kuten Gaussin teoreema Egregium todistaa, pallopintaa (tai ellipsoidia) ei voi projisoida tasolle ilman vääristymiä. Tätä kuvaa yleisesti se, ettei appelsiininkuorta voi tasoittaa tasaiselle pinnalle repimättä ja vääristämättä sitä. Ainoa todellinen esitys pallosta vakioasteikolla on toinen pallo, kuten maapallo.
koska karttapallojen käytännön koko on rajallinen, meidän on käytettävä karttoja yksityiskohtaiseen kartoitukseen. Kartat vaativat ennusteita. Projektio merkitsee vääristymistä: Jatkuva erottaminen kartalla ei vastaa jatkuvaa eroa maassa. Vaikka kartta voi näyttää graafisen pylväsasteikon, asteikkoa on käytettävä ymmärtäen, että se on tarkka vain joillakin kartan riveillä. (Tätä käsitellään tarkemmin seuraavissa jaksoissa olevissa esimerkeissä.)
olkoon P piste leveysasteella φ {\displaystyle \varphi}
ja pituusasteella λ {\displaystyle \lambda }
pallolla (tai ellipsoidilla). Olkoon Q naapuripiste ja olkoon α {\displaystyle \alpha }
alkuaineen PQ ja pituuspiirin välinen kulma pisteessä P: tämä kulma on alkuaineen PQ atsimuuttikulma. Olkoon P’ ja Q ’ vastaavat pisteet projektiossa. Suunnan P’ Q ’ ja pituuspiirin projektion välinen kulma on laakeri β {\displaystyle \beta }
. Yleisesti α ≠ β {\displaystyle \alpha \neq \beta }
. Kommentti: tätä tarkkaa eroa atsimuutin (maan pinnalla) ja laakerin (kartalla) välillä ei ole yleisesti havaittu, ja monet kirjoittajat käyttävät näitä termejä lähes keskenään.
määritelmä: pisteasteikko pisteessä P on kahden etäisyyden P’ Q ’ ja PQ suhde rajassa, jota Q lähestyy P. Kirjoitamme tämän seuraavasti:
μ ( λ , φ , α ) = Lim Q → P”Q”P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to p}{\frac {P ’Q’} {PQ}},}
missä notaatio osoittaa, että pisteasteikko on funktio p: n asemasta ja myös alkuaineen pq suunnasta.
määritelmä: jos P ja Q sijaitsevat samalla pituuspiirillä ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}
, merkitään pituusasteikkoa h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}
.
määritelmä: jos P ja Q ovat samalla leveyspiirillä ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}
, rinnakkaisasteikkoa merkitään k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}
.
määritelmä: jos pisteasteikko riippuu vain sijainnista, ei suunnasta, sanomme , että se on isotrooppinen ja merkitään sen arvo tavanomaisesti missä tahansa suunnassa rinnakkaisella asteikkokertoimella k ( λ, φ ) {\displaystyle k(\lambda, \varphi )}
.
määritelmä: karttaprojektio sanotaan konformaaliseksi, jos pisteessä P leikkaavien janaparien välinen kulma on sama kuin projisoitujen janojen välinen kulma projisoidussa pisteessä P’, kaikille pisteessä P leikkaaville janapareille.konformisella kartalla on isotrooppinen mittakerroin. Vastaavasti isotrooppiset mittakertoimet eri puolilla karttaa merkitsevät konformista projektiota.
mittakaavan Isotropia tarkoittaa, että pienet alkuaineet venyvät tasaisesti kaikkiin suuntiin, eli pienen alkuaineen muoto säilyy. Tämä on ortomorfismin ominaisuus (kreikan sanasta ”oikea muoto”). ’Pieni’ tarkoittaa sitä, että jossakin tietyssä mittaustarkkuudessa ei voida havaita muutosta mittakertoimessa elementin yläpuolella. Koska konformisilla projektioilla on isotrooppinen mittakerroin, niitä on kutsuttu myös ortomorfisiksi projektioiksi. Esimerkiksi Mercatorin projektio on konforminen, koska se on konstruoitu kulmien säilyttämiseksi ja sen mittakerroin on isotooppinen, vain leveysasteen funktio: Mercator säilyttää muodon pienillä alueilla.
määritelmä: konformisessa projektiossa, jossa on isotrooppinen asteikko, voidaan liittää pisteitä, joilla on sama asteikon arvo, muodostaen isoscale-viivat. Näitä ei ole piirretty loppukäyttäjille tarkoitettuihin karttoihin, mutta ne esiintyvät monissa standarditeksteissä. Snyder s. 203-206.)
edustava murtoluku (RF) tai pääasiallinen skaalaedit
on olemassa kaksi konventiota, joita käytetään minkä tahansa projektion yhtälöiden määrittämisessä. Esimerkiksi ekirektangulaarinen lieriöprojektio voidaan kirjoittaa
kartografeina: x = A λ {\displaystyle x=a\lambda }
y = a φ {\displaystyle y=a\varphi }
matemaatikot: x = λ {\displaystyle x=\lambda }
y = φ {\displaystyle y=\varphi }
tässä otetaan käyttöön ensimmäinen näistä konventioista (seuraavat käyttö kyselyissä Snyder). On selvää, että yllä olevat projektio yhtälöt määrittelevät paikat valtavalle lieriölle, joka on kiedottu maan ympärille ja sitten rullattu auki. Sanomme, että nämä koordinaatit määrittelevät projektiokartan, joka on erotettava loogisesti varsinaisista painetuista (tai tarkastelluista) kartoista. Jos edellisen osan pisteasteikon määritelmä on projektiokartan kannalta, voimme odottaa mittakertoimien olevan lähellä yhtenäisyyttä. Normaaleissa tangenttimaisissa lieriöprojektioissa asteikko päiväntasaajaa pitkin on K=1 ja yleensä asteikko muuttuu päiväntasaajalta pois siirryttäessä. Mittakaavan analyysi projektiokartalla on tutkimus K: n muutoksesta pois sen todellisesta ykseyden arvosta.
varsinaiset painetut kartat tuotetaan projektiokartasta vakiomittauksella, jota merkitään suhdeluvulla, kuten 1:100m (koko maailman kartoilla) tai 1:10000 (esimerkiksi asemakaavoilla). Jotta vältettäisiin sekaannus sanan ”asteikko” käytössä, tätä vakiomittaista murtolukua kutsutaan painetun kartan edustavaksi murtoluvuksi (RF), ja se on samaistettava karttaan painettuun suhdelukuun. Ekirektangulaarisen lieriöprojektion varsinaiset painetut karttakoordinaatit ovat
painettu kartta: x = ( R F ) A λ {\displaystyle x=(RF)a\lambda }
y = ( RF ) a φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }
tässä menetelmässä voidaan erottaa selvästi luontainen projektioasteikko ja reduktioasteikko.
tästä pisteestä sivuutetaan RF ja työstetään projektiokarttaa.
Pisteasteikon visualisointi: Tissot indicatrixEdit
pitää pientä ympyrää maan pinnalla keskipisteenä pisteessä P leveysasteella φ {\displaystyle \varphi }
ja longitude λ {\displaystyle \Lambda }
. Koska pisteasteikko vaihtelee sijainnin ja suunnan mukaan, projektiossa olevan ympyrän projektio vääristyy. Tissot todisti, että niin kauan kuin vääristymä ei ole liian suuri, ympyrästä tulee projektiossa ellipsi. Yleensä ellipsin ulottuvuus, muoto ja suunta muuttuvat projektiossa. Näiden särös ellipsien asettaminen karttaprojektioon kertoo, miten pisteasteikko muuttuu kartan päällä. Särön ellipsi tunnetaan nimellä Tissot ’ n indicatrix. Esimerkkinä tästä on Winkel tripelin projektio, National Geographic Societyn laatima maailmankarttojen standardiprojektio. Pienin vääristymä on keskimeridiaanilla 30 asteen leveysasteilla (pohjoisessa ja etelässä). (Muita esimerkkejä).
Pisteasteikko sfereeditin normaaleille lieriöprojektioille
mittakaavan kvantitatiivisen ymmärtämisen avain on tarkastella infinitesimaalista elementtiä pallolla. Kuvassa on piste P leveysasteella φ {\displaystyle \varphi }
ja pituusasteella λ {\displaystyle \lambda }
pallolla. Piste Q on leveysasteella φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }
ja pituusasteella λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\Delta \lambda }
. Janat PK ja MQ ovat pituudeltaan a δ φ {\displaystyle A\,\Delta \varphi }
missä A {\displaystyle a}
on pallon säde ja φ {\displaystyle \varphi }
on radiaanimittana. Janat PM ja KQ ovat pituudeltaan ( a cos φ φ ) δ λ {\displaystyle (A\cos \varphi )\Delta \lambda }
With λ {\displaystyle \lambda }
radiaanimittana. Johtaessaan pisteen ominaisuus projektio p se riittää ottamaan äärettömän pieni elementti pmqk pinta: raja Q lähestyy P tällainen elementti pyrkii äärettömän pieni tasomainen suorakulmio.
pallon normaalit lieriöprojektiot ovat x = A λ {\displaystyle x=a\lambda}
ja Y {\displaystyle y}
yhtä suuri kuin pelkkä leveysasteen funktio. Näin ollen pallon äärettömän pieni elementti PMQK projisoituu äärettömän pieneksi elementiksi P’ Q ’ K, joka on tarkka suorakulmio, jonka pohja δ x = δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }
ja korkeus δ y {\displaystyle \delta y}
. Vertaamalla elementtejä pallon ja projektio voimme heti päätellä lausekkeet asteikko tekijät parallels ja meridiaaneja. (Asteikon käsittely yleisessä suunnassa löytyy alla.) parallel scale factor k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
Meridian scale factor h = δ ja δ φ = Y ’( φ ) A {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}
huomaa, että rinnakkainen asteikkokerroin k = sec φ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
on riippumaton määritelmän y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}
, joten se on sama kaikille normaaleille lieriöprojektioille. On hyödyllistä huomata, että leveysasteella 30 astetta rinnakkainen asteikko on k = sec 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k=\sec 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}}=1.15}
leveys 45 astetta rinnakkain mittakaava on k = s 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\45 sec^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}
leveys 60 astetta rinnakkain mittakaava on k = s 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\60 sec^{\circ }=2}
leveys-80 astetta rinnakkain mittakaava on k = s 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}
leveysasteella 85 astetta rinnakkainen asteikko on k = sec 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}
seuraavat esimerkit kuvaavat kolmea normaalia lieriöprojektiota ja kussakin tapauksessa asteikon vaihtelua sijainnin kanssa ja suuntaa kuvaa Tissot ’ n indicatrixin käyttö.
kolme esimerkkiä normaalista lieriömäisestä projektioedistä
ekirektangulaarinen projektioedit
ekirektangulaarinen projektio, joka tunnetaan myös nimellä levy Carrée (ranskaksi ”tasainen neliö”) tai (hieman harhaanjohtavasti) tasaprojektio, määritellään
x = A λ , {\displaystyle x=a\Lambda,}
y = a φ , {\displaystyle y=a\varphi,}
missä {\displaystyle A}
on pallon säde, λ {\displaystyle \lambda }
on pituuspiiri projektion keskusmeridiaanista (tässä Greenwichin meridiaaniksi on otettu λ = 0 {\displaystyle \Lambda =0}
) ja φ {\displaystyle \varphi }
on leveyspiiri. Huomaa, että λ {\displaystyle \lambda }
ja φ {\displaystyle \varphi }
ovat radiaaneina (saadaan kertomalla astemitta kertoimella π {\displaystyle \pi }
/180). Pituusaste λ {\displaystyle \lambda }
on alueella {\displaystyle }
ja leveysaste φ {\displaystyle \varphi }
on alueella {\displaystyle }
.
koska y ”(φ ) = 1 {\displaystyle y ” (\varphi) =1}
edellinen jakso antaa rinnakkaisasteikon, k = δ x a cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\Delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
pituusasteikko h = δ y a δ φ = 1 {\displaystyle \Quad h\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}
pisteasteikon laskeminen mielivaltaiseen suuntaan katso lisäys.
luku kuvaa Tissot indicatrixia tälle projektiolle. Päiväntasaajalla h=k=1 ja kehäelementit ovat vääristymättömiä projektiossa. Korkeammilla leveysasteilla ympyrät vääristyvät ellipsiksi, joka saadaan venymällä vain yhdensuuntaisesti:pituuspiirissä ei ole säröä. Pääakselin ja molliakselin suhde on sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
. Ellipsin pinta-ala kasvaa selvästi samalla kertoimella.
on opettavaista tarkastella tämän projektion painetussa versiossa mahdollisesti esiintyvien tankoasteikkojen käyttöä. Asteikko on tosi (k=1) päiväntasaajalla siten, että kertomalla sen pituus painetussa kartassa RF: n (eli pääasteikon) käänteisluvulla saadaan maapallon todellinen ympärysmitta. Kartassa oleva viiva-asteikko piirretään myös todelliseen asteikkoon siten, että kahden päiväntasaajalla olevan pisteen eron siirtäminen viiva-asteikolle antaa oikean etäisyyden näiden pisteiden välille. Sama pätee meridiaaneihin. Muulla leveyspiirillä kuin päiväntasaajalla asteikko on sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi }
, joten siirtäessämme erotusta leveyspiirille meidän on jaettava tankoasteikon etäisyys tällä kertoimella, jotta saadaan pisteiden välinen etäisyys mitattuna leveyspiiriä pitkin (joka ei ole todellinen etäisyys isoa ympyrää pitkin). Viivalla, jonka kantavuus on vaikkapa 45 astetta (β = 45 ∘ {\displaystyle \beta = 45^{\circ }}
) asteikko vaihtelee jatkuvasti leveysasteen mukaan, eikä erotuksen siirtäminen viivaa pitkin bar-asteikolle anna todelliseen etäisyyteen liittyvää etäisyyttä millään yksinkertaisella tavalla. (Mutta katso lisäys). Vaikka voisimme selvittää etäisyys pitkin tätä linjaa jatkuva ottaen sen merkitys on kyseenalainen, koska tällainen linja projektio vastaa monimutkainen käyrä alalla. Näistä syistä pienimuotoisissa kartoissa on käytettävä harkkoasteikkoja erittäin varovaisesti.
Mercatorin projektioedit
Mercatorin projektio kartoittaa pallon suorakulmioksi (äärettömästi y {\displaystyle y}
-suuntaan) yhtälöillä x = A λ {\displaystyle x=a\lambda \,}
y = a Ln {\displaystyle y=a\Ln \Left}
missä A, λ {\displaystyle \lambda \,}
ja φ {\displaystyle \varphi \,}
ovat kuten edellisessä esimerkissä. Koska y ’(φ )=sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi)=a\sec \varphi }
asteikkokertoimet ovat: rinnakkaisasteikko k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi \, \delta \lambda \,}}=\, \ sec \varphi .}
pituusasteikko h = δ Ja δ φ = sec φ φ . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\Delta y} {a\, \ delta \ varphi \,}}=\, \ sec \ varphi .}
matemaattisessa lisäyksessä osoitetaan, että pisteasteikko mielivaltaisessa suunnassa on myös yhtä suuri kuin sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
joten asteikko on isotrooppinen (sama kaikissa suunnissa), sen suuruus kasvaa leveysasteen mukaan sec φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
. Tissot-diagrammissa jokainen infinitesimaalinen ympyräelementti säilyttää muotonsa, mutta laajenee yhä enemmän leveysasteen kasvaessa.
Lambertin equal area projectionEdit
Lambertin tasa-alueprojektio kartoittaa pallon äärellinen suorakulmio yhtälöiden
x = A λ y = a sin φ φ {\displaystyle x=A\Lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi}
missä A, λ {\displaystyle \Lambda}
ja φ {\displaystyle \varphi }
ovat kuten edellisessä esimerkissä. Koska y ’( φ ) = cos φ φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }
asteikkotekijät ovat rinnakkaisasteikko k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle \Quad k\;=\;{\dfrac {\Delta X}{a\cos \varphi \,\Delta \Lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
meridian scale h = δ y a δ φ = cos φ φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\Delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }
pisteasteikon laskeminen mielivaltaiseen suuntaan on esitetty alla.
pysty-ja vaaka-asteikot kompensoivat nyt toisensa (hk=1) ja Tissot-diagrammissa jokainen äärettömän pieni ympyräelementti vääristyy ellipsiksi, jonka pinta-ala on sama kuin päiväntasaajan vääristymättömät ympyrät.
asteikkotekijöiden kuvaajat
kuvaaja esittää edellä mainittujen kolmen esimerkin mittakertoimien vaihtelun. Ylimmässä kuvaajassa on isotrooppinen Mercatorin asteikkofunktio: asteikko leveyspiirillä on sama kuin asteikko pituuspiirillä. Muut kuvaajat esittävät pituuspiirin mittakertoimen Ekvirektangulaariselle projektiolle (h=1) ja Lambertin ekvivalenttiselle pinta-alaprojektiolle. Näillä kahdella viimeisellä projektiolla on samansuuntainen asteikko, joka on identtinen Mercatorin tontin kanssa. Lambertin mukaan leveysasteikko (kuten Mercator a) kasvaa leveysasteella ja pituusasteikko (C) pienenee leveysasteella siten, että HK=1, mikä takaa alueen säilymisen.
asteikon vaihtelu Mercatorin projektiolla
Mercatorin pisteasteikko on ykseys päiväntasaajalla, koska se on sellainen, että sen rakentamisessa käytetty apusylinteri sivuaa maata päiväntasaajalla. Tästä syystä tavallista projektiota tulisi kutsua tangenttiprojektioksi. Asteikko vaihtelee leveysasteen mukaan siten, että K = sec φ φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
. Koska sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi }
pyrkii äärettömyyteen lähestyessämme napoja, Mercatorin kartta on räikeästi vääristynyt korkeilla leveysasteilla ja tästä syystä projektio on täysin sopimaton maailmankartoille (ellemme puhu navigoinnista ja loksodromeista). Kuitenkin noin 25 asteen leveysasteella arvon sec φ φ {\displaystyle \sec \ varphi }
on noin 1.1 joten Mercator on tarkka sisällä 10%, kaistale leveys 50 astetta keskitetty päiväntasaajalla. Kapeammat nauhat ovat parempia: kaistale, jonka leveys on 16 astetta (keskellä päiväntasaajaa), on tarkka 1%: n tai 1 osan 100: sta tarkkuudella.
hyvien suurten karttojen vakiokriteeri on, että tarkkuuden tulisi olla 4 osan sisällä 10 000: ssa eli 0,04%, mikä vastaa k = 1.0004 {\displaystyle k=1.0004}
. Koska SEC φ φ {\displaystyle \sec \varphi }
saavuttaa tämän arvon asteikolla φ = 1.62 {\displaystyle \varphi =1,62}
astetta (katso alla oleva kuva, punainen viiva). Siksi tangentti Mercatorin projektio on erittäin tarkka 3,24 asteen leveydellä päiväntasaajalla. Tämä vastaa pohjois-etelä-välimatkaa noin 360 km (220 mi). Tässä nauhassa Mercator on erittäin hyvä, erittäin tarkka ja muoto säilyttää, koska se on conformal (kulma säilyttää). Nämä havainnot saivat aikaan poikittaisten Mercatorin projektioiden kehittämisen, jossa pituuspiiriä käsitellään projektion ”kuin päiväntasaajaa” niin, että saadaan tarkka kartta kapealla etäisyydellä kyseisestä pituuspiiristä. Tällaiset kartat ovat hyviä maissa linjassa lähes pohjois-etelä (kuten Iso-Britannia) ja joukko 60 tällaisia karttoja käytetään Universal Transverse Mercator (UTM). Huomaa, että näissä molemmissa projektioissa (jotka perustuvat erilaisiin ellipsoideihin) X: n ja y: n muunnosyhtälöt ja mittakertoimen lauseke ovat sekä leveys-että pituusasteen monimutkaisia funktioita.
Sekanttiprojektio
sekanttiprojektion perusidea on, että pallo projisoidaan lieriöön, joka leikkaa pallon kahtena suunnikkaana, sanotaan φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
pohjoiseen ja etelään. On selvää, että asteikko on nyt totta näillä leveysasteilla, kun taas parallels alla näillä leveysasteilla on supistunut projektio ja niiden (rinnakkainen) mittakaavassa tekijä on pienempi kuin yksi. Tuloksena on, että asteikon poikkeama yhtenäisyydestä pienenee laajemmilla leveysasteilla.
esimerkkinä voidaan määritellä yksi mahdollinen sekantti Mercatorin projektio
x = 0,9996 a λ y = 0,9996 a Ln ( tan ( π 4 + φ 2 ) ) . {\displaystyle x=0,9996 a\lambda \qquad \qquad y=0,9996 a\Ln \left (\tan \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}
numeeriset kertojat eivät muuta projektion muotoa, mutta se tarkoittaa asteikkokertoimien muuttumista:
sekantti Mercatorin asteikko, k = 0,9996 sek φ φ . {\displaystyle \quad k\; = 0,9996\sec \ varphi .}
näin
- asteikko päiväntasaajalla on 0,9996,
- asteikko on K = 1 φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
missä sec φ φ 1 = 1 / 0, 9996 = 1, 00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}
siten, että φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}
astetta,
k=1.0004 leveysasteella φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} antanut sec φ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}
, jolle φ 2 = 2,29 tuki on {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}
astetta. Näin ollen projektiolla on 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}
, eli 0,04%: n tarkkuus leveämmällä 4,58 asteen kaistaleella (verrattuna tangenttimuodon 3,24 asteeseen).
tätä kuvaa edellisen osan kuvassa oleva alempi (vihreä) käyrä.
tällaisia korkean tarkkuuden kapeita vyöhykkeitä käytetään UTM: ssä ja brittiläisessä OSGB-projektiossa, jotka molemmat ovat sekantti, poikittainen Mercator ellipsoidilla asteikon ollessa keskusmeridiaanivakiolla K 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}
. Isoscale linjat K = 1 {\displaystyle k=1}
ovat hieman kaarevat linjat noin 180 km itään ja länteen keskimeridiaanista. Mittakertoimen suurin arvo on 1.001 UTM: lle ja 1.0007 OSGB: lle.
yksikköasteikon linjat leveysasteella φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
(Pohjois-ja Etelä), joissa lieriöprojektiopinta leikkaa pallon, ovat sekanttiprojektion vakioparametrit.
kun taas kapea kaista / k − 1 | < 0.0004 {\displaystyle |k-1|<0.0004}
on tärkeä korkean tarkkuuden kartoituksessa suuressa mittakaavassa, sillä maailmankartoissa käytetään paljon laajempia, toisistaan väljempiä standardiparallisuuksia mittakaavan vaihtelun hallitsemiseksi. Esimerkkejä ovat
- Behrmann standardiparallisuuksilla 30N, 30s.
- Gall yhtä suuri alue standardiparallisuuksilla 45N, 45S.
jälkimmäisten asteikkokäyrät on esitetty alla verrattuna Lambertin yhtä suureen pinta-alan asteikkokertoimiin. Jälkimmäisessä päiväntasaaja on yhden standardin yhdensuuntainen ja yhdensuuntainen asteikko kasvaa K=1: stä kompensoidakseen pituusasteikon pienenemisen. Gall-asteikkoa pienennetään päiväntasaajalla (arvoon k=0,707), kun taas pituusasteikkoa kasvatetaan (arvoon k=1,414). Tämä aiheuttaa Gall-Petersin projektiossa karkean muotovääristymän. (Maapallolla Afrikka on suunnilleen yhtä pitkä kuin se on laaja). Huomaa, että pituuspiiri ja yhdensuuntaiset asteikot ovat molemmat yhtenäisiä standardiparalleilla.
matemaattinen addendumEdit
normaaleille lieriöprojektioille infinitesimaalisten elementtien geometria antaa
(a) tan α α = a cos φ φ δ λ A δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \Alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\Delta \Lambda }{a\,\delta \varphi}},}
(b) tan β = δ x δ y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text {(B)}}\quad \tan \beta ={\frac {\Delta x} {\Delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda} {\delta y}}.}
kulmien β {\displaystyle \beta }
ja α {\displaystyle \alpha }
on (C) tan β β = A Sec φ φ y ” (φ ) tan α α . {\displaystyle {\text{(C)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi)}} \tan \alpha .\ ,}
Mercatorin projektiolle y”(φ ) = a sec φ φ {\displaystyle y”(\varphi )=a\sec \varphi }
antaen α = β {\displaystyle \alpha =\beta }
: kulmat säilyvät. (Tuskin yllättävää, koska tämä on suhteessa käytetään saada Mercator). Tasavälisille ja Lambertin projektioille saadaan y”(φ ) = A {\displaystyle y”(\varphi )=a}
ja y”(φ ) = A cos φ φ {\displaystyle y”(\varphi )=a\cos \varphi }
vastaavasti α {\displaystyle \Alpha }
ja β {\displaystyle \beta }
riippuu leveysasteesta φ {\displaystyle \varphi }
. Merkitään pisteasteikko pisteessä P, kun äärettömän pieni elementti PQ tekee kulman α {\displaystyle \alpha \,}
pituuspiirillä μ α . – en tiedä.}
se saadaan etäisyyksien suhteesta: μ α = Lim Q → P P ” Q ” P Q = Lim Q → P δ x 2 + δ Y 2 a 2 δ φ 2 + A 2 cos 2 φ φ δ λ 2 . {\displaystyle \Mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P Q}{pq}}=\Lim _{Q\to p}{\frac {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} {\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2} – Mitä?}
asetus δ x = A δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }
ja korvaava δ φ {\displaystyle \delta \varphi }
ja δ y {\displaystyle \Delta y}
yhtälöistä (A) ja (B) vastaavasti saadaan μ α ( φ ) = sec φ φ . {\displaystyle \mu _{\alpha } (\varphi) = \sec \varphi \left.}
muille projektioille kuin Mercatorille on ensin laskettava β {\displaystyle \beta }
α {\displaystyle \alpha }
ja φ {\displaystyle \varphi }
käyttäen yhtälöä (C), ennen kuin saadaan μ α {\displaystyle \Mu _{\Alpha }}
. Esimerkiksi ekirektangulaarisessa projektiossa on y’ = A {\displaystyle y’=a}
niin, että tan β β = sec φ φ tan α . {\displaystyle \tan \ beta = \sec \ varphi \tan \alpha .\ ,}
