givet ett uttalande r kallas uttalandet \(\sim R\) negationen av R. om R är ett komplext uttalande är det ofta så att dess negation \(\sim R\) kan skrivas i en enklare eller mer användbar form. Processen att hitta denna form kallas negating R. i bevisningssatser är det ofta nödvändigt att negera vissa uttalanden. Vi undersöker nu hur man gör detta.
Vi har redan granskat en del av detta ämne. Demorgans lagar
\(\sim (p \kil Q) = (\sim P) \vee (\sim Q)\)
\(\sim (p \vee Q) = (\sim P) \kil (\sim Q)\)
kanske kan du hitta \(\sim R\) utan att åberopa Demorgans lagar. Det är bra; du har internaliserat Demorgans lagar och använder dem omedvetet.
det är inte så att P (x) är sant för alla naturliga tal x.
\(\sim (\forall x \i X, P(x)) = \existerar x \i X, \sim P (x)\)
\(\sim (\existerar X \i X, P(x)) = \forall x \i X, \sim P (x)\)
se till att du förstår dessa två logiska ekvivalenser. De överensstämmer med vår dagliga användning av språk, men de sätter fast betydelsen på ett matematiskt exakt sätt.
\(\sim (P \Rightarrow Q) = P \kil \ sim Q\).
(i övning 12 i avsnitt 2.6 använde du faktiskt en sanningstabell för att verifiera att dessa två uttalanden verkligen är logiskt likvärdiga.)
ovanstående exempel 2.15 visade hur man negerar ett villkorligt uttalande \(P(x) \Rightarrow Q(x)\). Denna typ av problem kan ibland inbäddas i mer komplex negation. Se övning 5 nedan (och dess lösning).