Étant donné une instruction R, l’instruction \(\sim R\) est appelée la négation de R. Si R est une instruction complexe, il arrive souvent que sa négation \(\sim R\) puisse être écrite sous une forme plus simple ou plus utile. Le processus de recherche de cette forme s’appelle la négation de R. Pour prouver les théorèmes, il est souvent nécessaire de nier certaines déclarations. Nous étudions maintenant comment procéder.
Nous avons déjà examiné une partie de ce sujet. Les lois de DeMorgan
\(\sim(P\wedge Q) =(\sim P) \vee(\sim Q)\)
\(\sim(P\vee Q) =(\sim P) \wedge(\sim Q)\)
Peut-être que vous pouvez trouver \(\sim R\) sans invoquer les lois de DeMorgan. C’est bien ; vous avez intériorisé les lois de DeMorgan et vous les utilisez inconsciemment.
Ce n’est pas le cas que P(x) soit vrai pour tous les nombres naturels x.
\(\sim(\forall x\in X, P(x))= \exists x\in X, \sim P(x)\)
\(\sim(\exists x\in X, P(x)) = \forall x\in X, \sim P(x)\)
Assurez-vous de bien comprendre ces deux équivalences logiques. Ils sont conformes à notre usage quotidien du langage, mais ils en fixent le sens de manière mathématiquement précise.
\(\sim(P\Rightarrow Q) = P\coin\sim Q\).
(En fait, dans l’exercice 12 de la section 2.6, vous avez utilisé une table de vérité pour vérifier que ces deux énoncés sont effectivement logiquement équivalents.)
L’exemple 2.15 ci-dessus a montré comment annuler une instruction conditionnelle \(P(x) \Rightarrow Q(x)\). Ce type de problème peut parfois être intégré dans une négation plus complexe. Voir l’exercice 5 ci-dessous (et sa solution).