasy (zbioru); ” Λ ” oznacza klasę zerową; A ” V ” oznacza uniwersalną klasę, czyli wszechświat dyskursu.

Małe greckie litery (inne niż „ε”, „ι”, „π”, „φ”, „ψ”, „χ” i „θ”) reprezentują klasy (np. „α”, „β”, „γ”, „δ” itp.) (PM 1962: 188):

x ε α”użycie pojedynczej litery zamiast symboli takich jak ẑ(φz) lub φ(φ ! z) jest praktycznie niemal niezastąpiony, gdyż w przeciwnym razie notacja szybko staje się nietolerancyjna. Tak więc „X ε α „oznacza” x jest członkiem klasy α””. (PM 1962:188) α ∪ – α = Vpołączenie zbioru i jego odwrotności jest zbiorem uniwersalnym (skończonym). α ∩ – α = λ przecięcie zbioru i jego odwrotność jest zbiorem zerowym (pustym).

gdy stosuje się do relacji w sekcji ✸23 rachunek relacji, Symbole „⊂”, „∩”, „∪”, i ” – ” przybierają kropkę: na przykład:”⊍”,”∸”.

pojęcie i notacja „klasy” (zbioru): w pierwszym wydaniu PM twierdzi, że żadne nowe prymitywne idee nie są konieczne do zdefiniowania tego, co oznacza „klasa”, a tylko dwie nowe „prymitywne twierdzenia” zwane aksjomatami redukowalności odpowiednio dla klas i relacji (PM 1962:25). Zanim jednak pojęcie to zostanie zdefiniowane, PM uważa, że konieczne jest stworzenie osobliwej notacji ” ẑ (φz)”, którą nazywa „fikcyjnym obiektem”. (PM 1962: 188)

⊢: x ε ẑ(φz).≡. (φx) „tzn.” x jest członkiem klasy określonej przez (φẑ) „jest równoważne” x spełnia (φẑ), ” lub ” (φx) jest prawdziwe.'”. (PM 1962:25)

przynajmniej PM może powiedzieć czytelnikowi, jak zachowują się te fikcyjne obiekty, ponieważ „klasa jest całkowicie zdeterminowana, gdy jej członkostwo jest znane, to znaczy nie może być dwóch różnych klas o tym samym członkostwie” (PM 1962:26). Jest to symbolizowane przez następującą równość (podobną do ✸13.01 powyżej:

ẑ(φz) = ψ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx ” ta ostatnia jest cechą wyróżniającą klasy i usprawiedliwia nas w traktowaniu ψ (ψz) jako klasy określonej przez ψẑ.”(PM 1962:188)

być może powyższe można wyjaśnić omówieniem klas we wstępie do wydania drugiego, które usuwa aksjomat Redukowalności i zastępuje go pojęciem:” wszystkie funkcje Funkcji są rozciągliwe ” (PM 1962:xxxix), tj.

φx ≡x ψx .⊃. (x): ƒ(φẑ) ≡ ƒ (ψẑ) (PM 1962:xxxix)

ma to sensowne znaczenie, że „jeśli dla wszystkich wartości x prawdy wartości funkcji φ i ψ X są równoważne, to funkcja ƒ danego φẑ i ƒ ψẑ są równoważne.”PM twierdzi, że to jest”oczywiste”:

” To jest oczywiste, ponieważ φ może wystąpić tylko w ƒ(φẑ) przez podstawienie wartości φ dla p, q, r, … w funkcji, a jeśli φx ≡ ψx, podstawienie φx dla p w funkcji daje taką samą wartość prawdy do funkcji prawdy jak podstawienie ψx. W związku z tym nie ma już powodu do rozróżniania klas funkcji, ponieważ mamy, na mocy powyższego, φx ≡x ψx .⊃. x). φẑ = . ψẑ”.

Obserwuj zmianę znaku równości „=” po prawej. PM przechodzi dalej do stanu, który będzie nadal trzymał się notacji ” ẑ (φz)”, ale jest to po prostu odpowiednik φẑ i jest to klasa. (wszystkie cytaty: PM 1962: xxxix).