Ein Autor stellt fest, dass „die Notation in diesem Werk durch die spätere Entwicklung der Logik im 20.Jahrhundert in dem Maße ersetzt wurde, dass der Anfänger überhaupt Schwierigkeiten hat, SIE zu lesen“; Während ein Großteil des symbolischen Inhalts in moderne Notation umgewandelt werden kann, ist die ursprüngliche Notation selbst „Gegenstand wissenschaftlicher Streitigkeiten“, und einige Notationen „verkörpern substantielle logische Lehren, so dass sie nicht einfach durch zeitgenössische Symbolik ersetzt werden können“.Kurt Gödel kritisierte die Notation scharf: „Es ist zu bedauern, dass dieser ersten umfassenden und gründlichen Darstellung einer mathematischen Logik und der Ableitung der Mathematik daraus die formale Präzision in den Grundlagen (enthalten in ✸1-✸21 von Principia) so sehr fehlt), dass es in dieser Hinsicht einen erheblichen Rückschritt gegenüber Frege darstellt. Was fehlt, ist vor allem eine genaue Aussage über die Syntax des Formalismus. Syntaktische Überlegungen werden auch in Fällen weggelassen, in denen sie für die Stichhaltigkeit der Beweise notwendig sind „.
Dies spiegelt sich im folgenden Beispiel der Symbole „p“, „q“, „r“ und „⊃“ wider, die zur Zeichenfolge „p ⊃ q ⊃ r“ gebildet werden können. PM erfordert eine Definition dessen, was diese Symbolzeichenfolge in Bezug auf andere Symbole bedeutet; In zeitgenössischen Behandlungen hätten die „Formationsregeln“ (syntaktische Regeln, die zu „wohlgeformten Formeln“ führen) die Bildung dieser Zeichenfolge verhindert.
Quelle der Notation: Kapitel I „Vorläufige Erläuterungen zu Ideen und Notationen“ beginnt mit der Quelle der elementaren Teile der Notation (die Symbole =⊃≡-ΛVε und das Punktesystem):“Die Notation angenommen in der vorliegenden Arbeit basiert auf der von Peano, und die folgenden Erklärungen sind zu einem gewissen Grad modelliert auf diejenigen, die er Präfixe zu seinem Formulario Mathematico . Seine Verwendung von Punkten als Klammern wird übernommen, ebenso wie viele seiner Symbole“ (PM 1927: 4). PM änderte Peanos Ɔ in ⊃ und übernahm auch einige von Peanos späteren Symbolen, wie ℩ undτ, und Peanos Praxis, Buchstaben auf den Kopf zu stellen.
PM übernimmt das Assertionszeichen „⊦“ aus Freges Begriffsschrift von 1879:
„(I)t may be read ‚it is true that'“
Um also einen Satz zu behaupten, schreibt p PM:
„⊦. p.“ (PM 1927: 92)
(Beachten Sie, dass der linke Punkt wie im Original quadratisch und größer ist als der Punkt rechts.)
Der größte Teil des Restes der Notation in PM wurde von Whitehead erfunden.
Eine Einführung in die Notation von „Abschnitt A Mathematische Logik“ (Formeln ✸1–✸5.71)Bearbeiten
PM ’s Punkte werden ähnlich wie Klammern verwendet. Jeder Punkt (oder mehrere Punkte) repräsentiert entweder eine linke oder rechte Klammer oder das logische Symbol ∧. Mehr als ein Punkt gibt die „Tiefe“ der Klammern an, z. B. „.“, „:“ oder „:.“, „::“. Die Position der passenden rechten oder linken Klammer wird jedoch nicht explizit in der Notation angegeben, sondern muss aus einigen Regeln abgeleitet werden, die komplex und manchmal mehrdeutig sind. Wenn die Punkte für ein logisches Symbol ∧ stehen, müssen außerdem seine linken und rechten Operanden nach ähnlichen Regeln abgeleitet werden. Zuerst muss man kontextbezogen entscheiden, ob die Punkte für eine linke oder rechte Klammer oder ein logisches Symbol stehen. Dann muss man entscheiden, wie weit die andere entsprechende Klammer ist: hier fährt man fort, bis man entweder eine größere Anzahl von Punkten oder die gleiche Anzahl von Punkten als nächstes trifft, die die gleiche oder größere „Kraft“ haben, oder das Ende der Linie. Punkte neben den Zeichen ⊃, ≡,∨, =Df haben eine größere Kraft als Punkte neben (x), (∃x) usw., die eine größere Kraft haben als Punkte, die ein logisches Produkt anzeigen ∧.
Beispiel 1. Die Zeile
✸3.4. ⊢ : p. q. ⊃ . p ⊃ q
entspricht
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Die beiden Punkte, die unmittelbar nach dem assertion-Zeichen zusammen stehen, zeigen an, dass die gesamte Zeile behauptet wird: da es zwei von ihnen gibt, ist ihr Umfang größer als der eines der einzelnen Punkte zu ihrer Rechten. Sie werden durch eine linke Klammer ersetzt, die dort steht, wo die Punkte stehen, und eine rechte Klammer am Ende der Formel, also:
⊢ (p. q. ⊃ . p ⊃ q).
(In der Praxis werden diese äußersten Klammern, die eine ganze Formel einschließen, normalerweise unterdrückt.) Der erste der einzelnen Punkte, der zwischen zwei Aussagenvariablen steht, stellt die Konjunktion dar. Es gehört zur dritten Gruppe und hat den engsten Anwendungsbereich. Hier wird es durch das moderne Symbol für die Konjunktion „∧“ ersetzt, also
⊢ (p ∧ q. ⊃ . p ⊃ q).
Die beiden verbleibenden einzelnen Punkte markieren den Hauptteil der gesamten Formel. Sie veranschaulichen die Nützlichkeit der Punktnotation bei der Auswahl der Konnektive, die relativ wichtiger sind als die, die sie umgeben. Der linke vom „⊃“ wird durch ein Paar Klammern ersetzt, der rechte geht dahin, wo der Punkt ist, und der linke geht so weit wie möglich nach links, ohne eine Gruppe von Punkten mit größerer Kraft zu kreuzen, in diesem Fall die beiden Punkte, die dem Q-Zeichen folgen, also
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)
Der Punkt rechts vom „⊃“ wird durch eine linke Klammer ersetzt, die dahin geht, wo der Punkt ist, und eine rechte Klammer, die so weit wie möglich nach rechts geht, ohne den bereits durch eine Gruppe von Punkten größerer Stärke festgelegten Rahmen zu überschreiten (in diesem Fall die beiden Punkte, die dem x-Zeichen folgten). Die rechte Klammer, die den Punkt rechts vom „⊃“ ersetzt, wird also vor die rechte Klammer gesetzt, die die beiden Punkte nach dem X-Zeichen ersetzt, also
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Beispiel 2, mit Doppel-, Dreifach- und Vierfachpunkten:
✸9.521. ⊢ : : (∃x). φx . ⊃ . f : ⊃ : . (∃x). φx . v. r : ⊃ . q v r
steht für
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Beispiel 3, mit einem Doppel-Punkt, die ein logisches symbol (aus Band 1, Seite 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
steht für
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
, wo die double dot stellt die logische symbol ∧ und kann angesehen werden als die mit höherer Priorität als ein nicht-logischen Punkt.
Später in Abschnitt ✸14 erscheinen Klammern „“ und in den Abschnitten ✸20 und danach erscheinen Klammern „{ }“. Ob diese Symbole bestimmte Bedeutungen haben oder nur zur visuellen Verdeutlichung dienen, ist unklar. Leider der einzelne Punkt (aber auch „:“, „:.“, „::“ usw.) wird auch verwendet, um „logisches Produkt“ zu symbolisieren (zeitgenössisch logisch UND oft symbolisiert durch „&“ oder „∧“).
Die logische Implikation wird durch Peanos „Ɔ“ vereinfacht zu „⊃“ dargestellt, die logische Negation wird durch eine längliche Tilde symbolisiert, d. H. „~“ (zeitgenössisch „~“ oder „“), das logische ODER durch „v“. Das Symbol „=“ zusammen mit „Df“ wird verwendet, um anzuzeigen, „ist definiert als“, während in den Abschnitten ✸13 und folgenden, „=“ ist definiert als (mathematisch) „identisch mit“, d. h. zeitgenössische mathematische „Gleichheit“ (vgl. diskussion in Abschnitt ✸13). Logische Äquivalenz wird durch „≡“ dargestellt (zeitgenössisch „genau dann, wenn“); „elementare“ Aussagenfunktionen werden auf die übliche Weise geschrieben, z. B. „f (p)“, aber später erscheint das Funktionszeichen direkt vor der Variablen ohne Klammern, z. B. „φx“, „xx“ usw.
Beispiel PM führt die Definition von „logisches Produkt“ wie folgt ein:
✸3.01. p. q.=. In: ~(~p v ~q) Df.wobei „p. q“ ist das logische Produkt von p und q. ✸3.02. p ⊃ q ⊃ r.=. p ⊃ q. q ⊃ r Df.Diese Definition dient lediglich dazu, Beweise abzukürzen. Übersetzung der Formeln in zeitgenössische Symbole: Verschiedene Autoren verwenden alternative Symbole, so dass keine definitive Übersetzung gegeben werden kann. Aufgrund von Kritikpunkten wie der von Kurt Gödel unten werden die besten zeitgenössischen Behandlungen jedoch sehr genau in Bezug auf die „Formationsregeln“ (die Syntax) der Formeln sein.
Die erste Formel könnte wie folgt in moderne Symbolik umgewandelt werden:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
abwechselnd
(p & q) =df ((p v q))
abwechselnd
(p ∧ q) =df ((p v q))
usw.
Die zweite Formel könnte wie folgt konvertiert werden:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Beachten Sie jedoch, dass dies weder (logisch) äquivalent zu (p → (q → r)) noch zu ((p → q) → r) ist, und diese beiden sind auch nicht logisch äquivalent.
Eine Einführung in die Notation von „Abschnitt B Theorie der scheinbaren Variablen“ (Formeln ✸8-✸14.34)Edit
Diese Abschnitte betreffen die sogenannte Prädikatenlogik und die Prädikatenlogik mit Identität (Gleichheit).NB: Aufgrund von Kritik und Fortschritten ersetzt die zweite Ausgabe von PM (1927) ✸9 durch eine neue ✸8 (Anhang A). Dieser neue Abschnitt beseitigt die Unterscheidung der ersten Ausgabe zwischen realen und scheinbaren Variablen und beseitigt „die primitive Idee “ Behauptung einer Aussagenfunktion „. Um die Komplexität der Behandlung zu erhöhen, führt ✸8 den Begriff des Ersetzens einer „Matrix“ und des Sheffer-Schlaganfalls ein:
- Matrix: Im zeitgenössischen Sprachgebrauch ist die Matrix von PM (zumindest für Aussagenfunktionen) eine Wahrheitstabelle, dh alle Wahrheitswerte einer Aussagenfunktion oder Prädikatsfunktion.
- Sheffer-Strich: Ist der zeitgenössische logische NAND (NICHT-UND), d. H. „Inkompatibilität“, was bedeutet:
„Bei zwei Sätzen p und q bedeutet “ p | q “ „Satz p ist mit Satz q unvereinbar“, d. H. Wenn beide Sätze p und q als wahr bewertet werden, dann und nur dann wird p | q als falsch bewertet.“ Nach Abschnitt ✸8 sieht der Sheffer-Strich keine Verwendung. Abschnitt ✸10: Die existentiellen und universellen „Operatoren“: PM fügt „(x)“ hinzu, um die zeitgenössische Symbolik „für alle x“ darzustellen, dh “ ∀x“, und verwendet ein rückwärts serifiertes E, um „es gibt ein x“ darzustellen, dh „(ƎX)“, dh das zeitgenössische „∃x“. Die typische Notation wäre ähnlich der folgenden: „(x) . φx“ bedeutet „für alle Werte der Variablen x ergibt die Funktion φ true“ „(ƎX). φx“ bedeutet „für einen Wert der Variablen x wird die Funktion φ als wahr ausgewertet“
Abschnitte ✸10, ✸11, ✸12: Eigenschaften einer Variablen, die auf alle Individuen ausgedehnt werden: Abschnitt ✸10 führt den Begriff „eine Eigenschaft“ einer „Variablen“ ein. PM gibt das Beispiel: φ ist eine Funktion, die angibt, „ist ein Grieche“, und ψ zeigt an, „ist ein Mann“, und χ zeigt an, „ist ein Sterblicher“ diese Funktionen gelten dann für eine Variable x. PM kann jetzt schreiben und auswerten:
(x) . ψx
Die obige Notation bedeutet „für alle x ist x ein Mann“. Angesichts einer Sammlung von Individuen kann man die obige Formel für Wahrheit oder Falschheit bewerten. Zum Beispiel wird angesichts der begrenzten Sammlung von Individuen {Sokrates, Platon, Russell, Zeus} das Obige als „wahr“ bewertet, wenn wir zulassen, dass Zeus ein Mann ist. Aber es schlägt fehl für:
(x) . φx
weil Russell kein Grieche ist. Und es schlägt für
(x) fehl. xx
weil Zeus kein Sterblicher ist.
Mit dieser Notation können Sie Formeln erstellen, um Folgendes auszudrücken: „Wenn alle Griechen Männer sind und wenn alle Männer Sterbliche sind, dann sind alle Griechen Sterbliche“. (PM 1962:138)
(x) . φ x ⊃ ψ x :(x). ψx ⊃ xx :⊃: (x) . φx ⊃ xx
Ein weiteres Beispiel: die Formel:
✸10.01. (ƎX). φx . = . ~(x) . ~φx Df.
bedeutet „Die Symbole, die die Behauptung „Es gibt mindestens ein x, das die Funktion φ erfüllt“ darstellen, werden durch die Symbole definiert, die die Behauptung „Es ist nicht wahr, dass es bei allen Werten von x keine Werte von x gibt, die φ erfüllen““.
Die Symbole ⊃x und „≡x“ erscheinen bei ✸10.02 und ✸10.03. Beide sind Abkürzungen für Universalität (dh für alle), die die Variable x an den logischen Operator binden. Die zeitgenössische Notation hätte einfach Klammern außerhalb des Gleichheitszeichens („=“) verwendet:
✸10.02 φx ⊃x ψx .=. (x). φx ⊃ ψx dfzeitgemäße Notation: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (oder eine Variante) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). φx ≡ ψx DfKontemporäre Notation: ∀x(φ(x) ↔ ψ(x)) (oder eine Variante)
PM schreibt Peano die erste Symbolik zu.
Abschnitt ✸11 wendet diese Symbolik auf zwei Variablen an. So könnten die folgenden Notationen: ⊃x, ⊃y, ⊃x, y alle in einer einzigen Formel erscheinen.Abschnitt ✸12 führt den Begriff der „Matrix“ (zeitgenössische Wahrheitstabelle), den Begriff der logischen Typen und insbesondere die Begriffe der Funktionen und Sätze erster und zweiter Ordnung wieder ein.
Neue Symbolik „φ ! x“ steht für einen beliebigen Wert einer Funktion erster Ordnung. Wenn ein Zirkumflex „“ über einer Variablen platziert wird, dann ist dies ein „individueller“ Wert von y, was bedeutet, dass „ŷ“ „Individuen“ anzeigt (z. B. eine Zeile in einer Wahrheitstabelle); Diese Unterscheidung ist wegen der Matrix / Extensionalität von Aussagenfunktionen notwendig.
Jetzt mit dem Matrixbegriff ausgestattet, kann PM sein umstrittenes Axiom der Reduzierbarkeit behaupten: eine Funktion von einer oder zwei Variablen (zwei sind ausreichend für PM ’s Verwendung), wo alle seine Werte gegeben sind (dh., in seiner Matrix) ist (logisch) äquivalent („≡“) zu einer „prädikativen“ Funktion derselben Variablen. Die Ein-Variablen-Definition ist unten zur Veranschaulichung der Notation angegeben (PM 1962:166-167):
✸12.1 ⊢: (Ǝ f): φx .≡x. f ! x Pp;
Pp ist ein „Primitiver Satz“ („ohne Beweis angenommene Sätze“) (PM 1962: 12, dh zeitgenössische „Axiome“), der zu den in Abschnitt definierten 7 hinzufügt ✸1 (beginnend mit ✸1.1 modus ponens). Diese sind von den „primitiven Ideen“ zu unterscheiden, die das Behauptungszeichen „⊢“, die Negation „~“, das logische ODER „V“, die Begriffe „Elementarsatz“ und „Elementarsatzfunktion“ enthalten; Diese sind den Regeln der Notationsbildung, dh der Syntax, so nahe wie möglich.
Das bedeutet: „Wir behaupten die Wahrheit des Folgenden: Es gibt eine Funktion f mit der Eigenschaft: Bei allen Werten von x sind ihre Auswertungen in der Funktion φ (dh in ihrer Matrix) logisch äquivalent zu einigen f, die bei denselben Werten von x ausgewertet werden. (und umgekehrt, daher logische Äquivalenz)“. Mit anderen Worten: Bei einer Matrix, die durch die Eigenschaft φ bestimmt wird, die auf die Variable x angewendet wird, existiert eine Funktion f , die, wenn sie auf das x angewendet wird, logisch äquivalent zur Matrix ist. Oder: Jede Matrix φx kann durch eine auf x angewendete Funktion f dargestellt werden und umgekehrt.
✸13: Der Identitätsoperator „=“ : Dies ist eine Definition, die das Zeichen auf zwei verschiedene Arten verwendet, wie aus dem Zitat von PM hervorgeht:
✸13.01. x = y.=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
bedeutet:“Diese Definition besagt, dass x und y identisch zu nennen sind, wenn jede prädikative Funktion, die durch x erfüllt ist, auch durch y erfüllt ist… Beachten Sie, dass das zweite Gleichheitszeichen in der obigen Definition mit „Df“ kombiniert wird und somit nicht wirklich dasselbe Symbol wie das definierte Gleichheitszeichen ist.“
Das Nicht-Gleichheitszeichen „≠“ erscheint als Definition bei ✸13.02.
✸14: Beschreibungen:
„Eine Beschreibung ist eine Phrase der Form „der Begriff y, der φŷ erfüllt, wobei φŷ eine Funktion ist, die durch ein und nur ein Argument erfüllt ist.“
Ab diesem PM werden zwei neue Symbole verwendet, ein vorwärts gerichtetes „E“ und ein umgekehrtes Jota „℩“. Hier ein Beispiel:
✸14.02. E ! ( ℩y) (φy) .=: ( Ǝb):φy . ≡y. y = b Df.
Dies hat die Bedeutung:
„Das y, das φŷ befriedigt, existiert“, was gilt, wenn und nur wenn φŷ durch einen Wert von y und durch keinen anderen Wert erfüllt ist.“ (PM 1967: 173-174)
Einführung in die Notation der Klassen- und Beziehungstheorie
Der Text springt von Abschnitt ✸14 direkt zu den grundlegenden Abschnitten ✸20 ALLGEMEINE THEORIE DER KLASSEN und ✸21 ALLGEMEINE THEORIE DER BEZIEHUNGEN. „Beziehungen“ sind das, was in der zeitgenössischen Mengenlehre als Mengen geordneter Paare bekannt ist. In den Abschnitten ✸20 und ✸22 werden viele der Symbole vorgestellt, die noch heute verwendet werden. Dazu gehören die Symbole „ε“, „⊂“, „∩“, „∪“, „–“, “ Λ“ und „V“: „ε“ bedeutet „ist ein Element von“ (PM 1962:188); „⊂“ (✸22.01) bedeutet „ist enthalten in“, „ist eine Teilmenge von“; „∩“ (✸22.02) bedeutet den Schnittpunkt (logisches Produkt) von Klassen (Mengen); „∪“ (✸22.03) bedeutet die Vereinigung (logische Summe) von Klassen (Mengen); „–“ (✸22.03) bedeutet Negation einer Klasse (Menge); „Λ“ bedeutet die Nullklasse; und „V“ bedeutet die universelle Klasse oder das Universum des Diskurses.
Griechische Kleinbuchstaben (außer „ε“, „τ“, „π“, „φ“, „ψ“, „χ“ und „θ“) repräsentieren Klassen (z. B. „α“, „β“, „γ“, „δ“ usw.) (PM 1962:188):
x ε α“Die Verwendung eines einzelnen Buchstabens anstelle von Symbolen wie ẑ(φz) oder ẑ(φ ! z) ist praktisch fast unverzichtbar, da sonst die Notation schnell unerträglich sperrig wird. Somit bedeutet “ x ε α“ “ x ist ein Mitglied der Klasse α“. (PM 1962: 188) α ∪ –α = vDie Vereinigung einer Menge und ihrer Umkehrung ist die universelle (abgeschlossene) Menge. α ∩ -α = ΛDer Schnittpunkt einer Menge und ihrer Umkehrung ist die null (leere) Menge.
Bei Anwendung auf Relationen in Abschnitt ✸23 RELATIONSRECHNUNG werden die Symbole „⊂“, „∩“, „∪“, und „-“ erwerben Sie einen Punkt: zum Beispiel: „⊍“, „∸“.Der Begriff und die Notation von „einer Klasse“ (Menge): In der ersten Ausgabe behauptet PM, dass keine neuen primitiven Ideen notwendig sind, um zu definieren, was mit „einer Klasse“ gemeint ist, und nur zwei neue „primitive Sätze“, die Axiome der Reduzierbarkeit für Klassen bzw. Bevor dieser Begriff jedoch definiert werden kann, hält es PM für notwendig, eine eigenartige Notation „ẑ(φz)“ zu erstellen, die es als „fiktives Objekt“ bezeichnet. (PM 1962:188)
⊢: x ε ẑ(φ z) .≡. (φx)“dh ‚ x ist ein Mitglied der durch (φẑ) bestimmten Klasse‘ entspricht ‚ x erfüllt (φẑ)‘ oder ‚(φx) ist wahr.'“. (PM 1962: 25)
Zumindest PM kann dem Leser sagen, wie sich diese fiktiven Objekte verhalten, denn „Eine Klasse ist völlig bestimmt, wenn ihre Zugehörigkeit bekannt ist, das heißt, es kann nicht zwei verschiedene Klassen geben, die dieselbe Zugehörigkeit haben“ (PM 1962: 26). Dies wird durch die folgende Gleichheit symbolisiert (ähnlich ✸13.01 oben:
ẑ(φz) = ẑ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx“Dies letzte ist das Unterscheidungsmerkmal der Klassen und rechtfertigt uns, ẑ(ψz) als die durch ψ determined bestimmte Klasse zu behandeln.“ (PM 1962: 188)
Vielleicht kann das Obige durch die Diskussion der Klassen in der Einführung in die zweite Ausgabe klarer gemacht werden, die über das Axiom der Reduzierbarkeit verfügt und es durch den Begriff ersetzt: „Alle Funktionen von Funktionen sind erweiterbar“ (PM 1962: xxxix), dh φx ≡x ψx .⊃. (x): ƒ(φẑ) ≡ ƒ(ψẑ) (PM 1962:xxxix)
Dies hat die vernünftige Bedeutung, dass „WENN für alle Werte von x die Wahrheitswerte der Funktionen φ und ψ von x äquivalent sind, DANN sind die Funktion ƒ eines gegebenen φẑ und ƒ von ψẑ äquivalent.“ PM behauptet, dies sei „offensichtlich“:
„Dies ist offensichtlich, da φ nur in ƒ(φẑ) durch die Substitution von Werten von φ für p, q, r, … in einer Funktion, und wenn φx ≡ ψx, die Substitution von φx für p in einer Funktion gibt der Wahrheitsfunktion den gleichen Wahrheitswert wie die Substitution von ψx. Folglich gibt es keinen Grund mehr, zwischen Funktionsklassen zu unterscheiden, denn wir haben kraft des Obigen φx ≡x ψx .⊃. (x). φẑ = . ψẑ“.
Beachten Sie die Änderung des Gleichheitszeichens „=“ rechts. PM fährt fort zu sagen, dass es weiterhin an der Notation „ẑ (φz)“ hängen wird, aber dies ist lediglich äquivalent zu φẑ, und dies ist eine Klasse. (alle Zitate: PM 1962:xxxix).