eräs kirjoittaja toteaa, että ”logiikan myöhempi kehitys 1900-luvulla on syrjäyttänyt tuon teoksen notaation siinä määrin, että aloittelijan on vaikea lukea PM: ää lainkaan”; vaikka suuri osa symbolisesta sisällöstä voidaan muuntaa nykyaikaiseksi notaatioksi, alkuperäinen notaatio itsessään on ”tieteellisen kiistan aihe”, ja jotkut notaatiot ”sisältävät aineellisia loogisia oppeja, joten sitä ei voida yksinkertaisesti korvata contemporary symbolics”.
Kurt Gödel arvosteli ankarasti nuottikirjoitusta:
”on valitettavaa, että tämä ensimmäinen kattava ja perusteellinen esitys matemaattisesta logiikasta ja matematiikan johtamisesta siitä puuttuu niin suuresti muodollinen tarkkuus perustuksissa (sisältyy Principian kirjaan ✸1-✸21), että se edustaa tässä suhteessa huomattavaa askelta taaksepäin Fregeen verrattuna. Ennen kaikkea puuttuu formalismin syntaksin tarkka toteamus. Syntaktiset näkökohdat jätetään pois myös silloin, kun ne ovat tarpeen todisteiden vakuuttavuuden kannalta”.
Tämä näkyy alla olevassa esimerkissä symboleista ”p”, ”q”, ”r” ja”⊃”, jotka voidaan muodostaa merkkijonoksi ”p ⊃ q r r”. PM vaatii määrittelyn siitä, mitä tämä symbolijono tarkoittaa muiden symbolien suhteen; aikalaiskäsittelyissä ”muodostumissäännöt” (syntaktiset säännöt, jotka johtavat ”hyvin muodostettuihin kaavoihin”) olisivat estäneet tämän merkkijonon muodostumisen.
notaation lähde: I luku ”ideoiden ja notaatioiden alustavat selitykset” alkaa notaation alkeisosien lähteellä (symbolit = ⊃ ≡ −λvε ja pistejärjestelmä:
”nykyisessä teoksessa omaksuttu notaatio perustuu Peanon tekstiin, ja seuraavat selitykset ovat jossain määrin mallinnettuja niistä, jotka hän on etuliittänyt Formulario Mathematicoon . Hän käyttää pisteitä sulkeina, ja niin ovat monet hänen symboleistaan ” (PM 1927:4).
PM muutti Peanon Ɔ: n to: ksi ja omaksui myös muutamia Peanon myöhempiä symboleja, kuten ℩ ja ι, sekä Peanon tavan kääntää kirjaimet ylösalaisin.
PM omaksuu väitteen merkin ” ⊦ ”Fregen vuoden 1879 Begriffsschriftistä:
” (I) t voidaan lukea ”on totta, että ””
näin väitteen vakuuttamiseksi P PM kirjoittaa:
”⊦. p. ” (PM 1927:92)
(huomaa, että kuten alkuperäisessä, vasen piste on neliö ja suurempi kuin oikealla oleva jakso.)
suurin osa LOPPUMERKINNÖISTÄ PM: ssä oli Whiteheadin keksimiä.
johdatus ”A–jakson matemaattisen logiikan” notaatioon (kaavat ✸1 – ✸5.71)Edit
PM: n pisteitä käytetään sulkeiden tapaan. Jokainen piste (tai monipiste) edustaa joko vasenta tai oikeaa sulkua tai loogista symbolia ∧. Useampi kuin yksi piste ilmaisee sulkeiden” syvyyden”, esimerkiksi”.”, ”: ”tai”:.”, ”::”. Oikeanpuoleisen tai vasemmanpuoleisen sulun sijaintia ei kuitenkaan mainita erikseen merkintätavassa, vaan se on johdettava joistakin monimutkaisista ja toisinaan monitulkintaisista säännöistä. Lisäksi, kun pisteet ovat loogisen symbolin ∧ sen vasen ja oikea operandit on pääteltävä käyttäen samanlaisia sääntöjä. Ensin on päätettävä asiayhteyden perusteella, merkitsevätkö pisteet vasenta vai oikeaa sulkua vai loogista symbolia. Sitten on päätettävä, kuinka kaukana toinen vastaava suluissa on: tässä yksi jatkaa, kunnes yksi kohtaa joko suurempi määrä pisteitä, tai sama määrä pisteitä seuraavaksi, joilla on yhtä suuri tai suurempi ”voima”, tai loppuun janan. Merkkien ⊃, ≡,∨, =Df viereisillä pisteillä on suurempi voima kuin (x), (∃x) ja niin edelleen viereisillä pisteillä, joilla on suurempi voima kuin loogisen tuotteen ∧osoittavilla pisteillä.
Esimerkki 1. Viiva
✸3.4. ⊢ : s . q. ⊃ . p ⊃ q
vastaa
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
kaksi pistettä, jotka seisovat yhdessä välittömästi väittämämerkin jälkeen, osoittavat, että väitetty on koko Jana: koska niitä on kaksi, niiden laajuus on suurempi kuin minkään yksittäisen pisteen niiden oikealla puolella. Ne korvataan vasemmanpuoleisella sululla, jossa pisteet ovat, ja oikealla sululla kaavan lopussa, näin:
⊢ (p . q. ⊃ . p ⊃ q).
(käytännössä nämä uloimmat sulut, jotka sulkevat sisäänsä kokonaisen kaavan, yleensä suppenevat.) Ensimmäinen yksittäisistä pisteistä, joka seisoo kahden propositiomuuttujan välissä, edustaa konjunktiota. Se kuuluu kolmanteen ryhmään, ja sen soveltamisala on suppein. Tässä se korvataan nykyisellä konjunktion symbolilla”∧”, jolloin
⊢ (p ∧ q. ⊃ . p ⊃ q).
kaksi jäljellä olevaa yksittäistä pistettä poimivat koko kaavan tärkeimmän yhdisteen. Ne kuvaavat hyödyllisyyttä piste merkintä poimittaessa ne connectives, jotka ovat suhteellisesti tärkeämpiä kuin ne, jotka ympäröivät niitä. ”⊃”: N vasemmalla puolella oleva korvataan sulkuparilla, oikea menee sinne, missä piste on, ja vasen menee niin pitkälle vasemmalle kuin se voi ylittämättä suurempaa joukkoa pisteitä, tässä tapauksessa kaksi pistettä, jotka seuraavat väitemerkkiä, siten
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)
”⊃”: n oikealla puolella oleva piste korvataan vasemmalla sululla, joka menee sinne, missä piste on, ja oikealla sululla, joka menee niin pitkälle oikealle kuin se voi menemättä sen ulottuvuuden ulkopuolelle, joka on jo vahvistettu suuremmalla joukolla pisteitä (tässä tapauksessa kaksi pistettä, jotka seurasivat väitemerkkiä). Niinpä ” ⊃ ” – merkin oikealla puolella olevan pisteen korvaava oikea sulkeesi sijoitetaan oikean sulkeesin eteen, joka korvasi kaksi väitemerkkiä seurannutta pistettä, jolloin
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Esimerkki 2, jossa on kahden, kolmen ja neljän pisteen pisteet:
✸9, 521. ⊢ : (∃x). φx . ⊃ . k:⊃:. ∃x). φx . v. r:⊃. k v rtarkoittaa ((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Esimerkki 3, jossa kaksinkertainen piste osoittaa looginen symboli (alkaen volume 1, sivu 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃rtarkoittaa (p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
jos kaksinkertainen piste edustaa looginen symboli ∧ ja voidaan katsoa, joilla on korkeampi prioriteetti kuin ei-looginen yksi piste.
myöhemmin kohdassa ✸14 esiintyy suluissa ”” ja kohdassa ✸20 ja sitä seuraavissa henkseleissä” {}”. On epäselvää, onko näillä symboleilla erityisiä merkityksiä vai ovatko ne vain visuaalista selkeyttämistä varten. Valitettavasti yksittäinen piste (mutta myös ”:”,”:.”, ”:: ”, jne.) käytetään myös symbolina ” loogiselle tuotteelle ”(aikalainen looginen ja usein symbolina”& ”tai”∧”).
loogista implisiittisyyttä edustaa Peanon ”Ɔ” yksinkertaistettuna ”⊃”, loogista negaatiota symboloi pitkänomainen tilde eli ”~” (aikalainen ”~” tai””), looginen tai ”v”. Tunnusta ” = ” yhdessä ”Df”: n kanssa käytetään ilmaisemaan” on määritelty”, kun taas kohdissa ✸13 ja sitä seuraavissa kohdissa ” = ”määritellään (matemaattisesti)” identtiseksi”, ts.nykyaikaiseen matemaattiseen” tasa-arvoon ” (vrt. keskustelu kohdassa ✸13). Loogista ekvivalenssia esittää ” ≡ ”(aikalainen ”jos ja vain jos”);” alkeis ”propositiofunktiot kirjoitetaan tavanomaisella tavalla, esimerkiksi” f(p)”, mutta myöhemmin funktion merkki esiintyy suoraan muuttujan edessä ilman sulkeita, esimerkiksi” φx”,” xx ” jne.
esimerkki, PM esittelee ”loogisen tuotteen” määritelmän seuraavasti:
✸3.01. p. q.=. Df.missä ” s . q ” on P: n ja q: n looginen tulo. ✸3.02. p q q r r .=. p q q . q ⊃ RDF.Tällä määritelmällä ainoastaan lyhennetään vedoksia.
kaavojen kääntäminen aikalaissymboleiksi: useat kirjoittajat käyttävät vaihtoehtoisia symboleja, joten lopullista käännöstä ei voida antaa. Kurt Gödelin alla olevan kaltaisen kritiikin vuoksi parhaat nykyhoidot ovat kuitenkin hyvin tarkkoja kaavojen ”muodostumissääntöjen” (syntaksin) suhteen.
ensimmäinen kaava saatetaan muuttaa moderniksi symboliikaksi seuraavasti:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
vuorotellen
(p & q) =df ((p v q))
vuorotellen
(p ∧ q) =df ((p v q))
jne.
toinen kaava voidaan muuntaa seuraavasti:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
, mutta huomaa, että tämä ei ole (loogisesti) ekvivalentti (p → (q → r)) eikä ((p → q) → r), eivätkä nämäkään Kaksi ole loogisesti ekvivalentteja.
johdatus ”pääluokan B näennäisten muuttujien teoriaan” (kaavat ✸8–✸14.34) Edit
nämä kohdat koskevat niin sanottua predikaattilogiikkaa, ja predikaattilogiikkaa, jossa on identiteetti (tasa-arvo).
- Huom: kritiikin ja ennakoiden seurauksena PM: n toinen painos (1927) korvaa ✸9: n uudella ✸8: lla (Liite A). Tämä uusi osio poistaa ensimmäisen painoksen eron reaalisten ja näennäisten muuttujien välillä, ja se poistaa ”primitiivisen ajatuksen ’ propositiofunktion väitteestä’. Hoidon monimutkaisuuden lisäämiseksi ✸8 esittää ajatuksen ”matriisin” korvaamisesta ja Shefferin aivohalvauksesta:
”annettu kaksi propositiota p ja q, niin ”P | q” tarkoittaa ”propositio p on yhteensopimaton propositio q: n kanssa”, eli jos molemmat propositiot p ja q arvioivat tosiksi, silloin ja vasta sitten p / q arvioi epätosiksi.”Kohdan ✸8 jälkeen Shefferin isku ei näe mitään käyttöä.
Jakso ✸10: eksistentiaaliset ja Universaalit ”operaattorit”: PM lisää” (x) ”edustamaan aikalaissymboliikkaa” kaikille x ”eli” ∀x”, ja se käyttää takaperin serifed E: tä edustamaan” on olemassa x”, eli” (Ǝx)”, eli aikalaista”∃x”. Tyypillinen notaatio olisi samanlainen kuin seuraavassa:
”(x) . φx ”tarkoittaa” kaikille muuttujan x arvoille, funktio φ arvioi todeksi ”” (Ǝx). φx ”tarkoittaa” jollekin muuttujan x arvolle, funktio φ arvioi todeksi ”
kohdat ✸10, ✸11, ✸12: muuttujan ominaisuudet laajennettuna kaikkiin yksilöihin: Jakso ✸10 esittelee käsitteen ”muuttujan ominaisuus”. PM antaa esimerkin: φ on funktio, joka ilmaisee ”on kreikkalainen”, ja ψ ilmaisee” on ihminen”, ja χ osoittaa” on kuolevainen ” nämä funktiot sitten pätevät muuttujaan x. PM voi nyt kirjoittaa ja arvioida:
(x) . ψx
edellä oleva notaatio tarkoittaa ”kaikille x, x on mies”. Koska kokoelma yksilöitä, voidaan arvioida edellä kaava totuuden tai valheellisuuden. Esimerkiksi kun otetaan huomioon henkilöiden rajoitettu kokoelma { Sokrates, Platon, Russell, Zeus } yllä oleva arvio on ”tosi”, jos sallimme Zeuksen olevan ihminen. Mutta se epäonnistuu:
(x) . φx
, koska Russell ei ole kreikkalainen. Ja se epäonnistuu
(x) . xx
koska Zeus ei ole kuolevainen.
varustettuna tällä notaatiolla PM voi luoda kaavoja, joilla ilmaistaan seuraavaa: ”Jos kaikki kreikkalaiset ovat ihmisiä ja jos kaikki ihmiset ovat kuolevaisia, niin kaikki kreikkalaiset ovat kuolevaisia”. (PM 1962:138)
(x). φx ψ ψ: (x). ψx xx xx:⊃: (x). φx ⊃ xx
toinen esimerkki: kaava:
✸10.01. Ǝx). φx . = . ~(x). ~φx Df.
tarkoittaa ,että”väitettä esittävät symbolit” on olemassa ainakin yksi funktion φ täyttävä x ”määritellään väitettä esittävillä symboleilla” ei ole totta, että kun otetaan huomioon kaikki X: n arvot, ei ole olemassa φ: n täyttäviä arvoja””.
tunnukset ⊃x ja ”≡x” esiintyvät kohdissa ✸10.02 ja ✸10.03. Molemmat ovat lyhenteitä universaalisuudesta (eli kaikille), jotka sitovat muuttujan x loogiseen operaattoriin. Aikalaismerkinnöissä olisi käytetty yksinkertaisesti sulkeita tasa-arvomerkin (”=”) ulkopuolella:
✸10.02 φx ⊃X ψx .=. (x). φx ψ ψx DfContemporary notation: ∀x(φ(x) → ψ (x)) (tai muunnos) ✸10.03 φx ≡X ψx .=. (x). φx ≡ ψx Dfcontemporaarinen notaatio: ∀x(φ(x) ↔ ψ (x)) (tai muunnos)
PM määrittää ensimmäisen symboliikan Peanolle.
Jakso ✸11 soveltaa tätä symboliikkaa kahteen muuttujaan. Näin seuraavat notaatiot: ⊃x, ⊃y, ⊃x, y voivat kaikki esiintyä yhdessä kaavassa.
Jakso ✸12 Palauttaa ”matriisin” (nykyaikainen totuustaulukko) käsitteen, loogisten tyyppien käsitteen ja erityisesti ensimmäisen ja toisen kertaluvun funktioiden ja propositioiden käsitteet.
Uusi symboliikka ” φ! x ” edustaa mitä tahansa ensimmäisen kertaluvun funktion arvoa. Jos sirkumfleksi ”” sijoitetaan muuttujan päälle, kyseessä on Y: n ”yksittäinen” arvo, eli ”ŷ” ilmaisee ”yksilöitä” (esimerkiksi rivi totuustaulukossa); tämä ero on välttämätön propositiaalisten funktioiden matriisi/ulottuvuusmaisen luonteen vuoksi.
nyt matriisikäsitteellä varustettu PM voi esittää reducibiliteetin kiistanalaisen aksioomansa: funktio yhdestä tai kahdesta muuttujasta (kaksi riittää PM: n käyttöön), jossa kaikki sen arvot on annettu (ts., matriisissaan) on (loogisesti) ekvivalentti ( ” ≡ ” ) jollekin samojen muuttujien ”predikatiivifunktiolle. Yhden muuttujan määritelmä on esitetty alla notaation havainnollistamiseksi (PM 1962:166-167):
✸12.1⊢: (Ǝ f): φx .≡X. f ! x Pp;
Pp on ”primitiivinen propositio” (”Propositiot otaksutaan ilman todistusta”) (PM 1962:12, ts.aikalainen ”aksioomat”), johon lisätään kohdassa ✸1 määritelty 7 (alkaen with 1.1 modus ponens). Nämä on erotettava ”primitiivisistä ideoista”, joihin kuuluvat väittämämerkki”⊢”, negaatio”~”, looginen tai” V”, käsitteet” alkeislupaus ”ja” alkeislupausfunktio”; nämä ovat yhtä lähellä kuin PM tulee notaatiomuodostuksen sääntöihin eli syntaksiin.
tämä tarkoittaa: ”vakuutamme seuraavan totuuden: on olemassa funktio f, jolla on ominaisuus, että: kun otetaan huomioon kaikki X: n arvot, niiden arvioinnit funktiossa φ (eli tuloksena niiden matriisi) on loogisesti yhtä kuin jotkut f: t, jotka on arvioitu näillä samoilla X: n arvoilla (ja päinvastoin, siis looginen ekvivalenssi)”. Toisin sanoen: kun otetaan huomioon muuttujan x ominaisuudella φ määritetty matriisi, on olemassa funktio f, joka X: lle sovellettuna on loogisesti ekvivalentti matriisin kanssa. Tai: jokainen matriisi φx voidaan esittää funktiolla f, jota sovelletaan X: ään, ja päinvastoin.
✸13: identiteettioperaattori ”=” : tämä on määritelmä, joka käyttää merkkiä kahdella eri tavalla, kuten PM: n lainaus:
✸13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
tarkoittaa:
”tämän määritelmän mukaan x: ää ja y: tä on kutsuttava identtisiksi, kun jokainen X: n täyttämä predikatiivifunktio on myös Y: n täyttämä … Huomaa, että edellä olevan määritelmän toinen tasa-arvon merkki yhdistetään ”Df: ään”, eikä se siten ole todellisuudessa sama symboli kuin määritelty tasa-arvon merkki.”
ei-samanarvoinen merkki ” ≠ ” esiintyy määritelmänä ✸13.02.
✸14: kuvaukset:
”kuvaus on muotoa oleva lause ”termi Y, joka täyttää φŷ: N, missä φŷ some on jokin funktio, joka täytetään yhdellä ja vain yhdellä argumentilla.”
tästä PM käyttää kahta uutta symbolia, eteenpäin ”E” ja ylösalaisin käännettyä iota ”℩”. Tässä esimerkki:
✸14.02. E ! (℩y) (φy).(Ǝb):φy . ≡. y = b Df.
tällä on merkitys:
”Y: n täyttävä φŷ On olemassa”, joka pätee milloin ja vain silloin, kun φŷ: n täyttää yksi y: n arvo eikä mikään muu arvo.”(PM 1967: 173-174)
Introduction to the notation of the theory of classes and relationsEdit
teksti loikkaa osiosta ✸14 suoraan perustaviin osioihin ✸20 GENERAL THEORY of CLASSES and ✸21 GENERAL THEORY of RELATIONS. ”Suhteet” ovat sitä, mikä tunnetaan nykyaikaisessa joukko-opissa järjestettyjen parien joukkona. Osiot ✸20 ja ✸22 esittelevät monia yhä käytössä olevia symboleja. Näitä ovat muun muassa symbolit ”ε”, ”⊂”, ”∩”, ”∪”, ”–”, ”Λ”, ja ”V”: ”ε” merkitsee ”on alkuaine” (PM 1962:188); ”⊂” (✸22.01) merkitsee” sisältyy”,” on osajoukko”; ” ∩ ”(✸22.02) merkitsee luokkien (joukkojen) leikkauspistettä (looginen tuote); ” ∪ ”(✸22.03) merkitsee luokkien (joukkojen) liittoa (looginen summa); ” – ”(✸22.03) merkitsee luokan (joukkojen) negaatiota; ” Λ ” merkitsee nollaluokkaa; ja ” V ” merkitsee universaalia luokkaa eli diskurssin universumia.
Kreikan pienet kirjaimet (muut kuin ”ε”, ”ι”, ”π”, ”φ”, ”ψ”, ”χ” ja ”θ”) edustavat luokkia (esimerkiksi ”α”, ”β”, ”γ”, ”δ” jne.) (PM 1962:188):
x ε α”yhden kirjaimen käyttö symbolien ẑ(φz) tai φ (φ ! z) on käytännössä lähes välttämätön, koska muuten notaatio muuttuu nopeasti sietämättömästi cumbrous. Täten ”x ε α”tarkoittaa” x on luokan α jäsen””. (PM 1962:188) α ∪ –α = vthe joukko ja sen käänteisarvo on universaali (täytetty) joukko. α ∩ – α = λ joukon ja sen käänteisluvun leikkauspiste on Noll (tyhjä) joukko.
sovellettaessa relaatioita jaksossa ✸23 RELAATIOLASKENNASSA, symbolit ”⊂”, ”∩”, ”∪”, ja ” – ” hankkia piste: esimerkiksi:”⊍”,”∸”.
käsite ja notaatio ”a-luokasta” (joukko): ensimmäisessä painoksessa PM väittää, että mitään uusia primitiivisiä ideoita ei tarvita määrittelemään, mitä tarkoitetaan ”a-luokalla”, ja vain kaksi uutta ”primitiivistä väitettä”, joita kutsutaan luokkien ja suhteiden reducibiliteetin aksioomiksi (PM 1962:25). Mutta ennen kuin tämä käsite voidaan määritellä, PM katsoo tarpeelliseksi luoda erikoinen notaatio ”ẑ(φz)”, jota se kutsuu ”fiktiiviseksi objektiksi”. (PM 1962:188)
⊢: x ε ẑ (φz) .≡. (φx)”eli” x on (φẑ): n määrittämän luokan jäsen ”vastaa” x täyttää (φẑ), ” tai ” (φx) on tosi.'”. (PM 1962:25)
ainakin PM voi kertoa lukijalle, miten nämä fiktiiviset oliot käyttäytyvät, koska ”luokka on täysin määräytyvä, kun sen jäsenyys tunnetaan, toisin sanoen ei voi olla kahta eri luokkaa, joilla on sama jäsenyys” (PM 1962:26). Tätä symboloi seuraava tasa-arvo (samanlainen kuin ✸13.01 yllä:
ẑ(φz) = ẑ(ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx ” tämä viimeinen on luokkien erottava ominaisuus, ja oikeuttaa meidät käsittelemään ẑ(ψz) ψ determined: n määrittämänä luokkana.”(PM 1962:188)
ehkä edellä olevaa voidaan selventää keskustelemalla luokista toisen painoksen johdannossa, jossa luovutaan Reducibiliteetin Aksioomasta ja korvataan se käsitteellä:” kaikki funktioiden funktiot ovat extensionaalisia ” (PM 1962:xxxix), toisin sanoen,
φx ≡x ψx .⊃. (X): ƒ(φ φ) ƒ ƒ (PMẐ) (PM 1962:xxxix)
tällä on se kohtuullinen merkitys, Että ” jos kaikilla x: n arvoilla funktioiden φ Ja ψ X totuusarvot ovat ekvivalentit, niin annetun φẑ: n funktio h ja ƒẑ: n h ovat ekvivalentteja.”PM väittää, että tämä on”ilmeinen”:
” Tämä on ilmeinen, koska φ voi esiintyä vain hu: ssa(φẑ) korvaamalla φ: n arvot p: lle, q: lle, r: lle … funktiossa, ja jos φx ≡ ψ, φx: n substituutio p: lle funktiossa antaa totuusfunktiolle saman totuusarvon kuin ψx: n substituutio. Näin ollen ei ole enää mitään syytä erottaa funktioluokkia, sillä meillä on, nojalla edellä, φx ≡X ψx .⊃. (x). φẑ=. ψẑ”.
huomioi muutos tasa-arvoon ” = ” – merkkiin oikealla. PM jatkaa toteamalla, että pysyy edelleen kiinni notaatiossa ”ẑ(φz)”, mutta tämä on vain vastaava kuin φẑ, Ja tämä on luokka. (kaikki lainaukset: PM 1962: xxxix).