Bei einer Aussage R wird die Aussage \(\sim R\) Negation von R genannt. Wenn R eine komplexe Aussage ist, kann ihre Negation \(\sim R\) oft in einer einfacheren oder nützlicheren Form geschrieben werden. Der Prozess, diese Form zu finden, heißt Negieren R. Beim Beweisen von Theoremen ist es oft notwendig, bestimmte Aussagen zu negieren. Wir untersuchen nun, wie dies zu tun.
Wir haben bereits einen Teil dieses Themas untersucht. DeMorgan’s laws
\(\sim (P \wedge Q) = (\sim P) \vee (\sim Q)\)
\(\sim (P \vee Q) = ( \sim P) \wedge (\sim Q)\)
Vielleicht können Sie \(\sim R\) finden, ohne DeMorgan’s laws aufzurufen. Das ist gut; ihr habt DeMorgan’s Gesetze verinnerlicht und benutzt sie unbewusst.
Es ist nicht der Fall, dass P(x) für alle natürlichen Zahlen x gilt.
\(\sim (\forall x \in X, P(x)) = \exists x \in X, \sim P(x)\)
\(\sim (\exists x \in X, P(x)) = \forall x \in X, \sim P(x)\)
Stellen Sie sicher, dass Sie diese beiden logischen Äquivalenzen verstehen. Sie passen sich unserem alltäglichen Sprachgebrauch an, aber sie legen die Bedeutung mathematisch präzise fest.
\(\sim (P \Rightarrow Q) = P \Keil \sim Q\). (Tatsächlich haben Sie in Übung 12 von Abschnitt 2.6 eine Wahrheitstabelle verwendet, um zu überprüfen, ob diese beiden Aussagen tatsächlich logisch äquivalent sind.)
Das obige Beispiel 2.15 zeigte, wie man eine bedingte Anweisung \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) negiert. Diese Art von Problem kann manchmal in komplexere Negationen eingebettet sein. Siehe Übung 5 unten (und seine Lösung).