en författare konstaterar att ”notationen i det arbetet har ersatts av den efterföljande utvecklingen av logik under 20-talet, i den utsträckning som nybörjaren har svårt att läsa PM alls”; medan mycket av det symboliska innehållet kan omvandlas till modern notation, är den ursprungliga notationen i sig ”ett ämne för vetenskaplig tvist”, och en del notation ”förkroppsligar materiella logiska doktriner så att den inte bara kan ersättas av samtida symbolik”.
Kurt g Sackaridel var hårt kritisk till notationen:
” det är beklagligt att denna första omfattande och grundliga presentation av en matematisk logik och härledningen av matematik från den så mycket saknar formell precision i grunden (som finns i 1–21 i Principia ) att den i detta avseende representerar ett betydande steg bakåt jämfört med Frege. Det som saknas är framför allt ett exakt uttalande om formalismens syntax. Syntaktiska överväganden utelämnas även i fall där de är nödvändiga för bevisets styrka”.
detta återspeglas i exemplet nedan av symbolerna ”p”, ”q”, ”r” och ”asian”som kan formas till strängen ” p Thai q Thai r”. PM kräver en definition av vad denna symbolsträng betyder i termer av andra symboler; i samtida behandlingar skulle ”formationsreglerna” (syntaktiska regler som leder till ”välformade formler”) ha förhindrat bildandet av denna sträng.
Källa av notation: Kapitel i ”Preliminära Förklaringar av Idéer och Beteckningar som” börjar med källan till de elementära delar av notation (symbolerna =⊃≡−ΛVε och systemet med prickar):
”notationen som antagits i detta arbete är baserad på Peano, och följande förklaringar är till viss del modellerade efter de som han prefixar till sin Formulario Mathematico . Hans användning av prickar som parentes antas, och det är också många av hans symboler” (PM 1927:4).
PM ändrade Peano ’s exportorienterade till exportorienterade, och antog också några av Peano’ s senare symboler, som t.ex.
PM antar assertionstecknet ”bisexual” från Freges 1879 Begriffsschrift:
”(I) T kan läsas ”det är sant att ””
således att hävda en proposition p PM skriver:
”⊦. p. ” (PM 1927:92)
(Observera att, som i originalet, är den vänstra punkten kvadratisk och större än perioden till höger.)
det mesta av resten av notationen i PM uppfanns av Whitehead.
en introduktion till notationen av ”avsnitt A matematisk logik” (formler 1-5, 71)redigera
PM: s punkter används på ett sätt som liknar parenteser. Varje punkt (eller flera punkter) representerar antingen en vänster-eller högerparentes eller den logiska symbolen. Mer än en punkt indikerar ”djupet” av parenteserna, till exempel ”.”, ”: ”eller”:.”, ”::”. Positionen för matchande höger eller vänster parentes anges dock inte uttryckligen i notationen utan måste härledas från vissa regler som är komplexa och ibland tvetydiga. När prickarna står för en logisk symbol måste dess vänstra och högra operander härledas med liknande regler. Först måste man bestämma utifrån sammanhang om prickarna står för en vänster eller höger parentes eller en logisk symbol. Då måste man bestämma hur långt den andra motsvarande parentesen är: här fortsätter man tills man möter antingen ett större antal prickar, eller samma antal prickar nästa som har lika eller större ”kraft”, eller slutet på linjen. Dots bredvid skyltarna (x), (x), (x), (x) och så vidare, som har större kraft än punkter som indikerar en logisk produkt (x).
exempel 1. Linjen
2.4. I. q. ⊃ . p oc q
motsvarar
oc ((p oc q) oc (p oc q)).
de två punkterna som står tillsammans omedelbart efter påståendet indikerar att det som hävdas är hela linjen: eftersom det finns två av dem är deras omfattning större än för någon av de enskilda prickarna till höger. De ersätts av en vänster parentes som står där prickarna är och en höger parentes i slutet av formeln, alltså:
xhamster (p . q. ⊃ . p.o. m. o. q).
(i praktiken undertrycks vanligtvis dessa yttersta parenteser, som innehåller en hel formel.) Den första av de enskilda punkterna, som står mellan två propositionella variabler, representerar konjunktion. Den tillhör den tredje gruppen och har den smalaste räckvidden. Här ersätts den med den moderna symbolen för konjunktion ”Xiaomi”, alltså
Xiaomi (p Qibao q . ⊃ . p.o. m. o. q).
de två återstående enstaka prickarna plockar ut huvudbindningen av hela formeln. De illustrerar nyttan av punktnotationen för att plocka ut de anslutningar som är relativt viktigare än de som omger dem. Den till vänster om” Xiaomi ” ersätts av ett par parenteser, den högra går där punkten är och den vänstra går så långt till vänster som möjligt utan att korsa en grupp punkter med större kraft, i det här fallet de två punkterna som följer påståendet-tecknet, alltså
p ( # )
punkten till höger om” xnumx ” ersätts av en vänster parentes som går där punkten är och en höger parentes som går så långt till höger som möjligt utan att gå utöver det räckvidd som redan fastställts av en grupp punkter med större kraft (i detta fall de två punkterna som följde påståendet-tecknet). Så den högra parentesen som ersätter pricken till höger om ”exporten” placeras framför den högra parentesen som ersatte de två punkterna efter påståendet-tecknet, alltså
((p exporten q) ((p exporten q) (p exporten q)).
exempel 2, med dubbla, tredubbla och fyrdubbla prickar:
9.521. (x). – ja . ⊃ . f: Ontario:. (x). – ja . v. r: 2 . q v r
står för
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Exempel 3, med en dubbel prick indikerar en logisk symbol (från volym 1, sida 10):
s⊃q:q⊃r.⊃.s⊃r
står för
(s⊃q) ∧ (q⊃r)⊃(s⊃r))
där double dot representerar den logiska symbol ∧ och kan anses ha högre prioritet som en icke-logisk enda prick.
senare i avsnitt 14, parentes ”” visas, och i Avsnitt 20 och följande visas hängslen” {}”. Huruvida dessa symboler har specifika betydelser eller bara är för visuell förtydligande är oklart. Tyvärr den enda punkten (men också ”:”, ”:.”, ”::”, osv.) används också för att symbolisera ”logisk produkt ”(samtida logisk och ofta symboliserad med”& ”eller ”bisexuell”).
logisk implikation representeras av Peano ’ s ”Macau” förenklad till ”Macau”, logisk negation symboliseras av en långsträckt tilde, dvs ”~” (samtida ”~” eller””), den logiska eller av ”v”. Symbolen ” = ” tillsammans med ”Df” används för att indikera ”definieras som”, medan i avsnitt 13 och följande definieras ” = ” som (matematiskt) ”identisk med”, dvs samtida matematisk ”jämlikhet” (jfr. diskussion i avsnitt 13). Logisk ekvivalens representeras av ” Xiaomi ”(samtida” om och endast om”);” elementära ”propositionella funktioner är skrivna på vanligt sätt, t.ex.” f(p)”, men senare visas funktionstecknet direkt före variabeln utan parentes, t. ex.
exempel, PM introducerar definitionen av ”logisk produkt” enligt följande:
3.01. p. q.=. ~(~p v ~ q)Df.där ” p . q”är den logiska produkten av p och q. 3.02. p .=. p osbi q . q oc r df.Denna definition tjänar bara till att förkorta bevis. översättning av formlerna till samtida symboler: olika författare använder alternativa symboler, så ingen definitiv översättning kan ges. Men på grund av kritik som Kurt G. O. D. nedan kommer de bästa samtida behandlingarna att vara mycket exakta med avseende på ”formationsreglerna” (syntaxen) för formlerna.
den första formeln kan omvandlas till modern symbolik enligt följande:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
omväxlande
(p & q) =df ((p v q))
växelvis
(p IC q) =DF ((p v q))
etc.
Den andra formeln kan omvandlas enligt följande:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Men notera att detta inte är (logiskt) motsvarar (p → (q → r)) eller att ((p → q) → r), och dessa två är inte logiskt ekvivalent heller.
en introduktion till notationen av ”avsnitt B-teorin om uppenbara variabler”(formler 8-14.34) redigera
dessa avsnitt gäller vad som nu kallas predikatlogikoch predikatlogik med identitet (jämlikhet).
- NB: som ett resultat av kritik och framsteg ersätter den andra upplagan av PM (1927) 9 med en ny 8 (Bilaga A). Detta nya avsnitt eliminerar den första upplagan distinktion mellan verkliga och uppenbara variabler, och det eliminerar ”den primitiva tanken” påstående av en propositionell funktion”. För att lägga till komplexiteten i behandlingen, introducerar 8 8 begreppet substitution av en ”matris” och Sheffer stroke:
- Matrix: I samtida användning är PM: s matris (åtminstone för propositionella funktioner), en sanningstabell, dvs alla sanningsvärden för en propositionell eller predikatfunktion.
- Sheffer stroke: är den samtida logiska NAND (inte-och), dvs ”inkompatibilitet”, vilket betyder:
”givet två propositioner p och q, betyder ”p | q” ”proposition p är oförenlig med proposition q”, dvs om båda propositionerna p och q utvärderar som sanna, då och endast då p | q utvärderar som falskt.”Efter avsnitt 8 ser Sheffer stroke ingen användning.
avsnitt 10: de existentiella och universella ”operatörerna”: PM lägger till ”(x) ”för att representera den samtida symboliken ”för alla x”, dvs.” bisexuell X”, och den använder en bakåt serifed E för att representera” det finns en x”, dvs.” (Bisexuell)”, dvs. Den typiska notationen skulle likna följande:
” (x) . φx” betyder ”för alla värden på variabeln x, funktion φ utvärderas till true ”(Ǝx) . φx” betyder ”för några värdet av variabeln x, funktion φ utvärderas till true”
Avsnitten ✸10, ✸11, ✸12: Egenskaper för en variabel utvidgas till att omfatta alla individer: avsnitt ✸10 införs begreppet ”fastighet” i en ”rörlig”. PM ger exemplet: det är en funktion som indikerar ”är en grekisk”, och det betyder ”är en man”, och det betyder ”är en dödlig”. dessa funktioner gäller sedan för en variabel x .PM Kan nu skriva och utvärdera:
(x). notationen ovan betyder ”för alla x är x en man”. Med tanke på en samling individer kan man utvärdera ovanstående formel för sanning eller falskhet. Till exempel, med tanke på den begränsade samlingen av individer { Sokrates, Platon, Russell, Zeus } ovanstående utvärderas till ”sant” om vi tillåter Zeus att vara en man. Men det misslyckas för: (x). eftersom Russell inte är grekisk. Och det misslyckas för (x). xx
eftersom Zeus inte är en dödlig.
utrustad med denna notation PM Kan skapa formler för att uttrycka följande:”om alla greker är män och om alla män är dödliga så är alla greker dödliga”. (PM 1962: 138)
(x). (X). (X) . XX
ett annat exempel:formeln:
10.01. (IX). – ja . = . ~(x). ~ 6x Df.
betyder ”de symboler som representerar påståendet” det finns minst ett x som uppfyller funktionen för att fungera ”definieras av symbolerna som representerar påståendet” det är inte sant att det, med tanke på alla värden för X, inte finns några värden för X som uppfyller för att fungera””.
symbolerna för X och ”X för X” visas vid 10.02 och 10.03 för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för X för x. Båda är förkortningar för universalitet (dvs för alla) som binder variabeln x till den logiska operatören. Samtida notation skulle helt enkelt ha använt parenteser utanför jämställdhetstecknet ( ” = ” ):
10,02 10,02 x x x .=. (x). x x x x x x x x x x x: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (eller variant) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). x ( x) (x) (x)) (eller en variant)
PM tillskriver den första symboliken till Peano.
avsnitt 11 tillämpar denna symbolik på två variabler. Följande beteckningar: x, x, x, x, x, x, y kan alltså visas i en enda formel.
avsnitt 12 återinför begreppet ”matris” (samtida sanningstabell), begreppet logiska typer, och i synnerhet begreppen första ordningens och andra ordningens funktioner och propositioner.
ny symbolik ”Xiaomi! x ” representerar något värde av en första ordningens funktion. Om en circumflex ””placeras över en variabel, då är detta ett” individuellt ”värde på y, vilket betyder att” Bisexuell ”indikerar” individer ” (t.ex. en rad i en sanningstabell); denna distinktion är nödvändig på grund av matris/extensional karaktär av propositionsfunktioner.
nu utrustad med matrisbegreppet kan PM hävda sitt kontroversiella axiom av reducerbarhet: en funktion av en eller två variabler (två är tillräckliga för PM: s användning) där alla dess värden ges (dvs., i sin matris) är (logiskt) ekvivalent (”Xiaomi”) till någon ”predikativ” funktion av samma variabler. Den envariabla definitionen ges nedan som en illustration av notationen (PM 1962:166-167):
12,1 1 .x. f ! X Pp;
Pp är en ”primitiv proposition” (”propositioner antas utan bevis”) (PM 1962:12, dvs samtida ”Axiom”), lägga till de 7 som definieras i avsnitt 1 (börjar med 1.1 modus ponens). Dessa ska skiljas från de ”primitiva ideerna” som inkluderar påståendetecknet ”bisexuell”, negation”~”, logisk eller” V”, begreppen” elementär proposition ”och” elementär propositionsfunktion”; dessa är så nära som PM kommer till regler för notationsbildning, dvs syntax.
detta betyder:”Vi hävdar sanningen om följande: Det finns en funktion f med egenskapen att: med tanke på alla värden på x, är deras utvärderingar i funktion Bisexuell (dvs resulterar i deras matris) logiskt ekvivalent med vissa f utvärderade vid samma värden på x. (och vice versa, därmed logisk ekvivalens)”. Med andra ord: med tanke på en matris bestämd av egenskapsxi applicerad på variabel x, finns det en funktion f som, när den appliceras på x är logiskt ekvivalent med matrisen. Eller: varje matris kan representeras av en funktion f tillämpas på x, och vice versa.
13: identitetsoperatören ”=” : detta är en definition som använder tecknet på två olika sätt, vilket noteras av citatet från PM:
13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y DF
betyder:
” denna definition säger att x och y ska kallas identiska när varje predikativ funktion som är nöjd med x också är nöjd med y … Observera att det andra tecknet på jämlikhet i ovanstående definition kombineras med ”Df”, och är således inte riktigt samma symbol som tecknet på jämlikhet som definieras.”
icke-likhetstecknet ”bisexuell” gör sitt utseende som en definition på 13.02.
14: beskrivningar:
”en beskrivning är en fras av formen ”termen y som uppfyller Macau, där Macau är någon funktion som uppfylls av ett och endast ett argument.”
från denna PM använder två nya symboler, en framåtriktad ” E ”och en inverterad iota ”Xiaomi”. Här är ett exempel:
14.02. E ! (oc. y) (oc .y) (oc. y).= : (
detta har betydelsen:
”Det y-tillfredsställande äpplet existerar”, som gäller när, och endast när det är uppfyllt med ett värde på Y och inget annat värde.”(PM 1967: 173-174)
introduktion till notationen av teorin om klasser och relationerRedigera
texten hoppar från avsnitt 14 i avsnittet direkt till grundavsnitten 20 i den allmänna KLASSTEORIN och 21 i den allmänna RELATIONSTEORIN. ”Relationer” är vad som är känt i samtida uppsättningsteori som uppsättningar av ordnade par. Avsnitten 20 och 22 innehåller många av symbolerna som fortfarande används i modern tid. Dessa inkluderar symboler ”ε”, ”⊂”, ”∩”, ”∪”, ”–”, ”Λ”, och ”V”: ”ε” betyder ”en del av” (PM 1962:188); ”⊂” (✸22.01) betyder ”finns i”, ”är en delmängd av”, ” ∩ ” (✸22.02) innebär korsningen (logisk produkt) av klasser (set); ”∪” (✸22.03) det innebär att unionen (logiska summan) av klasser (set); ”–” (✸22.03) innebär förnekande av en klass (set); ”Λ” innebär null-klass; och ” V ” betyder diskursens universella klass eller universum.
Små grekiska bokstäver (andra än ”ε”, ”ι”, ”π”, ”φ”, ”ψ”, ”c”, och ”q”) representerar klasser (till exempel, ”α”, ”beta”, ”gamma”, ”d”, etc.) (PM 1962:188):
x brasilian”användningen av en enda bokstav i stället för symboler som bisexuell(mexikanskt) eller mexikanskt (mexikanskt)! z) är praktiskt taget nästan oumbärlig, eftersom annars blir notationen snabbt oacceptabelt cumbrous. Således betyder ”X Macau” att ”X är medlem i klassen Macau””. (PM 1962:188) 2BG = vunionen av en uppsättning och dess inversa är den universella (färdiga) uppsättningen. α ∩ –α = ΛThe skärningspunkten mellan ett set och dess invers är null (tomt) set.
när de tillämpas på relationer i Avsnitt 23 i Avsnitt 23″⊂”, ”∩”, ”∪”, och ” – ” skaffa en prick: till exempel: ”oc”, ”oc”.
begreppet och notationen av ”a class ”(set): i den första upplagan hävdar PM att inga nya primitiva ideer är nödvändiga för att definiera vad som menas med” A class”, och endast två nya” primitiva propositioner ” som kallas axiomerna för reducerbarhet för klasser respektive relationer (PM 1962:25). Men innan detta begrepp kan definieras, anser PM att det är nödvändigt att skapa en märklig notation ”Macau(Baccarat)” som det kallar ett ”fiktivt objekt”. (PM 1962:188)
exporterande tillverkare: x exporterande tillverkare (exporterande tillverkare) .≡. ”dvs.” x är medlem i den klass som bestäms av (XXL) ”motsvarar” x uppfyller (XXL), ”eller” (XXL) är sant.'”. (PM 1962:25)
åtminstone PM kan berätta för läsaren hur dessa fiktiva objekt beter sig, för ”en klass är helt bestämd när dess medlemskap är känt, det vill säga det kan inte finnas två olika klasser som har samma medlemskap” (PM 1962: 26). Detta symboliseras av följande jämlikhet (liknande till 13.01 i tabellen ovan:
() () () () () () () (). (x): (x): (x).≡. ”detta sistnämnda är klassernas utmärkande kännetecken och motiverar oss att behandla det som den klass som bestäms av det som anges i detta kapitel.”(PM 1962: 188)
kanske kan ovanstående klargöras genom diskussionen om klasser i Introduktion till den andra upplagan, som förfogar över Reduktionsaxiomet och ersätter det med begreppet: ”alla funktioner i funktioner är förlängningsbara” (PM 1962: xxxix), dvs
⊃. (X): (PM 1962):xxxix)
Detta har den rimliga innebörden att ”OM det för alla x-värden på sanning-värden för funktioner φ och ψ x är likvärdiga, DÅ funktionen ƒ av en viss φẑ och ƒ av ψẑ är likvärdiga.”PM hävdar att detta är”uppenbart”:
” det här är uppenbart, eftersom det bara kan förekomma i 2xug(2xug) genom att ersätta värdena för p, q, r, … i en funktion, och, om det är i en funktion, så ger substitutionen av i en funktion samma sanningsvärde till sanningsfunktionen som substitutionen av i en funktion. Följaktligen finns det inte längre någon anledning att skilja mellan funktionsklasser, för vi har, i kraft av ovanstående, x x x x x x x x x x x.⊃. (x). oj = . ”.
Observera ändringen till jämställdhetsskylten ” = ” till höger. PM fortsätter med att säga att det kommer att fortsätta att hänga på notationen” sackaros(sackaros)”, men detta är bara ekvivalent med sackaros, och detta är en klass. (alla citat: PM 1962: xxxix).