Definition
ett polynom i variabeln x är en funktion som kan skrivas i formen,
där an, an-1 , …, a2, a1, a0 är konstanter. Vi kallar termen som innehåller den högsta effekten av x (dvs. anxn) den ledande termen, och vi kallar en ledande koefficient. Graden av polynom är kraften hos x i den ledande termen. Vi har redan sett grad 0, 1 och 2 Polynom som var de konstanta, linjära och kvadratiska funktionerna. Grad 3, 4 och 5 polynomier har också speciella namn: cubic, quartic och quintic funktioner. Polynomier med grad n > 5 kallas bara nth grad polynomier. Namnen på olika polynomfunktioner sammanfattas i tabellen nedan.
| Degree of the polynomial | Name of the function |
| 0 | Constant function |
| 1 | Linear function |
| 2 | Quadratic function |
| 3 | Cubic function |
| 4 | Quartic function |
| 5 | Quintic Function |
| n (where n > 5) | nth degree polynomial |
Some examples of polynomials include:
det begränsande beteendet hos polynomier
det begränsande beteendet hos en funktion beskriver vad som händer med funktionen som x megapixlar. Graden av ett polynom och tecknet på dess ledande koefficient dikterar sitt begränsande beteende. I synnerhet
dessa resultat sammanfattas i tabellen nedan.
du kan använda denna information för att avgöra om ett polynom har udda eller jämn grad och om den ledande koefficienten är positiv eller negativ, helt enkelt genom att inspektera dess graf.
följande grafer av polynom exemplifierar vart och ett av de beteenden som beskrivs i tabellen ovan.
rötter och vändpunkter
graden av ett polynom berättar ännu mer om det än det begränsande beteendet. Specifikt kan en nth grad polynom ha högst n verkliga rötter (x-avlyssnar eller nollor) räknar multipliciteter. Antag till exempel att vi tittar på ett 6: e graders polynom som har 4 distinkta rötter. Om två av de fyra rötterna har multiplicitet 2 och de andra 2 har multiplicitet 1, vet vi att det inte finns några andra rötter eftersom vi har redogjort för alla 6 rötter. Detta beror på att rötterna med en mångfald av två (även kända som dubbla rötter) räknas som två rötter.
var medveten om att ett nth grad polynom inte behöver ha n verkliga rötter — det kan ha mindre eftersom det har imaginära rötter. Lägg märke till att ett udda graderspolynom måste ha minst en riktig rot eftersom funktionen närmar sig-6x i ena änden och + 6x i den andra; en kontinuerlig funktion som växlar från negativ till positiv måste korsa x – axeln någonstans däremellan. Dessutom kan ett nth grad polynom ha högst n-1 vändpunkter. En vändpunkt är en punkt där funktionen ändras från att öka till att minska eller minska till att öka enligt figuren nedan. Återigen behöver ett nth graders polynom inte ha n-1 vändpunkter, det kan ha mindre.
Obs!
det är viktigt att inse skillnaden mellan jämna och udda funktioner och jämna och udda grad polynom. Varje funktion, f (x), är antingen även om,
f (−x) = x,
för alla x i domänen f (x), eller odd if,
f (−x) = −x,
för alla x i domänen f (x), eller varken jämn eller odd om inget av ovanstående är sanna uttalanden.
ett KTH-gradpolynom, p(x), sägs ha jämn grad om k är ett jämnt tal och udda grad om k är ett udda tal. Kom ihåg att även om p(x) har jämn grad är det inte nödvändigtvis en jämn funktion. På samma sätt, om p(x) har udda grad, är det inte nödvändigtvis en udda funktion.
vi använder också termerna jämn och udda för att beskriva polynomernas rötter. Specifikt har ett polynom p (x) rot x = A av multiplicitet k (dvs x = A är en rot upprepad k gånger)om (x − A) k är en faktor p(x). Vi säger att x = A har jämn multiplicitet om k är ett jämnt tal och udda multiplicitet om k är ett udda tal.
domän och intervall
alla polynom har samma domän som består av alla reella tal. Utbudet av udda graders polynom består också av alla reella tal. Utbudet av jämn grad polynom är lite mer komplicerat och vi kan inte uttryckligen ange intervallet för alla jämn grad polynom. Om den ledande koefficienten är positiv kommer funktionen att sträcka sig till + aug. medan om den ledande koefficienten är negativ kommer den att sträcka sig till – aug. Detta innebär att även graderpolynom med positiv ledande koefficient har intervall där ymax betecknar det globala maximala funktionen uppnår. I allmänhet är det inte möjligt att analytiskt bestämma maxima eller minima för polynomier.
* * * * *
i nästa avsnitt lär du dig polynomial division, en teknik som används för att hitta rötterna till polynomfunktioner.
Polynomindelning