jak udowodnił Gauss ’ s Theorema Egregium, kula (lub elipsoida) nie może być rzutowana na płaszczyznę bez zniekształceń. Często ilustruje to niemożność wygładzenia skórki pomarańczowej na płaskiej powierzchni bez jej rozdarcia i deformacji. Jedyną prawdziwą reprezentacją sfery w stałej skali jest inna sfera, np. glob.
biorąc pod uwagę ograniczony praktyczny rozmiar globusów, musimy użyć map do szczegółowego mapowania. Mapy wymagają rzutów. Projekcja implikuje zniekształcenia: Stała separacja na mapie nie odpowiada stałej separacji na ziemi. Podczas gdy mapa może wyświetlać graficzną skalę słupkową, skala musi być używana ze zrozumieniem, że będzie dokładna tylko na niektórych liniach mapy. (Jest to omówione szerzej w przykładach w poniższych sekcjach.)
niech P będzie punktem szerokości φ {\displaystyle \varphi}
I długości λ {\displaystyle \lambda}
na kuli (lub elipsoidzie). Niech Q będzie sąsiadującym punktem i niech α {\displaystyle \ alpha}
będzie kątem między elementem PQ a południkiem w P: kąt ten jest kątem azymutu elementu PQ. Niech P 'I Q’ będą odpowiednimi punktami na projekcji. Kąt między kierunkiem P ’ Q 'A rzutem południka jest łożyskiem β {\displaystyle \ beta}
. Ogólnie α ≠ β {\displaystyle \ alpha \neq \ beta}
. Komentarz: to precyzyjne rozróżnienie między azymutem (na powierzchni Ziemi) a łożyskiem (na mapie) nie jest powszechnie obserwowane, wielu pisarzy używa tych terminów niemal zamiennie.
definicja: skala punktowa na P jest stosunkiem dwóch odległości P ’ Q ’ i PQ w granicy, którą Q zbliża się do P. Zapisujemy to jako
μ ( λ , φ , α ) = lim Q → P P P ’ Q 'P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\TO P}{\frac {P’Q’} {PQ}},}
gdzie zapis wskazuje, że skala punktowa jest funkcją położenia p, a także kierunku elementu PQ.
definicja: jeśli P I Q leżą na tym samym południku ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}
, skala południka jest oznaczona przez H ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}
.
definicja: jeśli P I Q leżą na tym samym równoleżniku ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}
, skala równoległa jest oznaczona przez k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}
.
definicja: jeśli skala punktowa zależy tylko od pozycji, a nie od kierunku, mówimy , że jest izotropowa i konwencjonalnie oznaczamy jej wartość w dowolnym kierunku współczynnikiem skali równoległej k ( λ, φ ) {\displaystyle k(\lambda, \varphi )}
.
definicja: rzut mapy jest uważany za konformalny, jeśli kąt między parą linii przecinających się w punkcie P jest taki sam jak kąt między rzutowanymi liniami w rzutowanym punkcie P’, dla wszystkich par linii przecinających się w punkcie P. Mapa konformalna ma izotropowy współczynnik skali. Natomiast izotropowe czynniki skali na mapie implikują projekcję konformalną.
Izotropia skali oznacza, że małe elementy są rozciągnięte równo we wszystkich kierunkach, czyli kształt małego elementu jest zachowany. Jest to własność ortomorfizmu (z greckiego „prawy kształt”). Kwalifikacja „mała”oznacza, że przy określonej dokładności pomiaru nie można wykryć żadnej zmiany współczynnika skali nad elementem. Ponieważ rzuty konforemne mają współczynnik skali izotropowej, nazywane są również rzutami ortomorficznymi. Na przykład rzut Mercatora jest konformalny, ponieważ jest skonstruowany w celu zachowania kątów, a jego współczynnik skalarny jest izotopowy, funkcja tylko szerokości geograficznej: Mercator zachowuje kształt w małych regionach.
definicja: w projekcji konforemnej ze skalą izotropową punkty, które mają tę samą wartość skali, mogą być łączone w postaci linii izoskali. Nie są one wykreślane na mapach dla użytkowników końcowych, ale występują w wielu standardowych tekstach. (Zob. Snyder strony 203-206.)
ułamek reprezentatywny (RF) lub skala zasadnicza
istnieją dwie konwencje stosowane przy ustalaniu równań dowolnego rzutowania. Na przykład, równokątny rzut Cylindryczny może być zapisany jako
kartografy: x = a λ {\displaystyle X=a\lambda }
y = a φ {\displaystyle y=a\varphi }
: x = λ {\displaystyle X=\lambda }
y = φ {\displaystyle y=\varphi }
tutaj przyjmiemy pierwszą z tych konwencji (PO wykorzystanie w ankietach przez Snydera). WyraĹşnie powyĺľsze răłwnania rzutowe definiujÄ … pozycje na ogromnym cylindrze owiniÄ ™ tym wokóŠ’ ziemi i potem rozwiniÄ ™ tym. Mówimy, że te współrzędne definiują mapę projekcji, którą należy logicznie odróżnić od rzeczywistych wydrukowanych (lub oglądanych) map. Jeśli definicja skali punktowej w poprzedniej sekcji jest w kategoriach mapy rzutowej, to możemy spodziewać się, że współczynniki skali będą zbliżone do jedności. Dla normalnych stycznych rzutów cylindrycznych skala wzdłuż równika wynosi k=1 i ogólnie skala zmienia się w miarę oddalania się od równika. Analiza skali na mapie projekcyjnej jest badaniem zmiany k od jego rzeczywistej wartości jedności.
rzeczywiste wydrukowane mapy są produkowane z mapy projekcyjnej przez stałe skalowanie oznaczone stosunkiem takim jak 1:100m (dla map całego świata) lub 1:10000 (dla takich jak plany miast). Aby uniknąć nieporozumień w użyciu słowa „skala”, frakcja stała nazywana jest frakcją reprezentatywną (RF) wydrukowanej Mapy i należy ją utożsamiać ze współczynnikiem wydrukowanym na mapie. Rzeczywiste wydrukowane współrzędne mapy dla równobocznej projekcji cylindrycznej to
wydrukowana Mapa: x = ( R F ) A λ {\displaystyle X=(RF)a\lambda }
y = ( R F ) A φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }
ta konwencja pozwala na wyraźne rozróżnienie wewnętrznego skalowania projekcyjnego i skalowania redukcyjnego.
od tego momentu ignorujemy RF i pracujemy z mapą projekcji.
Wizualizacja skali punktowej: Tissot indicatrixEdit
rozważmy mały okrąg na powierzchni Ziemi wyśrodkowany w punkcie P na szerokości φ {\displaystyle \varphi }
I Długość geograficzna λ {\displaystyle \lambda }
. Ponieważ skala punktowa zmienia się w zależności od położenia i kierunku, rzut okręgu na rzut będzie zniekształcony. Tissot udowodnił, że dopóki zniekształcenia nie będą zbyt duże, okrąg na projekcji stanie się elipsą. Ogólnie rzecz biorąc, wymiar, kształt i orientacja elipsy zmieni się w trakcie projekcji. Nałożenie tych zniekształceń na rzut mapy pokazuje sposób, w jaki skala punktowa zmienia się na mapie. Elipsa zniekształcenia jest znana jako indicatrix Tissota. Pokazany tutaj przykład to projekcja Tripela Winkela, standardowa projekcja map świata opracowana przez National Geographic Society. Minimalne zniekształcenie występuje na środkowym południku na szerokościach geograficznych 30 stopni (północ i południe). (Inne przykłady).
skala punktowa dla normalnych cylindrycznych rzutów sfery
kluczem do ilościowego zrozumienia skali jest rozważenie nieskończenie małego elementu na kuli. Rysunek pokazuje punkt P na szerokości φ {\displaystyle \varphi }
I długości λ {\displaystyle \lambda }
na sferze. Punkt Q znajduje się na szerokości geograficznej φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\Delta \varfi }
I długości geograficznej λ + δ λ {\styl wyświetlania \lambda +\Delta \lambda }
. Linie PK i mq są łukami południków o długości a δ φ {\displaystyle A\,\delta \varphi }
gdzie A {\displaystyle a}
jest promień kuli i φ {\displaystyle \varphi }
jest miarą radianową. Linie PM i KQ są łukami równoległych okręgów długości ( a cos φ ) δ λ {\displaystyle (A\cos \varphi )\delta \lambda }
z λ {\displaystyle \lambda }
w miarze radian. W wyprowadzeniu własności punktu rzutu na P wystarczy wziąć nieskończenie mały element PMQK powierzchni: w granicy Q zbliżającej się do P taki element ma tendencję do nieskończenie małego prostokąta płaskiego.
normalne rzuty cylindryczne kuli mają X = a λ {\displaystyle X=a\lambda }
I y {\displaystyle y}
równe funkcji tylko szerokości geograficznej. Dlatego element infinitesimal PMQK na kuli rzutuje na infinitesimal element P’ Q 'K’, który jest dokładnym prostokątem o podstawie δ x = A δ λ {\displaystyle \delta X=a\,\delta \lambda }
i wysokości δ y {\displaystyle \delta y}
. Porównując elementy na sferze i rzutach możemy od razu wywnioskować wyrażenia dla współczynników skali na paralelach i meridianach. (Traktowanie skali w ogólnym kierunku można znaleźć poniżej.) parallel scale factor k = δ x cos φ δ λ = sec φ {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\s \varphi \qquad \qquad {}}
meridian scale factor h = δ i δ φ = i '( φ), a {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}
zauważ, że współczynnik skali równoległej k = sec φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
jest niezależny od definicji y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}
więc jest taki sam dla wszystkich normalnych projekcji cylindrycznych. Warto zauważyć, że na szerokości 30 stopni skala równoległa wynosi k = sec 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k = \ sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}
na szerokości geograficznej 45 stopni równolegle do osi jest równy K = s 45 ∘ = 2 = 1.414 {\właściwości wyświetlania stylu wartość=\s 45^{\n }={\funkcja sqrt {2}}=1.414}
na szerokości 60 stopni równoległe do osi jest równy K = s 60 ∘ = 2 {\właściwości wyświetlania stylu wartość=\s 60^{\n }=2}
na szerokości 80 stopni równoległe do osi jest równy K = s 80 ∘ = 5.76 {\właściwości wyświetlania stylu wartość=\s 80^{\n }=5.76}
przy 85 stopniach szerokości geograficznej równoległa skala to k = sec 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}
poniższe przykłady ilustrują trzy normalne projekcje cylindryczne i w każdym przypadku zmianę skali o pozycji kierunek ilustruje zastosowanie wskaźnika Tissot.
trzy przykłady normalnego rzutu cylindrycznegoedytuj
projekcja równorzędnaedytuj
projekcja equirectangular, znana również jako Plate Carrée (po francusku „płaski kwadrat”) lub (nieco myląco) projekcja equidistant, jest zdefiniowana przez
X = a λ , {\displaystyle X=a\lambda,}
y = a φ , {\displaystyle y=a\varphi,}
gdzie A {\displaystyle A}
jest promieniem kuli, λ {\displaystyle \lambda }
jest długością geograficzną od środkowego południka projekcji (tutaj wzięta jako południk Greenwich przy λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}
) i φ {\displaystyle \varphi }
to szerokość geograficzna. Należy zauważyć, że λ {\displaystyle \lambda }
I φ {\displaystyle \varphi }
są w radianach (otrzymane przez pomnożenie miary stopnia przez współczynnik π {\displaystyle \pi }
/180). Długość geograficzna λ {\displaystyle \lambda }
znajduje się w zakresie {\displaystyle }
i szerokość φ {\displaystyle \varphi }
znajduje się w zakresie {\displaystyle }
.
od y'(φ ) = 1 {\displaystyle y ’ (\varphi )=1}
poprzednia sekcja daje skalę równoległą, k = δ x A cos φ δ λ = s φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{A\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
skala południka h = δ y a δ φ = 1 {\displaystyle \Quad H\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}
aby obliczyć skalę punktową w dowolnym kierunku, patrz dodatek.
rysunek ilustruje wskaźnik Tissot dla tej projekcji. Na równiku h=k=1 i pierwiastki kołowe są niezakłócone na przecięciu. Na wyższych szerokościach geograficznych okręgi są zniekształcone w elipsę daną przez rozciąganie tylko w kierunku równoległym: nie ma zniekształcenia w kierunku południka. Stosunek osi głównej do osi mniejszej wynosi sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi }
. Wyraźnie pole elipsy zwiększa się o ten sam czynnik.
pouczające jest rozważenie zastosowania skal barowych, które mogą pojawić się na drukowanej wersji tej projekcji. Skala jest prawdziwa (k=1) na równiku, więc pomnożenie jej długości na wydrukowanej mapie przez odwrotność RF (lub skali głównej) daje rzeczywisty obwód Ziemi. Skala słupkowa na mapie jest również rysowana w prawdziwej skali, tak że przeniesienie separacji między dwoma punktami na równiku do skali słupkowej da prawidłową odległość między tymi punktami. To samo dotyczy meridianów. Na równoleżniku innym niż równik skala ma wartość sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
więc kiedy przenosimy separację od równoleżnika do skali słupkowej, musimy podzielić odległość skali słupkowej przez ten współczynnik, aby uzyskać odległość między punktami mierzonymi wzdłuż równoleżnika (co nie jest prawdziwą odległością wzdłuż Wielkiego okręgu). Na linii przy łożysku powiedzmy 45 stopni ( β = 45 ∘ {\displaystyle \beta =45^{\circ }}
) skala jest stale zmienna w zależności od szerokości geograficznej i przeniesienie separacji wzdłuż linii na skalę słupkową nie daje w żaden prosty sposób odległości związanej z rzeczywistą odległością. (Ale patrz dodatek). Nawet jeśli moglibyśmy obliczyć odległość wzdłuż tej linii stałej noszącej jej znaczenie, jest to wątpliwe, ponieważ taka linia na rzucie odpowiada skomplikowanej krzywej na kuli. Z tego powodu wagi słupkowe na mapach o małej skali muszą być stosowane z najwyższą ostrożnością.
Mercator projectionEdit
rzut Mercatora odwzorowuje sferę na prostokąt (o nieskończonym zakresie w y {\displaystyle y}
-kierunek) za pomocą równań X = a λ {\displaystyle X=a\lambda \,}
y = a LN {\displaystyle y=a\LN \left}
gdzie a, λ {\displaystyle \lambda \,}
i φ {\displaystyle \varphi \,}
are as in the previous example. Since I'(φ ) = a sec φ φ {\displaystyle i'(\varphi )=a\sec \varphi }
the scale factors are: parallel scale k = x A cos φ φ δ λ = sec φ φ . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{A \ cos \ varphi\, \ delta \ lambda\,}}=\, \ sec \ varphi .}
Skala południka h = δ i δ φ = sec φ φ . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\Delta i}{a\, \ delta \ varphi\,}}=\, \ sec \ varphi .}
w dodatku matematycznym pokazano, że skala punktowa w dowolnym kierunku jest również równa sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
więc skala jest izotropowa (taka sama we wszystkich kierunkach), jej wielkość wzrasta wraz z szerokością geograficzną jako sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
. Na diagramie Tissota każdy nieskończenie okrągły element zachowuje swój kształt, ale jest powiększany coraz bardziej wraz ze wzrostem szerokości geograficznej.
projekcja powierzchni równej Lamberta
projekcja powierzchni równej Lamberta odwzorowuje sferę na skończoną prostokąt według równań
x = a λ y = a sin φ φ {\displaystyle X=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }
gdzie a, λ {\displaystyle \lambda
and φ {\displaystyle \varphi }
are as in the previous example. Since y '( φ ) = cos φ {\im umożliwić firmy ляемые standardowe i'(\varphi )=\cos \varphi }
the scale factors are parallel scale k = δ x cos φ δ λ = sec φ {\im umożliwić firmy ляемые standardowymi \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\s \varphi \qquad \qquad {}}
skala południka h = δ y a δ φ = cos φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }
obliczenie skali punktowej w dowolnym kierunku podano poniżej.
pionowe i poziome skale kompensują się teraz wzajemnie (hk=1) i na diagramie Tissota każdy nieskończenie mały element kołowy jest zniekształcony w elipsę o tym samym obszarze, co niezakłócone okręgi na równiku.
wykresy współczynników skalyedytuj
wykres przedstawia zmienność współczynników skali dla powyższych trzech przykładów. Górny wykres pokazuje funkcję izotropowej skali Merkatora: skala na równoleżniku jest taka sama jak skala na południku. Pozostałe wykresy pokazują współczynnik skali południka dla projekcji Równokątnej (h=1) i dla projekcji równej powierzchni Lamberta. Te dwa ostatnie rzuty mają równoległą skalę identyczną z skalą Merkatora. Dla Lamberta należy zauważyć, że skala równoległa (jako Merkator A) zwiększa się wraz z szerokością geograficzną, a skala południkowa (C) zmniejsza się wraz z szerokością geograficzną w taki sposób, że hk=1, gwarantując ochronę obszaru.
zmiana skali na rzut Merkatora
skala punktu Merkatora jest jednością na równiku, ponieważ jest taka, że cylinder pomocniczy użyty w jego konstrukcji jest styczny do ziemi na równiku. Z tego powodu zwykły rzut powinien być nazywany rzutem stycznym. Skala różni się od szerokości geograficznej jako K=sec φ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
. Ponieważ sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi}
dąży do nieskończoności, gdy zbliżamy się do biegunów, Mapa Mercatora jest rażąco zniekształcona na dużych szerokościach geograficznych i z tego powodu projekcja jest całkowicie nieodpowiednia dla map świata (chyba że omawiamy nawigację i loksodromy). Jednak na szerokości geograficznej około 25 stopni wartość sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi }
wynosi około 1.1 tak więc Mercator jest dokładny z dokładnością do 10% W pasie o szerokości 50 stopni pośrodku równika. Węższe paski są lepsze: pasek o szerokości 16 stopni (wyśrodkowany na równiku) jest dokładny w granicach 1% lub 1 część na 100.
standardowym kryterium dla dobrych map wielkoskalowych jest to, że dokładność powinna wynosić 4 części na 10 000, czyli 0,04%, co odpowiada k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}
. Ponieważ sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi}
osiąga tę wartość przy φ = 1.62 {\displaystyle \varphi =1.62}
stopni (patrz rysunek poniżej, czerwona linia). W związku z tym rzut Mercatora stycznego jest bardzo dokładny w pasie o szerokości 3,24 stopnia położonym na równiku. Odpowiada To odległości północ-południe około 360 km (220 mil). W tym pasku Mercator jest bardzo dobry, bardzo dokładny i zachowuje kształt, ponieważ jest konformalny (zachowanie kąta). Obserwacje te skłoniły do opracowania poprzecznych rzutów Merkatora, w których południk jest traktowany „jak równik” projekcji, dzięki czemu otrzymujemy dokładną mapę w niewielkiej odległości od tego południka. Takie mapy są dobre dla krajów wyrównanych prawie północ-południe (jak Wielka Brytania) i zestaw 60 takich map jest używany do Universal Transverse Mercator (UTM). Zauważ, że w obu tych rzutach (które są oparte na różnych elipsoidach) równania transformacji dla x i y oraz wyrażenie dla współczynnika skali są skomplikowanymi funkcjami zarówno szerokości, jak i długości geograficznej.
Projekcjeedit
podstawową ideą projekcji secant jest to, że kula jest rzutowana na cylinder, który przecina kulę przy dwóch równoległościach, powiedzmy φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
północ i południe. Oczywiście skala jest teraz prawdziwa na tych szerokościach geograficznych, podczas gdy równoległości pod tymi szerokościami są kurczone przez rzutowanie, a ich (równoległy) współczynnik skali musi być mniejszy niż jeden. W rezultacie odchylenie skali od jedności jest zmniejszane w szerszym zakresie szerokości geograficznych.
jako przykład, jedna z możliwych projekcji Merkatora sekantowego jest zdefiniowana przez
x = 0,9996 a λ y = 0,9996 a LN ( tan ( π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x = 0.9996 a\lambda \ qquad \ qquad y = 0.9996 a\LN \ left (\tan \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}
mnożniki liczbowe nie zmieniają kształtu rzutu, ale oznacza to, że współczynniki skali są modyfikowane:
secant Mercator scale, k = 0.9996 sec φ φ . {\displaystyle \ quad k\;=0.9996\sec \varphi .}
zatem
- skala na równiku wynosi 0,9996,
- skala wynosi k = 1 na szerokości geograficznej określonej przez φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
gdzie s φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}
więc φ 1 = 1,62 {\displaystyle \varphi _{1}=1,62}
stopni,
k=1,0004 na szerokości geograficznej φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} ustawia sekundy φ2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\styl wyświetlania \s \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}
do którego φ 2 = 2,29 wsparcie ma {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}
Dlatego projekcja ma 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}
, to jest dokładność 0.04%, na szerszym pasku 4.58 stopni (w porównaniu z 3.24 stopni dla postaci stycznej).
ilustruje to dolna (Zielona) krzywa na rysunku poprzedniej sekcji.
takie wąskie strefy o wysokiej dokładności są używane w projekcji UTM i brytyjskiego OSGB, z których oba są sekantem, poprzecznym Merkatorem na elipsoidzie ze skalą na stałej południka centralnego w k 0 = 0,9996 {\displaystyle k_{0}=0,9996}
. Linie izoskalowe O k=1 {\displaystyle k=1}
są lekko zakrzywionymi liniami około 180 km na wschód i zachód od środkowego południka. Maksymalna wartość współczynnika skali wynosi 1,001 dla UTM i 1,0007 dla OSGB.
linie skali jednostkowej na szerokości φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
(północ i południe), gdzie cylindryczna powierzchnia projekcyjna przecina sferę, są standardowymi równoległościami projekcji secant.
podczas gdy wąskie pasmo z | k − 1 | <0.0004 {\displaystyle |k-1|< 0.0004}
jest ważne dla mapowania o wysokiej dokładności na dużą skalę, dla map świata znacznie szersze standardowe równoległości są używane do kontrolowania zmiany skali. Przykłady to
- Behrmann ze standardowymi parallelami w 30N, 30S.
- Gall równy obszar ze standardowymi parallelami w 45N, 45S.
wykresy skali dla tych ostatnich są przedstawione poniżej w porównaniu z współczynnikami skali równej powierzchni Lamberta. W tym ostatnim równik jest pojedynczym równoległym standardowym, a skala równoległa zwiększa się od k=1, aby skompensować spadek skali południka. Dla Galla skala równoległa jest zmniejszona na równiku (do k = 0,707), natomiast skala południkowa jest zwiększona (do k=1,414). Powoduje to poważne zniekształcenie kształtu w projekcji Gall-Petersa. (Na kuli ziemskiej Afryka jest tak długa, jak szeroka). Zauważ, że południk i równoległe łuski są jednością na standardowych równoległobokach.
Mathematical addendumEdit
dla normalnych rzutów cylindrycznych geometria elementów infinitezymalnych daje
(a) tan α = a cos φ φ δ λ a δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \Alpha ={\frac {A\cos \varphi \,\Delta \lambda }{a\,\delta \varphi}},}
(b) tan β β = δ x δ y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text {(b)}} \quad \tan\beta ={\frac{\delta X} {\delta y}}={\frac {a\, \delta\lambda} {\delta y}}.}
zależność między kątami β {\displaystyle \beta}
I α {\displaystyle \alpha}
wynosi (C) tan β β = a sec φ φ y ’ ( φ ) tan α . {\displaystyle {\text {(c)}} \quad \tan\beta ={\frac{a \sec\varphi} {y'(\varphi)}} \tan \ alpha .\,}
dla projekcji Mercatora y '( φ ) = a sec φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }
dając α = β {\displaystyle \alpha =\beta }
: kąty są zachowane. (Trudno się dziwić, ponieważ jest to relacja używana do wyprowadzenia Mercatora). Dla projekcji równo oddalonych i Lamberta mamy y '( φ ) = A {\displaystyle y'(\varphi )=a}
I y '( φ ) = a cos φ {\displaystyle y'(\varphi )=A\cos \varphi }
tak więc związek między α {\displaystyle \Alpha }
i β {\displaystyle \beta }
zależy od szerokości φ {\displaystyle \varphi }
. Oznacz skalę punktową w punkcie P, gdy infinitezymalny element PQ tworzy kąt α {\displaystyle \ alpha \,}
z południkiem μ α . {\displaystyle \ mu _ {\alpha }.}
otrzymuje się ją przez stosunek odległości: μ α = lim Q → P P ’ Q ’ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ δ λ 2 . {\niż podane standardowo \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P’Q’} {PQ}}=\lim _{Q\TO P}{\frac {\sqrt {\delta X^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\Delta \lambda ^{2}}}}.}
ustawienie δ x = A δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda}
i zastąpienie δ φ {\displaystyle \delta \varphi}
I δ y {\displaystyle \Delta y}
z równań (a) i (B) odpowiednio daje μ α ( φ ) = sec φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha} (\varphi) =\sec \varphi \ left.}
dla projekcji innych niż Mercator musimy najpierw obliczyć β {\displaystyle \beta }
z α {\displaystyle \alpha }
I φ {\displaystyle \varphi }
używając równania (c), zanim znajdziemy μ α {\displaystyle \Mu _{\Alpha }}
. Na przykład, projekcja rów-kątowa ma Y '= a {\displaystyle y ’ = a}
tak, że tan β β = sec φ φ tan α α . {\displaystyle \tan \ beta =\sec \varphi \tan \alpha .\ ,}
