Um autor observa que “A notação em que o trabalho tem sido substituída pela subseqüente desenvolvimento da lógica durante o século 20, na medida em que o aluno tem dificuldade de leitura PM em tudo”; enquanto a maior parte do conteúdo simbólico podem ser convertidos para a notação moderna, a notação original em si é “um assunto de trabalhos acadêmicos disputa”, e alguns notação “incorpora substantivo lógica doutrinas, de modo que ele não pode ser simplesmente substituído pelo contemporânea simbolismo”.
Kurt Gödel foi duramente crítico da notação:
“é de lamentar que este primeiro abrangente e completo-indo de apresentação de uma lógica matemática e a derivação de matemática a partir de que tanto falta em apuro formal nas fundações (contido no ✸1–✸21 de Principia ) que ele representa neste contexto um importante passo para trás em comparação com Frege. O que falta, acima de tudo, é uma afirmação precisa da sintaxe do formalismo. Considerações sintáticas são omitidas mesmo nos casos em que são necessárias para a cogência das provas”. isto é refletido no exemplo abaixo dos símbolos “p”,” q”,” r ” e ” ⊃ “que podem ser formados na cadeia”p ⊃ q ⊃ r”. PM requer uma definição do que esta cadeia de símbolos significa em termos de outros símbolos; em tratamentos contemporâneos as “regras de formação” (regras sintáticas que levam a “fórmulas bem formadas”) teriam impedido a formação desta cadeia.
fonte da notação: O Capítulo i “explicações preliminares de ideias e anotações” começa com a fonte das partes elementares da notação (os símbolos = ⊃ ≡ −λvε e o sistema de pontos):
” the notation adopted in the present work is based on that of Peano, and the following explanations are to some extent modeled on those which he prefixes to his Formulario Mathematico . Seu uso de pontos como parênteses é adotado, assim como muitos de seus símbolos” (PM 1927:4). PM mudou O Ɔ de Peano para⊃, e também adotou alguns dos símbolos posteriores de Peano, como ℩ e ι, e a prática de Peano de virar cartas de cabeça para baixo.
PM adota o sinal de asserção “⊦” de 1879 Begriffsschrift de Frege:
” (I) t pode ser lido ‘é verdade que ‘”
assim para afirmar uma proposição p PM escreve:
“⊦. p. ” (pm 1927:92)
(Observe que, como no original, o ponto esquerdo é quadrado e de maior tamanho do que o período à direita.)
A maior parte do resto da notação em PM foi inventada por Whitehead.
An introduction to the notation of “Section A Mathematical Logic” (formulas ✸1–✸5.71)Edit
PM ‘s dots are used in a manner similar to parentheses. Cada ponto (ou ponto múltiplo) representa um parêntesis esquerdo ou direito ou o símbolo lógico ∧. Mais de um ponto indica a ” profundidade “dos parênteses, por exemplo,”.”, “: “ou”:.”, “::”. No entanto, a posição do parêntesis direito ou esquerdo correspondente não é indicada explicitamente na notação, mas tem de ser deduzida de algumas regras que são complexas e, por vezes, ambíguas. Além disso, quando os pontos representam um símbolo lógico ∧ seus operandos esquerdo e direito têm de ser deduzidos usando regras semelhantes. O primeiro tem que decidir com base no contexto se os pontos representam um parêntesis esquerdo ou direito ou um símbolo lógico. Então um tem que decidir até que ponto o outro parêntesis correspondente é: aqui se segue até que se encontra um maior número de pontos, ou o mesmo número de pontos a seguir que têm igual ou maior “força”, ou o fim da linha. Dots next to the signs ⊃,≡,∨, = DF have greater force than dots next to (x), (∃x) and so on, which have greater force than dots indicating a logical product ∧.exemplo 1. A linha
3.4 3.4. 9 . q. ⊃ . p ⊃ q
corresponde a
. ((p ∧ q). (p ⊃ q)).
os dois pontos que estão juntos imediatamente após o sinal de asserção indicam que o que é afirmado é a linha inteira: uma vez que há dois deles, seu escopo é maior do que o de qualquer um dos pontos únicos à sua direita. Eles são substituídos por um parêntesis esquerdo onde os pontos estão e um parêntesis direito no final da fórmula, assim:
⊢ (p . q. ⊃ . p ⊃ q).
(na prática, estes parênteses exteriores, que envolvem uma fórmula inteira, são geralmente suprimidos. O primeiro dos pontos simples, de pé entre duas variáveis proposicionais, representa conjunção. Pertence ao terceiro grupo e tem o âmbito mais estreito. Aqui é substituído pelo símbolo moderno da conjunção”∧”, assim
⊢ (p ∧ q. ⊃ . p ⊃ q).
os dois pontos restantes escolhem o conectivo principal de toda a fórmula. Eles ilustram a utilidade da notação de ponto em escolher os conectivos que são relativamente mais importantes do que aqueles que os cercam. O jogador à esquerda do “⊃” é substituído por um par de parênteses, o direito de um vai onde o ponto e o da esquerda vai tão longe para a esquerda, pode sem travessia de um grupo de pontos de força maior, neste caso, os dois pontos que seguem o asserção-assinar, assim
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)
O ponto para a direita do “⊃” é substituído por um parêntese à esquerda que vai para onde o ponto e um parêntese direito que vai tão longe para a direita como ele pode sem ir além do escopo já estabelecida por um grupo de pontos de força maior (neste caso, os dois pontos que se seguiu a declaração-entrada). Assim, o parêntesis direito que substitui o ponto à direita do “⊃” é colocado na frente do parêntesis direito que substituiu os dois pontos após o sinal de asserção, assim
⊢ ((p ∧ q). (p ⊃ q))).
Exemplo 2, com pontos duplos, triplos e quádruplos:
✸9. 521. ⊢ :: (∃x). φx . ⊃ . p:⊃:. (∃x). φx . v. r:⊃ . q v r
significa
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Exemplo 3, com um ponto duplo, indicando uma lógica símbolo (a partir do volume 1, página 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
significa
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
quando o duplo ponto representa a lógica símbolo ∧ e pode ser visto como tendo a maior prioridade como um não-lógico único ponto.
Mais tarde, na secção ✸14, parênteses “” aparecem, e nas secções ✸20 e seguintes, suspensórios “{ }” aparecem. Não é claro se estes símbolos têm significados específicos ou são apenas para clarificação visual. Infelizmente o ponto único (mas também”:”,”:.”, “::”, etc.) é também usado para simbolizar ” produto lógico “(contemporâneo lógico e muitas vezes simbolizado por”& “ou”∧”).
implicação lógica é representada por “Ɔ” de Peano simplificado para”⊃”, negação lógica é simbolizada por um tilde alongado, ou seja, ” ~ “(contemporâneo ” ~ “ou””), o lógico ou por”v”. O símbolo “=” junto com ” Df “é usado para indicar “é definido como”, enquanto que nas seções ✸13 e seguintes, ” = ” é definido como (matematicamente)” idêntico com”, ou seja,” igualdade ” matemática contemporânea (cf. discussão na secção ✸13). A equivalência lógica é representada por ” ≡ “(contemporâneo “se e somente se”); funções proposicionais “elementares” são escritas da maneira habitual, por exemplo, “f(p)”, mas mais tarde o sinal da função aparece diretamente antes da variável sem parêntesis, por exemplo, “φx”, “xx”, etc.exemplo, PM introduz a definição de “produto lógico” da seguinte forma::3, 01. p. q.=. ~(~p v ~q) Df.onde ” P. q ” é o produto lógico de P e Q. ✸3.02. p ⊃ q r R.=. p ⊃ q. q r r Df.Esta definição serve apenas para abreviar provas.
tradução das fórmulas em símbolos contemporâneos: vários autores usam símbolos alternativos, então nenhuma tradução definitiva pode ser dada. No entanto, devido a críticas como a de Kurt Gödel abaixo, os melhores tratamentos contemporâneos serão muito precisos em relação às” regras de formação ” (a sintaxe) das fórmulas.
A primeira fórmula pode ser convertida em simbolismo moderno da seguinte forma::
(p & q) =df (~(~p v ~q))
alternadamente
(p & q) =df ((p v q))
alternadamente
(p ∧ q) =df ((p v q))
, etc.
A segunda fórmula pode ser convertido da seguinte forma:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Mas note que esta não é (logicamente) equivalente a (p → (q → r)) nem a ((p → q) → r), e esses dois não são logicamente equivalentes de qualquer um.
An introduction to the notation of “Section B Theory of Apparent Variables” (formulas ✸8 -. 14.34) Edit
estas seções dizem respeito ao que agora é conhecido como lógica de predicados, e lógica de predicados com identidade (igualdade).
- NB: como resultado de críticas e avanços, a segunda edição de PM (1927) substitui ✸9 por um novo ✸8 (Apêndice A). Esta nova seção elimina a distinção da primeira edição entre variáveis reais e aparentes, e elimina “a idéia primitiva ‘asserção de uma função proposicional’. Para adicionar à complexidade do tratamento, ✸8 introduz a noção de substituir uma “matriz” , e o traço Sheffer:
- matriz: No uso contemporâneo, a matriz de PM é (pelo menos para funções proposicionais), uma tabela verdade, ou seja, todos os valores de verdade de uma função proposicional ou predicada.stroke de Sheffer: é a NAND lógica contemporânea (não-e), ou seja, “incompatibilidade”, significando:
“dadas duas proposições P E q, então’ p | q ‘ significa “proposição p é incompatível com proposição q”, ou seja, se ambas proposições P E q avaliam como verdadeiro, então e somente então p | q avalia como falso.”Após a seção ✸8, O Golpe Sheffer não vê uso.
secção ✸10: Os”operadores” existenciais e universais: PM adiciona “(x)” para representar o contemporâneo simbolismo “para todo x” por exemplo, “∀x”, e utiliza-os para trás um serifed E para representar “existe um x”, i.é., “(Ǝx)”, i.é., o contemporâneo “∃x”. A notação típica seria semelhante ao seguinte:
” (x). φx “significa” para todos os valores da variável x, a função φ avalia como verdadeira “” (Ǝx) . φx “means” for some value of variable x, function φ evaluates to true “
Sections ✸10, ✸11, 12 12: Properties of a variable extended to all individuals: section ✸10 introduces the notion of “a property” of a “variable”. PM dá o exemplo: φ é uma função que indica “é um grego”, e ψ indica “é um homem”, e χ indica “é um mortal” estas funções então se aplicam a uma variável X. PM pode agora escrever, e avaliar:
(x). ψx
a notação acima significa “para todo x, x é um homem”. Dada uma coleção de indivíduos, pode-se avaliar a fórmula acima para a verdade ou falsidade. Por exemplo, dada a coleção restrita de indivíduos { Sócrates, Platão, Russell, Zeus } OS acima avaliados como “verdadeiro” se permitirmos que Zeus seja um homem. Mas falha para:
(x). φx
porque Russell não é grego. E falha para
(x). xx porque Zeus não é um mortal.
equipado com esta notação PM pode criar fórmulas para expressar o seguinte:”se todos os gregos são homens e se todos os homens são mortais, então todos os gregos são mortais”. (PM 1962: 138)
(x). φx ψ ψx: (x). ψx xx xx:⊃: (x). φx ⊃ xx
outro exemplo: a fórmula:
✸10.01. (Ǝx). φx . = . ~(x) . ~ φx Df.
significa “Os símbolos que representam a afirmação ‘existe ao menos um x que satisfaz a função de φ’ é definido por símbolos que representam a afirmação “não É verdade que, dado que todos os valores de x, não existem valores de x satisfazendo φ'”.
os simbolismos ⊃x e “≡x ” aparecem em ✸10.02 e ✸10.03. Ambos são abreviaturas para universalidade (i.e., para todos) que ligam a variável x ao operador lógico. Notação contemporânea teria simplesmente usado parênteses fora do signo da igualdade ( ” = ” ):
✸10.02 φx ⊃x ψx .=. (x). φx ψ ψx DF Notação temporária: ∀x(φ(x) → ψ (x)) (ou uma variante) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). φx ψ ψx DfContemporary notation: ∀x(φ(x) ↔ ψ(x)) (ou uma variante)
PM atribui o primeiro simbolismo a Peano.
a Secção ✸11 aplica este simbolismo a duas variáveis. Assim, as seguintes anotações: ⊃x, ⊃y, ⊃x, y poderiam aparecer em uma única fórmula.
Section ✸12 reintroduz a noção de” matriz ” (tabela verdade contemporânea), a noção de tipos lógicos, e em particular as noções de funções e proposições de primeira ordem e de segunda ordem.
novo simbolismo ” φ ! x ” representa qualquer valor de uma função de primeira ordem. Se um acento circunflexo “” é colocado sobre uma variável, então este é um “indivíduo” valor de y, o que significa que “ŷ” indica “indivíduos” (por exemplo, uma linha em uma tabela verdade); esta distinção é necessária por causa da matrix/extensional natureza das funções proposicionais.
agora equipado com a noção de matriz, PM pode afirmar seu controverso axioma da redutibilidade: uma função de uma ou duas variáveis (duas sendo suficientes para o uso de PM ‘s) onde todos os seus valores são dados (i.e., in its matrix) is (logically) equivalent ( ” ≡ ” ) to some “predicative” function of the same variables. A definição de uma variável é dada abaixo como uma ilustração da notação (PM 1962: 166-167):
12 12.1:: (Ǝ f): φx .≡X. f ! x Pp;
Pp é uma “proposição Primitiva” (“proposições assumidas sem prova”) (PM 1962:12, ou seja, “axiomas” contemporâneos), adicionando aos 7 definidos na seção ✸1 (começando com mod 1.1 modus ponens). Estas devem ser distinguidas das” ideias primitivas “que incluem o sinal de asserção”⊢”, negação”~”, lógica ou” V”, as noções de” proposição elementar “e” função proposicional elementar”; estas são tão próximas quanto PM chega a regras de formação notacional, ou seja, sintaxe.
isto significa:”Nós afirmamos a verdade do seguinte: existe uma função f com a propriedade que: dado todos os valores de x, suas avaliações na função φ (isto é, resultando sua matriz) é logicamente equivalente a alguns f avaliados nesses mesmos valores de X. (e vice-versa, daí equivalência lógica)”. Em outras palavras: dada uma matriz, determinada pela propriedade φ aplicada à variável x, existe uma função f que, quando aplicado a x é logicamente equivalente à matriz. Ou: cada matriz φx pode ser representada por uma função f aplicada a x, e vice-versa.
✸13: the identity operator”=”: This is a definition that uses the sign in two different ways, as noted by the quote from PM:
✸13.01. x = Y.=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
significa:
” esta definição afirma que x e y devem ser chamados idênticos quando toda função predicativa satisfeita por x também é satisfeita por y … Note que o segundo sinal de igualdade na definição acima é combinado com “Df”, e, portanto, não é realmente o mesmo símbolo que o sinal de igualdade, que é definido.”
the not-equals sign ” ≠ ” faz sua aparência como uma definição em ✸13.02.
✸14: Descrições:
“, Uma descrição é uma frase da forma “o termo y que satisfaz φŷ, onde φŷ é função de alguns satisfeito por um e apenas um argumento.”
a partir desta PM emprega dois novos símbolos, um “e” para a frente e um iota invertido “℩”. Aqui está um exemplo:
✸14.02. E ! (℩y) (φy).= : (Ǝb): φy . ≡y . y = b Df.
This has the meaning:
“The y satisfying φŷ exists,” which holds when, and only when φŷ is satisfied by one value of y and by no other value.”(PM 1967:173-174)
Introduction to the notation of the theory of classes and relationsEdit
the text leaps from section ✸14 directly to the foundational sections ✸20 GENERAL THEORY OF CLASSES and ✸21 GENERAL THEORY OF RELATIONS. “Relações” são o que é conhecido na teoria dos conjuntos contemporânea como conjuntos de pares ordenados. As seções ✸20 e ✸22 introduzem muitos dos símbolos ainda no uso contemporâneo. Estes incluem os símbolos “ε”, “⊂”, “∩”, “∪”, “–”, “Λ” e “V”: “ε” significa “é um elemento de” PM 1962:188); “⊂” (✸22.01) significa “está contido em”, “é um subconjunto de”; “∩” (✸22.02) significa a interseção (produto lógico) de classes (conjuntos); “∪” (✸22.03) significa a união (soma lógica) de classes (conjuntos); “–” (✸22.03) significa a negação de uma classe (conjunto); “Λ” significa a classe nula; E ” V ” significa a classe universal ou universo de discurso.
pequenas letras gregas (exceto “ε”, “ι”, “π”, “φ”, “ψ”, “χ”, e “θ”) representam classes (por exemplo, “α”, “β”, “γ”, “δ”, etc.) (PM 1962: 188):
X ε α ” the use of single letter in place of symbols such as ẑ(φz) or ẑ (φ ! z) é praticamente indispensável, pois de outra forma a notação rapidamente se torna intoleravelmente cumbrosa. Assim ‘x ε α ‘significa’ x é um membro da classe α'”. (PM 1962:188) α ∪ –α = VThe união de um conjunto e seu inverso é o conjunto universal (completo). α ∩ – α = λ a intersecção de um conjunto e o seu inverso é o conjunto nulo (vazio). quando aplicado às relações na Secção ✸23, o cálculo das relações, Os símbolos “⊂”, “∩”, “∪”, e ” – ” adquirir um ponto: por exemplo:”⊍”,”∸”.
A noção, e a notação de “uma classe” (definir): Na primeira edição PM afirma que não há novas primitivas idéias são necessárias para definir o que se entende por “uma classe”, e apenas dois novos “primitivo proposições” chamados axiomas de reducibility de classes e de relações, respectivamente (PM 1962:25). Mas antes que essa noção possa ser definida, PM sente que é necessário criar uma notação peculiar “ẑ(φz)” que ela chama de “objeto fictício”. (PM 1962: 188)
⊢: x ε ẑ(φz).≡. (φx)”por exemplo,’ x é um membro da classe determinada por (φẑ)’ é equivalente a ‘x satisfaz (φẑ),” ou ” (φx) é verdadeira.'”. (PM 1962: 25)
pelo menos PM pode dizer ao leitor como esses objetos fictícios se comportam, porque “uma classe é totalmente determinada quando sua adesão é conhecida, ou seja, não pode haver duas classes diferentes tendo a mesma adesão” (PM 1962:26). Isto é simbolizado pela seguinte igualdade (semelhante a ✸13.01 acima:
ẑ(φz) = ψ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx ” esta última é a característica distintiva das classes, e justifica-nos ao tratar ẑ(ψz) como a classe determinada por ψẑ.”(PM, 1962:188)
Talvez acima podem ser clarificados pela discussão de classes, na Introdução à Segunda Edição, que cede o Axioma da Reducibility e substitui-lo com a noção de: “Todas as funções de funções são extensional” (PM, 1962:xxxix), i.é.,
φx ≡x ψx .⊃. (x): ƒ (φẑ) ƒ ƒ (ψẑ) (PM 1962:xxxix)
This has the reasonable meaning that ” IF for all values of x the truth-values of the functions φ and ψ of x are equivalent, THEN the function ƒ of a given φẑ and ƒ of ψẑ are equivalent.”PM afirma que isto é “óbvio”:
” isto é óbvio, uma vez que φ só pode ocorrer em ƒ(φẑ) pela substituição de valores de φ Para p, q, r, … em uma função, e, se φx ψ ψx, a substituição de φx para p em uma função dá o mesmo valor-verdade para a função-verdade como a substituição de ψx. Consequentemente, não há mais nenhuma razão para distinguir entre classes de funções, pois temos, em virtude do acima, φx ≡x ψx .⊃. (x). φẑ = . ψẑ”.
Observe a mudança para a igualdade “=” sinal à direita. PM continua a afirmar que continuará a se agarrar à notação “ẑ (φz)”, mas isto é meramente equivalente a φẑ, E esta é uma classe. (todas as citações: PM 1962: xxxix).