Scale (map)

As proved by Gauss’s Theorema egregio, a sphere (or ellipsoid) cannot be projected into a plane without distortion. Isto é comumente ilustrado pela impossibilidade de suavizar uma casca de laranja em uma superfície plana sem rasgá-la e deformá-la. A única representação verdadeira de uma esfera em escala constante é outra esfera como um globo.dada a limitada dimensão prática dos globos, devemos usar mapas para mapeamento detalhado. Os mapas requerem projeções. Uma projecção implica distorção: Uma separação constante no mapa não corresponde a uma separação constante no solo. Enquanto um mapa pode exibir uma escala gráfica de barras, a escala deve ser usada com a compreensão de que ele será preciso em apenas algumas linhas do mapa. (Isto é discutido mais adiante nos exemplos nas secções seguintes.)

seja P um ponto à latitude φ {\displaystyle \varphi }

e longitude λ {\displaystyle \lambda }

sobre a esfera (ou elipsóide). Q deixar de ser um ponto adjacente e deixe α {\displaystyle \alpha }

ser o ângulo entre o elemento PQ e o meridiano em P: este ângulo é o ângulo de azimute do elemento PQ. P’ E Q ‘ sejam pontos correspondentes na projeção. O ângulo entre a direção p’q’ e a projeção do meridiano é o rolamento β {\displaystyle \beta }

. Em geral, α ≠ β {\displaystyle \alpha \neq \beta }

. Comentario: esta distinção precisa entre azimute (na superfície da terra) e rolamento (no mapa) não é universalmente observada, muitos escritores usando os Termos quase indistintamente.

definição: a escala de pontos em P é a razão das duas distâncias P’Q’ e PQ no limite que Q se aproxima P. Podemos escrever isso como

μ ( λ , φ , α ) = lim Q → P P ‘ P ‘P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{N\to P}{\frac {p’q’}{PQ}},}

onde a notação indica que o ponto de escala é uma função da posição de P e, também, a direção do elemento PQ.definição: se P e Q mentir sobre o mesmo meridiano ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, o meridiano de escala é denotada por h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

definição: se P e Q mentir sobre o mesmo paralelo ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, o paralelo escala é denotada por k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

definição: se o ponto de escala depende somente da posição, não no sentido, dizemos que ela é isotrópico e convencionalmente indicar o seu valor em qualquer direção paralela fator de escala k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}

. definição :uma projeção de mapa é dita conforme se o ângulo entre um par de linhas intersetando em um ponto P é o mesmo que o ângulo entre as linhas projetadas no ponto P’, para todos os pares de linhas intersetando no ponto P. um mapa conforme tem um fator de escala isotrópica. Inversamente, fatores de escala isotrópica em todo o mapa implicam uma projeção conforme.

isotropia de escala implica que pequenos elementos são esticados igualmente em todas as direções, ou seja, a forma de um pequeno elemento é preservada. Esta é a propriedade do ortomorfismo (do grego ‘forma direita’). A qualificação “pequena” significa que, numa determinada precisão da medição, não é possível detectar qualquer alteração no factor de escala em relação ao elemento. Uma vez que as projeções conformes têm um fator de escala isotrópica, elas também têm sido chamadas de projeções ortomórficas. Por exemplo, a projeção Mercator é conforme, uma vez que é construída para preservar ângulos e seu fator de escala é isotópico, uma função apenas de latitude: Mercator preserva a forma em pequenas regiões.definição: em uma projeção conforme com uma escala isotrópica, pontos que têm o mesmo valor de escala podem ser unidos para formar as linhas isóscalas. Estes não são plotados em mapas para usuários finais, mas eles apresentam em muitos dos textos padrão. (See Snyder pages 203-206.)

the representative fraction (RF) or principal scaleEdit

Existem duas convenções usadas na definição das equações de qualquer projeção dada. Por exemplo, o equirectangular projeção cilíndrica pode ser escrito como

cartógrafos: x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

y = a φ {\displaystyle y=a\varphi }

matemáticos: x = λ {\displaystyle x=\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

Aqui vamos adotar a primeira dessas convenções (seguir o seu uso em pesquisas por Snyder). Claramente as equações de projeção acima definem posições em um enorme cilindro enrolado em torno da terra e, em seguida, desenrolado. Dizemos que estas coordenadas definem o mapa de projeção que deve ser distinguido logicamente dos mapas impressos (ou visualizados) reais. Se a definição de escala de pontos na seção anterior é em termos do mapa de projeção, então podemos esperar que os fatores de escala estejam próximos à unidade. Para projeções cilíndricas tangentes normais, a escala ao longo do Equador é k=1 e, em geral, a escala muda à medida que saímos do equador. A análise da escala no mapa de projeção é uma investigação da mudança de k para longe de seu verdadeiro valor de unidade.os mapas impressos reais são produzidos a partir do mapa de projeção por uma escala constante denotada por uma razão como 1: 100M (para mapas de todo o mundo) ou 1:10000 (para planos de cidades). Para evitar confusões na utilização da palavra “escala”, esta fracção de constantscale é chamada de fracção representativa (RF) do mapa impresso e deve ser identificada com a razão impressa no mapa. As coordenadas reais do mapa impresso para a projecção cilíndrica equirectangular são

mapa impresso: x = ( R F ) λ {\displaystyle x=(RF)a\lambda }

y = ( R F ) φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }

Essa convenção permite que uma clara distinção entre o intrínseco de projeção de escala e a redução de escala.

deste ponto Ignoramos A RF e trabalhamos com o mapa de projeção.Visualisation of point scale: the Tissot indicatrixEdit

Considere a possibilidade de um pequeno círculo sobre a superfície da Terra, centrado em um ponto P a uma latitude φ {\displaystyle \varphi }

e longitude λ {\displaystyle \lambda }

. Uma vez que a escala de pontos varia com a posição e direção, a projeção do círculo na projeção será distorcida. Tissot provou que, enquanto a distorção não for muito grande, o círculo se tornará uma elipse na projeção. Em geral, a dimensão, forma e orientação da elipse irá mudar sobre a projeção. Sobrepondo estas elipses de distorção na projeção do mapa, transmite a forma como a escala de pontos está mudando sobre o mapa. The distortion ellipse is known as Tissot’s indicatrix. O exemplo mostrado aqui é a projeção Winkel tripel, a projeção padrão para mapas mundiais feita pela National Geographic Society. A distorção mínima é no meridiano central nas latitudes de 30 graus (norte e Sul). (Exemplo). a chave para um entendimento quantitativo da escala é considerar um elemento infinitesimal na esfera. A figura mostra um ponto P a uma latitude φ {\displaystyle \varphi }

e longitude λ {\displaystyle \lambda }

sobre a esfera. O ponto Q está na latitude φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

e longitude λ + ∆ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. As linhas PK e MQ são arcos de meridianos do comprimento de um δ φ {\displaystyle um\,\delta \varphi }

onde uma {\displaystyle a}

é o raio da esfera e φ {\displaystyle \varphi }

é medida em radianos. As linhas PM e KQ são arcos de círculos paralelos de comprimento ( a cos ⁡ φ ) ∆ λ {\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }

com λ {\displaystyle \lambda }

na medida em radianos. Na derivação de uma propriedade do ponto da projeção em P é suficiente tomar um elemento infinitesimal PMQK da superfície: no limite de Q aproximando-se de P tal elemento tende a um infinitesimalmente pequeno retângulo planar.

Normal cilíndrica projeções da esfera, temos x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

e y {\displaystyle y}

igual a uma função da latitude apenas. Portanto, o elemento infinitesimal PMQK na esfera projetos para um elemento infinitesimal P SOU isso q K’, que é uma exata retângulo com uma base ∆ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

e altura ∆ y {\displaystyle \delta y}

. Comparando os elementos na esfera e projeção, podemos deduzir imediatamente expressões para os fatores de escala nos paralelos e meridianos. (O tratamento da escala em uma direção geral pode ser encontrado abaixo.) parallel scale factor k = δ X a cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \quad K\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

Meridian scale factor h = δ y a δ φ = y ‘( φ) a {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\Delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi)} {a}}}

Note que o paralelo fator de escala k = s ⁡ φ {\displaystyle k=\s \varphi }

é independente da definição de y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}

então é o mesmo para todas as projeções cilíndricas. É útil notar que a 30 graus de latitude a escala paralela é k = sec ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k = \sec 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}}=1.15}

a uma latitude de 45 graus paralela escala é k = s ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\s 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

latitude 60 graus paralela escala é k = s ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

na latitude 80 graus paralela escala é k = s ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

na latitude 85 graus paralela escala é k = s ⁡ 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}

os exemplos A seguir ilustram três normal cilíndricos de projeções e, em cada caso, a variação de escala com a posição e a direção é ilustrado pelo uso de Tissot do indicatrix.

Três exemplos de normal cilíndrica projectionEdit

O equirectangular projectionEdit

O equirectangular de projeção, também conhecido como a Placa de Carrée (francês para “quadrado plano”) ou (de maneira errônea) a projeção equidistante, é definida por

x = a λ , {\displaystyle x=a\lambda}

y = a φ , {\displaystyle y=a\varphi ,}

onde uma {\displaystyle a}

é o raio da esfera, λ {\displaystyle \lambda }

é a longitude do meridiano central da projeção (aqui tomado como o Greenwich meridian a λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}

) e φ {\displaystyle \varphi }

é a latitude. Observe que λ {\displaystyle \lambda }

e φ {\displaystyle \varphi }

estão em radianos (obtido multiplicando-se o grau de medida por um fator de π {\displaystyle \pi }

/180). A longitude λ {\displaystyle \lambda }

estiver no intervalo {\theta }

e a latitude φ {\displaystyle \varphi }

estiver no intervalo {\theta }

.

Desde que y ‘( φ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

seção anterior dá paralela escala, k = δ x cos ⁡ φ ∆ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\s \varphi \qquad \qquad {}}

meridiano escala h = δ y δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}

Para o cálculo do ponto de escala em uma direção arbitrária ver adenda.a figura ilustra a Tissot indicatrix para esta projeção. No Equador h=k = 1 e os elementos circulares não são distorcidos onprojeção. Em latitudes mais altas, os círculos são distorcidos em uma elipse dada pelo alongamento apenas na direção paralela: não há distorção na direção Meridiana. A razão entre o eixo principal e o eixo menor é sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }

o gráfico mostra a variação dos factores de escala para os três exemplos acima. O gráfico de cima mostra a função da escala isotrópica Mercator: a escala no paralelo é a mesma que a escala no meridiano. As outras parcelas mostram o Fator de escala de Meridiano para a projeção Equi-rectangular (h=1) e para a projeção de área igual a Lambert. Estas duas últimas projeções têm uma escala paralela idêntica à do lote Mercator. Para a nota de Lambert que a escala de paralelo (como Mercator A) aumenta com a latitude e a escala de meridiano (C) diminui com a latitude de tal forma que hk=1, garantindo a conservação da área.

variação em escala no projectionEdit de Mercator

a escala do ponto Mercator é unidade no Equador porque é tal que o cilindro auxiliar usado em sua construção é tangencial à terra no Equador. Por esta razão, a projeção usual deve ser chamada de projeção tangente. A escala varia com a latitude como k = sec φ φ {\displaystyle k=\sec \varphi}

. Desde sec ⁡ φ {\displaystyle \s \varphi }

tende para o infinito medida que nos aproximamos dos pólos o mapa Mercator é grosseiramente distorcida em altas latitudes e, por essa razão, a projeção é totalmente impróprio para mapas do mundo (a menos que nós estamos discutindo a navegação e linhas de rumo). No entanto, a uma latitude de cerca de 25 graus o valor de sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }

é cerca de 1.1 Assim Mercator é preciso para dentro de 10% em uma faixa de Largura 50 graus centrado no Equador. As faixas mais estreitas são melhores: uma faixa de largura de 16 graus (centrada no Equador) tem uma precisão de 1% ou 1 parte em 100.

um critério padrão para bons mapas de grande escala é que a precisão deve estar dentro de 4 partes em 10.000, ou 0.04%, correspondendo a k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}

. Desde sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

atinge este valor a φ = 1.62 {\displaystyle \varphi =1, 62}

graus (ver figura abaixo, linha vermelha). Portanto, a projeção tangente Mercator é altamente precisa dentro de uma faixa de largura 3,24 graus centrada no Equador. Isto corresponde a uma distância norte-sul de cerca de 360 km (220 mi). Dentro desta faixa Mercator é muito bom, altamente preciso e forma preservando porque é conforme (preservação de ângulo). Estas observações levaram ao desenvolvimento das projeções transversais de Mercator em que um meridiano é tratado ‘como um equador’ da projeção para que possamos obter um mapa preciso dentro de uma distância estreita desse meridiano. Tais mapas são bons para países alinhados quase norte-sul (como a Grã-Bretanha) e um conjunto de 60 mapas é usado para o Universal Transverse Mercator (UTM). Note que em ambas as projeções (que são baseadas em vários elipsoides) as equações de transformação para x e y e a expressão para o Fator de escala são funções complicadas de latitude e longitude.

Secantes, ou modificado, projectionsEdit

A idéia básica de uma secante de projeção é a de que a esfera é projetado para um cilindro, que intercepta a esfera em dois paralelos, dizer φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

américa do norte e do sul. Claramente, a escala é agora verdadeira nessas latitudes, enquanto paralelos sob essas latitudes são contraídos pela projeção e seu fator de escala (paralelo) deve ser menor que um. O resultado é que o desvio da escala em relação à unidade é reduzido em uma ampla gama de latitudes.

Como exemplo, uma possível secantes projeção de Mercator é definida por

x = 0.9996 um λ y = 0.9996 a ln ⁡ ( tan ⁡ ( π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x=0.9996 um\lambda \qquad \qquad y=0.9996 um\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}

os multiplicadores numéricos não alteram a forma da projecção, mas significa que os factores de escala são modificados:

secant Mercator scale, k = 0,9996 sec φ φ . {\displaystyle \quad k\; = 0. 9996\sec \varphi .}

Assim

• a escala no equador é 0.9996,
• a escala é k = 1 a uma latitude dada por φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  onde s ⁡ φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \s \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  de modo que φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  graus, k=1.0004 na latitude φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  dada pela sec ⁡ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \s \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  para os quais φ 2 = 2.29 suporte {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  graus. Portanto, a projeção tem 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , que é uma precisão de 0,04%, em uma ampla faixa de 4.58 graus (em comparação com 3.24 graus para a tangente de formulário).

isto é ilustrado pela curva mais baixa (verde) na figura da secção anterior.

Estas zonas estreitas de alta precisão são utilizados em UTM e o Britânico OSGB de projeção, os quais são secantes, transversa de Mercator sobre o elipsóide com a escala no meridiano central constante em k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}

. As linhas isóscalas com k = 1 {\displaystyle k=1}

são linhas ligeiramente curvas a cerca de 180 km a leste e a oeste do meridiano central. O valor máximo do fator de escala é 1,001 para UTM e 1,0007 para OSGB.

As linhas da unidade de escala de latitude φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

(norte e sul), onde a projeção cilíndrica superfície intercepta a esfera, são o padrão paralelos das secantes de projeção.

Enquanto uma faixa estreita com | k − 1 | < 0.0004 {\displaystyle |k-1|<0.0004}

é importante para mapeamento de alta precisão em grande escala, pois os mapas mundiais são usados para controlar a variação da escala. Exemplos são

• Behrmann com padrão paralelo em 30N, 30 anos de idade.
• Fel de igual área, com padrão paralelo em 45N, 45S.

As parcelas de escala para este último são mostradas abaixo em comparação com os fatores de escala igual de Lambert. Neste último, o Equador é um paralelo único padrão e a escala do paralelo aumenta de k=1 para compensar a diminuição da escala de meridiano. Para a pala, a escala de paralelo é reduzida no Equador (para k=0,707), enquanto a escala de meridiano é aumentada (para k=1,414). Isto dá origem à distorção grosseira da forma na projeção Gall-Peters. (No globo, a África é aproximadamente tão longa quanto ela é ampla). Note que as escalas de meridiano e de paralelo são unitárias nos paralelos padrão.

Matemática addendumEdit

Para normal projeções cilíndricas a geometria dos elementos infinitesimais dá

(a) tan ⁡ α = a cos ⁡ φ δ λ um δ φ , {\displaystyle {\text{(um)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}

(B) tan ⁡ β = δ x δ y = a δ λ δ Y. {\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}

A relação entre os ângulos β {\displaystyle \beta }

e α {\displaystyle \alpha }

é (c) tan ⁡ β = a sec ⁡ φ y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}}\quad \tan \ beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi)}}}} \tan \alpha .\,}

Para a projeção de Mercator y ‘( φ ) = a sec ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\s \varphi }

dar α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

: ângulos são preservados. (Dificilmente surpreendente uma vez que esta é a relação usada para derivar Mercator). Para o eqüidistantes e Lambert projeções temos y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

e y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }

, respectivamente, de modo a relação entre α {\displaystyle \alpha }

e β {\displaystyle \beta }

depende da latitude φ {\displaystyle \varphi }

. Indicar o ponto de escala em P quando o elemento infinitesimal PQ faz um ângulo α {\displaystyle \alpha \,}

com o meridiano, por μ α . {\displaystyle \mu _{\alpha }.}

é dado pela razão de distâncias: μ α = lim Q → P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ φ δ λ 2 . {\displaystyle \ mu _ {\alpha } = \ lim _ {Q \ to P} {\frac {P’q’} {PQ}}=\lim _ {Q \ to P} {\frac {\sqrt {\delta x ^ {2} + \ delta y^{2}}} {\sqrt {a ^ {2}\, \ delta \ varphi ^{2}+a ^ {2} \ cos ^ {2}\varphi\, \ delta \ lambda ^{2}}}}.}

Definição de ∆ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

e substituindo δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

e δ y {\displaystyle \delta y}

a partir de equações (a) e (b) respectivamente dá μ α ( φ ) = sec ⁡ φ . {\displaystyle \mu _{\alpha } (\varphi )=\sec \varphi \left.}

as projeções outros de Mercator devemos primeiro calcular β {\displaystyle \beta }

a partir de α {\displaystyle \alpha }

e φ {\displaystyle \varphi }

usando a equação (c), antes de nós pode encontrar μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}

. Por exemplo, a projeção equirectangular tem y ‘= a {\displaystyle y ‘=a}

de modo que tan ⁡ β = sec φ φ tan ⁡ α . {\displaystyle \tan \ beta =\sec \varphi \tan \alpha .\ ,}