Définition
Un polynôme dans la variable x est une fonction qui peut s’écrire sous la forme,
où an, an-1,…, a2, a1, a0 sont des constantes. Nous appelons le terme contenant la puissance la plus élevée de x (c’est-à-dire anxn) le terme principal, et nous appelons un coefficient principal. Le degré du polynôme est la puissance de x dans le terme principal. Nous avons déjà vu des polynômes de degré 0, 1 et 2 qui étaient respectivement les fonctions constantes, linéaires et quadratiques. Les polynômes de degré 3, 4 et 5 ont également des noms spéciaux: fonctions cubiques, quartiques et quintiques. Les polynômes de degré n > 5 sont simplement appelés polynômes de nième degré. Les noms des différentes fonctions polynomiales sont résumés dans le tableau ci-dessous.
| Degree of the polynomial | Name of the function |
| 0 | Constant function |
| 1 | Linear function |
| 2 | Quadratic function |
| 3 | Cubic function |
| 4 | Quartic function |
| 5 | Quintic Function |
| n (where n > 5) | nth degree polynomial |
Some examples of polynomials include:
Le comportement limite des polynômes
Le comportement limite d’une fonction décrit ce qui arrive à la fonction comme x → ±∞. Le degré d’un polynôme et le signe de son coefficient directeur dictent son comportement limite. En particulier,
Ces résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous.
Vous pouvez utiliser ces informations pour déterminer si un polynôme a un degré pair ou impair et si le coefficient principal est positif ou négatif, simplement en inspectant son graphe.
Les graphiques de polynômes suivants illustrent chacun des comportements décrits dans le tableau ci-dessus.
Racines et points tournants
Le degré d’un polynôme vous en dit encore plus que le comportement limite. Plus précisément, un polynôme de nième degré peut avoir au plus n racines réelles (x-intercepts ou zéros) comptant des multiplicités. Par exemple, supposons que nous examinions un polynôme du 6ème degré qui a 4 racines distinctes. Si deux des quatre racines ont la multiplicité 2 et les 2 autres ont la multiplicité 1, nous savons qu’il n’y a pas d’autres racines car nous avons représenté les 6 racines. En effet, les racines avec une multiplicité de deux (également appelées racines doubles) sont comptées comme deux racines.
Sachez qu’un polynôme au nième degré n’a pas besoin d’avoir n racines réelles — il pourrait en avoir moins car il a des racines imaginaires. Notez qu’un polynôme de degré impair doit avoir au moins une racine réelle puisque la fonction se rapproche de -∞ à une extrémité et de +∞ à l’autre; une fonction continue qui passe du négatif au positif doit croiser l’axe des abscisses quelque part entre les deux. De plus, un polynôme de nième degré peut avoir au plus n- 1 points de retournement. Un point tournant est un point auquel la fonction passe de l’augmentation à la diminution ou de la diminution à l’augmentation comme on le voit sur la figure ci-dessous. Encore une fois, un polynôme de nième degré n’a pas besoin d’avoir n-1 points de retournement, il pourrait en avoir moins.
Note de prudence
Il est important de réaliser la différence entre les fonctions paires et impaires et les polynômes de degré pair et impair. Toute fonction, f(x), est soit paire si,
f(−x) =x,
pour tout x dans le domaine de f(x), soit impaire si,
f(−x) =−x,
pour tout x dans le domaine de f(x), ou ni pair ni impair si aucune des instructions ci-dessus n’est vraie.
Un polynôme de kème degré, p(x), est dit de degré pair si k est un nombre pair et de degré impair si k est un nombre impair. Rappelez-vous que même si p(x) a un degré pair, ce n’est pas nécessairement une fonction paire. De même, si p(x) a un degré impair, ce n’est pas nécessairement une fonction impaire.
Nous utilisons également les termes pair et impair pour décrire les racines des polynômes. Plus précisément, un polynôme p(x) a une racine x = a de multiplicité k (c’est−à-dire que x = a est une racine répétée k fois) si (x-a)k est un facteur de p(x). On dit que x = a a une multiplicité paire si k est un nombre pair et une multiplicité impaire si k est un nombre impair.
Domaine et plage
Tous les polynômes ont le même domaine qui se compose de tous les nombres réels. La gamme des polynômes de degré impair comprend également tous les nombres réels. La gamme des polynômes de degré pair est un peu plus compliquée et nous ne pouvons pas énoncer explicitement la gamme de tous les polynômes de degré pair. Si le coefficient principal est positif, la fonction s’étendra à +∞ ; tandis que si le coefficient principal est négatif, il s’étendra à -∞. Cela signifie que même les polynômes de degré avec un coefficient directeur positif ont une plage où ymax désigne le maximum global atteint par la fonction. En général, il n’est pas possible de déterminer analytiquement les maxima ou les minima des polynômes.
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Dans la section suivante, vous apprendrez la division polynomiale, une technique utilisée pour trouver les racines des fonctions polynomiales.
Division polynomiale