Skala (map)

som bevisas av Gauss Theorema Egregium kan en sfär (eller ellipsoid) inte projiceras på ett plan utan förvrängning. Detta illustreras vanligtvis av omöjligheten att jämna ut en apelsinskal på en plan yta utan att riva och deformera den. Den enda sanna representationen av en sfär i konstant skala är en annan sfär som en jordklot.

Med tanke på den begränsade praktiska storleken på glober måste vi använda kartor för detaljerad kartläggning. Kartor kräver prognoser. En projektion innebär förvrängning: En konstant separation på kartan motsvarar inte en konstant separation på marken. Medan en karta kan visa en grafisk stapelskala måste skalan användas med förståelsen att den bara kommer att vara korrekt på vissa rader på kartan. (Detta diskuteras vidare i exemplen i följande avsnitt.)

låt P vara en punkt på latitude (latitude) {\displaystyle \ varphi}

och Longitude (longitude) {\displaystyle \lambda }

på sfären (eller ellipsoid). Låt q vara en angränsande punkt och låt {\displaystyle \alpha}

vara vinkeln mellan elementet PQ och meridianen vid P: denna vinkel är azimutvinkeln för elementet PQ. Låt P ’och Q’ vara motsvarande punkter på projektionen. Vinkeln mellan riktningen P ’ Q ’ och projiceringen av meridianen är bärningen av bäraren {\displaystyle \beta }

. I allmänhet {\displaystyle \alpha \neq \beta}

. Kommentar: denna exakta skillnad mellan azimut (på jordens yta) och lager (på kartan) observeras inte universellt, många författare använder termerna nästan omväxlande.

Definition: punktskalan vid P är förhållandet mellan de två avstånden P ’ Q ’ och PQ i gränsen som Q närmar sig P. Vi skriver det här som

2BL ( 2BL , XBL , XBL ) = Q Q P P ’ Q ’P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\till p}{\frac {P’Q’} {pq}},}

där notationen indikerar att punktskalan är en funktion av positionen för p och även riktningen för elementet pq.

Definition: om P och Q ligger på samma meridian ( 0 ) {\displaystyle (\alpha = 0)}

, är meridianskalan betecknad med h ( exportorienterad , exportorienterad ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definition: om P och Q ligger på samma parallell ( 2 = 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi / 2)}

, betecknas parallellskalan med K ( 2 , 2 ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definition: om punktskalan bara beror på position, inte på riktning, säger vi att den är isotrop och konventionellt betecknar dess värde i vilken riktning som helst med den parallella skalfaktorn k ( XHamster , TX ) {\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}

.

Definition: en kartprojektion sägs vara konform om vinkeln mellan ett par linjer som skär vid en punkt P är densamma som vinkeln mellan de projicerade linjerna vid den projicerade punkten P’, för alla par linjer som skär vid punkt P. en konform karta har en isotrop skalfaktor. Omvänt innebär isotropa skalfaktorer över kartan en konform projektion.

skalans isotropi innebär att små element sträcks lika i alla riktningar, det vill säga formen på ett litet element bevaras. Detta är egenskapen för ortomorfism (från Grekisk ’rätt form’). Kvalificeringen ’liten’ betyder att vid viss given mätnoggrannhet kan ingen förändring detekteras i skalfaktorn över elementet. Eftersom konforma projektioner har en isotropisk skalfaktor har de också kallats ortomorfa projektioner. Till exempel är Mercator-projektionen konform eftersom den är konstruerad för att bevara vinklar och dess skalfaktor är isotop, en funktion av latitud endast: Mercator bevarar form i små regioner.

Definition: på en konform projektion med en isotrop skala kan punkter som har samma skalvärde förenas för att bilda isoskalelinjerna. Dessa plottas inte på kartor för slutanvändare men de finns i många av standardtexterna. (Se Snyder sidorna 203-206.)

den representativa fraktionen (RF) eller principal scaleEdit

det finns två konventioner som används för att fastställa ekvationerna för varje given projektion. Till exempel kan den ekvirektangulära cylindriska projektionen skrivas som

kartografer: x = a Bisexuell {\displaystyle x=a\lambda }

y = a Bisexuell {\displaystyle y=a\varphi }

matematiker: x = 2 {\displaystyle X=\lambda }

y = 2 {\displaystyle y=\varphi }

Här ska vi anta den första av dessa konventioner (följande användningen i undersökningarna av Snyder). Det är uppenbart att ovanstående projektionsekvationer definierar positioner på en stor cylinder som lindas runt jorden och sedan rullas upp. Vi säger att dessa koordinater definierar projektionskartan som måste särskiljas logiskt från de faktiska tryckta (eller visade) kartorna. Om definitionen av punktskala i föregående avsnitt är i form av projektionskartan kan vi förvänta oss att skalfaktorerna ligger nära enhet. För normala tangent cylindriska projektioner är skalan längs ekvatorn k=1 och i allmänhet ändras skalan när vi flyttar från ekvatorn. Analys av skalan på projektionskartan är en undersökning av förändringen av k bort från dess verkliga värde av enhet.

faktiska tryckta kartor produceras från projektionskartan genom en konstant skalning betecknad med ett förhållande som 1:100m (för hela världskartor) eller 1: 10000 (för t.ex. stadsplaner). För att undvika förvirring i användningen av ordet ’skala’ kallas denna konstantskalfraktion den representativa fraktionen (RF) för den tryckta kartan och den ska identifieras med förhållandet tryckt på kartan. De faktiska tryckta kartkoordinaterna för den ekvirektangulära cylindriska projektionen är

tryckt karta: X = ( rf ) a 2 {\displaystyle X=(RF)a\lambda }

y = ( R f ) a 2 {\displaystyle y=(RF)a\varphi }

denna konvention möjliggör en tydlig åtskillnad mellan den inneboende projektionsskalningen och reduktionsskalningen.

från denna punkt ignorerar vi RF och arbetar med projektionskartan.

visualisering av punktskala: Tissot indicatrixEdit

Tänk på en liten cirkel på jordens yta centrerad vid en punkt P vid latitud displaystyle\varphi }

och longitud 2 {\displaystyle\Lambda }

. Eftersom punktskalan varierar med position och riktning kommer projektionen av cirkeln på projektionen att förvrängas. Tissot visade att så länge förvrängningen inte är för stor kommer cirkeln att bli en ellips på projektionen. I allmänhet kommer ellipsens dimension, form och orientering att förändras över projektionen. Överlagring av dessa distorsionsellipsar på kartprojektionen förmedlar hur punktskalan förändras över kartan. Förvrängnings ellipsen är känd som Tissots indicatrix. Exemplet som visas här är Winkel tripel-projektionen, standardprojektionen för världskartor som gjorts av National Geographic Society. Minsta förvrängning ligger på den centrala meridianen vid breddgrader på 30 grader (norr och söder). (Andra exempel).

punktskala för normala cylindriska utsprång av sfärenredigera

nyckeln till en kvantitativ förståelse av skalan är att överväga ett oändligt element på sfären. Figuren visar en punkt P vid Latitude (latitude) {\displaystyle\varphi }

och longitud (longitude) {\displaystyle\lambda }

på sfären. Punkten Q är vid latitude (latitude): + {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

och longitud (longitud) + {\displaystyle \Lambda +\delta \Lambda }

. Linjerna PK och MQ är bågar av meridianer med längd a {\displaystyle a\,\delta \varphi }

där en {\displaystyle a}

är radien {\displaystyle \varphi }

är i radian mått. Linjerna PM och KQ är bågar med parallella cirklar av längd ( a cos sekund) (a cos sekund) {\displaystyle (a\cos \varphi) \delta \Lambda }

med {\displaystyle \Lambda }

i radian mått. Vid härleda en punkt egenskap hos projektionen vid P det räcker att ta en infinitesimal elementet pmqk av ytan: i gränsen för Q närmar sig P sådant element tenderar att en infinitesimally liten plan rektangel.

normala cylindriska projektioner av sfären har x = ax=a\Lambda och Y {\displaystyle y}

lika med en funktion av latitud endast. Därför projekterar det oändliga elementet PMQK på sfären till ett oändligt element P’ m ’ q ’ k ’ som är en exakt rektangel med en basx0 x = AX {\displaystyle \Delta x=a\,\delta \Lambda }

och höjdx6 {\displaystyle \Delta y}

. Genom att jämföra elementen på sfär och projektion kan vi omedelbart härleda uttryck för skalfaktorerna på paralleller och meridianer. (Behandlingen av skalan i en allmän riktning kan hittas nedan.) parallellt skalfaktorn k = δ x cos ⁡ φ δ (λ) = sek ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sek \varphi \qquad \qquad {}}

meridian skala faktor h = δ och δ φ = y ’( φ ) a {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{en}}}

Observera att den parallella skalfaktorn k = sec {\displaystyle K=\sec \varphi }

är oberoende av definitionen av y ( 0 ) {\displaystyle y(\varphi )}

så det är detsamma för alla normala cylindriska utsprång. Det är användbart att notera att vid latitud 30 grader är parallellskalan k = sek ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k= \ sek 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}}=1.15}

latitud 45 grader parallell skala är k = sek ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sek 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

latitud 60 grader parallell skala är k = sek ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sek 60^{\circ }=2}

latitud 80 grader parallell skala är k = sek ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sek 80^{\circ }=5.76}

vid latitud 85 grader är parallellskalan k = sek 85 kg = 11,5 {\displaystyle k=\sek 85^{\circ }=11,5}

följande exempel illustrerar tre normala cylindriska utsprång och i varje fall variationen i skalan med position och riktning illustreras med hjälp av Tissots indicatrix.

tre exempel på normal cylindrisk projektionedit

den ekvirektangulära projektionedit

den Ekvirektangulära projektionen, även känd som plattan Carr jacobe (franska för ”platt kvadrat”) eller (något vilseledande) den ekvidistanta projektionen, definieras av

X = A kg , {\displaystyle X=a\Lambda,}

y = a kg , {\displaystyle y=a varphi,}

där en {\displaystyle a}

är sfärens radie, är {\displaystyle \lambda }

är longituden från den centrala meridianen av projektionen (här tas som Greenwich meridianen vid exporten = 0 {\displaystyle \Lambda =0}

) och exporten {\displaystyle \varphi }

är latitud. Observera att {\displaystyle \lambda }

och {\displaystyle \varphi }

finns i radianer (erhållen genom att multiplicera gradmåttet med en faktor av

\pi /180). Longituden {\displaystyle \lambda }

ligger i intervallet {\displaystyle }

och latituden {\displaystyle \varphi }

är i intervallet {\displaystyle }

.

sedan y ’( Kubi ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

föregående avsnitt ger parallell skala, k = 2xcu x a cos +cu = sek + cu {\displaystyle \ Quad k \;=\;{\dfrac {\delta x}{a \cos \varphi\, \delta \lambda\,}}=\, \sec \varphi \qquad\qquad {}}

meridianskalan h = XBL y a XBL = 1 {\displaystyle\Quad h\;=\; {\dfrac {\Delta y}{a\, \delta \ varphi \,}}=\,1}

för beräkning av punktskalan i godtycklig riktning se tillägg.

figuren illustrerar Tissot indicatrix för denna projektion. På ekvatorn h = k = 1 och de cirkulära elementen är oförvrängda påprojektion. Vid högre breddgrader förvrängs cirklarna till en ellips som ges genom att sträcka sig endast i parallellriktningen: det finns ingen förvrängning i meridianriktningen. Förhållandet mellan huvudaxeln och minoraxeln är sek (sek) {\displaystyle \sec \varphi }

. Tydligt ökar ellipsens område med samma faktor.

det är lärorikt att överväga användningen av stapelskalor som kan visas på en tryckt version av denna projektion. Skalan är sann (k=1) på ekvatorn så att multiplicera dess längd på en tryckt karta med inversen av RF (eller huvudskalan) ger jordens faktiska omkrets. Stapelskalan på kartan ritas också i sann skala så att överföring av en separation mellan två punkter på ekvatorn till stapelskalan ger rätt avstånd mellan dessa punkter. Detsamma gäller på meridianerna. På en annan parallell än ekvatorn är skalan sek (sek) {\displaystyle \sec \varphi }

så när vi överför en separation från en parallell till barskalan måste vi dela barskalans avstånd med denna faktor för att få avståndet mellan punkterna när de mäts längs parallellen (vilket inte är det sanna avståndet längs en stor cirkel). På en linje med en bäring på t.ex. 45 grader ( millisekunder = 45 millisekunder {\displaystyle \beta =45^{\circ }}

) skalan varierar kontinuerligt med latitud och överföring av en separation längs linjen till stapelskalan ger inte ett avstånd relaterat till det verkliga avståndet på något enkelt sätt. (Se tillägg). Även om vi kunde träna ett avstånd längs denna linje med konstant bär är dess relevans tveksamt eftersom en sådan linje på projektionen motsvarar en komplicerad kurva på sfären. Av dessa skäl måste barskalor på småskaliga kartor användas med stor försiktighet.

Mercator projectionEdit

Mercator-projektionen kartlägger sfären Till en rektangel (i oändlig utsträckning i y {\displaystyle y}

– riktning) med ekvationerna x = ax=a\Lambda\, y=a ln exportorienterad {\displaystyle y = a\ln\vänster}

där A, exportorienterad{\displaystyle\lambda\,}

och {\displaystyle\varphi\,}

är som i föregående exempel. Eftersom y'(exportorienterade ) = sek (exportorienterade) {\displaystyle y'(\varphi) =a\sek \varphi }

skalafaktorerna är: parallellskala K = x cos (exportorienterade) = sek (exportorienterade). {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi \, \ delta \ lambda \,}}=\, \ sec \ varphi .}

meridianskalan h = 6 och A xnumx = sek xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi \,}}=\, \ sec \ varphi .}

i det matematiska tillägget visas att punktskalan i en godtycklig riktning också är lika med SEC exporten {\displaystyle \sec \varphi }

så skalan är isotrop (samma i alla riktningar), dess storlek ökar med latitud som SEC exporten {\displaystyle \sec \varphi }

. I Tissot-diagrammet bevarar varje oändligt cirkulärt element sin form men förstoras mer och mer när latitud ökar.

Lambert ’ s equal area projectionEdit

För normala cylindriska utsprång ger geometrin för de oändliga elementen

(a) tan exporten = a cos exporten a exporten , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \Lambda }{a\,\delta \varphi}},}

(b) brunbrunt . {\displaystyle {\text {(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}

relationen mellan vinklarna β {\displaystyle \beta }

och α {\displaystyle \alpha }

är (c) tan ⁡ β = a sek ⁡ φ y ’ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi)}} \tan \alpha .\ ,}

För Mercator projektion y ’( φ ) = en sek ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sek \varphi }

vilket ger α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

vinklar bevaras. (Knappast förvånande eftersom detta är förhållandet som används för att härleda Mercator). För ekvidistanta och Lambert prognoser vi har y ’( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

och y ’( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }

respektive så relationen mellan α {\displaystyle \alpha }

och β {\displaystyle \beta }

beror på latitud φ {\displaystyle \varphi }

. Beteckna punktskalan vid P när det oändliga elementet PQ gör en vinkel: ({\displaystyle \ alpha \,}

med meridianen med hjälp av: ((()). {\displaystyle \mu _{\alpha }.}

Det ges av förhållandet mellan avstånd: μ α = lim Q → P P Q P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 2 δ φ 2 + 2 cos 2 ⁡ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\till p}{\frac {P Q}{PQ}}=\lim _{Q\till p}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}} {\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}

– Inställningen δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

och ersätta δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

och δ y {\displaystyle \delta y}

från ekvationerna (a) och (b) respektive ger μ α ( φ ) = sek ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha} (\varphi) =\sek \varphi \ vänster.}

för de andra prognoserna än Mercator måste vi först beräkna exporten {\displaystyle \beta }

från exporten {\displaystyle \alpha }

och exporten {\displaystyle \varphi }

med hjälp av ekvation (C), innan vi kan hitta Bisexuell {\displaystyle \Mu _{\Alpha }}

. Till exempel har den ekvirektangulära projektionen y ’= a {\displaystyle y’=a}

så att tan exportorienterade = sec exportorienterade . {\displaystyle \ tan \ beta = \ sek \ varphi \ tan \ alfa .\ ,}