Un auteur observe que « La notation de cet ouvrage a été remplacée par le développement ultérieur de la logique au cours du 20e siècle, dans la mesure où le débutant a du mal à lire le PM »; bien qu’une grande partie du contenu symbolique puisse être converti en notation moderne, la notation originale elle-même est « un sujet de controverse scientifique », et certaines notations « incarnent des doctrines logiques substantielles de sorte qu’elles ne peuvent pas simplement être remplacées par le symbolisme contemporain ».
Kurt Gödel a sévèrement critiqué la notation:
« Il est regrettable que cette première présentation complète et approfondie d’une logique mathématique et de la dérivation des mathématiques à partir de celle-ci manque tellement de précision formelle dans les fondements (contenus dans ✸1–✸21 des Principia) qu’elle représente à cet égard un pas en arrière considérable par rapport à Frege. Ce qui manque avant tout, c’est un énoncé précis de la syntaxe du formalisme. Les considérations syntaxiques sont omises même dans les cas où elles sont nécessaires à la cohérence des preuves « .
Ceci est reflété dans l’exemple ci-dessous des symboles « p », « q », « r » et « ⊃ » qui peuvent être formés dans la chaîne « p ⊃ q ⊃ r ». PM exige une définition de ce que signifie cette chaîne de symboles en termes d’autres symboles; dans les traitements contemporains, les « règles de formation » (règles syntaxiques conduisant à des « formules bien formées ») auraient empêché la formation de cette chaîne.
Source de la notation : Le chapitre I « Explications préliminaires des Idées et des Notations » commence par la source des parties élémentaires de la notation (les symboles =Λ−ΛVε et le système de points):
« La notation adoptée dans le présent ouvrage est basée sur celle de Peano, et les explications suivantes sont dans une certaine mesure calquées sur celles qu’il préfixe à son Formulario Mathematico. Son utilisation de points comme crochets est adoptée, de même que beaucoup de ses symboles » (PM 1927:4).
PM a changé le Ɔ de Peano en Ɔ, et a également adopté quelques symboles ultérieurs de Peano, tels que ℩ et ι, et la pratique de Peano consistant à retourner les lettres à l’envers.
PM adopte le signe d’assertion « ⊦ » du Begriffsschrift de Frege de 1879:
« (I)t peut être lu ‘il est vrai que' »
Ainsi pour affirmer une proposition p PM écrit:
« ⊦. p. » (PM 1927:92)
(Observez que, comme dans l’original, le point de gauche est carré et de plus grande taille que le point de droite.)
La majeure partie du reste de la notation en PM a été inventée par Whitehead.
Une introduction à la notation de la « Section A Logique mathématique » (formules ✸1 –✸5,71)Edit
Les points de PM sont utilisés d’une manière similaire aux parenthèses. Chaque point (ou plusieurs points) représente soit une parenthèse gauche ou droite, soit le symbole logique ∧. Plus d’un point indique la « profondeur » des parenthèses, par exemple, « . », » : » ou » : . », « :: ». Cependant, la position de la parenthèse droite ou gauche correspondante n’est pas indiquée explicitement dans la notation mais doit être déduite de certaines règles complexes et parfois ambiguës. De plus, lorsque les points représentent un symbole logique its ses opérandes gauche et droit doivent être déduits en utilisant des règles similaires. Tout d’abord, il faut décider en fonction du contexte si les points représentent une parenthèse gauche ou droite ou un symbole logique. Ensuite, il faut décider de la distance de l’autre parenthèse correspondante: ici, on continue jusqu’à ce qu’on rencontre soit un plus grand nombre de points, soit le même nombre de points suivants qui ont une « force » égale ou supérieure, soit la fin de la ligne. Les points à côté des signes ⊃, ≡, =, = Df ont une plus grande force que les points à côté de (x), (xx) et ainsi de suite, qui ont une plus grande force que les points indiquant un produit logique ∧.
Exemple 1. La ligne
33.4. ⊢ : p. q. ⊃ . p ⊃ q
correspond à
⊢((p ∧ q) ⊃(p q q)).
Les deux points qui suivent immédiatement le signe d’assertion indiquent que ce qui est affirmé est la ligne entière: comme il y en a deux, leur portée est supérieure à celle de l’un des points simples à leur droite. Ils sont remplacés par une parenthèse gauche où se trouvent les points et une parenthèse droite à la fin de la formule, ainsi :
⊢(p. q. ⊃ . p q q).
(En pratique, ces parenthèses les plus externes, qui entourent une formule entière, sont généralement supprimées.) Le premier des points simples, entre deux variables propositionnelles, représente la conjonction. Il appartient au troisième groupe et a la portée la plus étroite. Ici, il est remplacé par le symbole moderne de la conjonction « ∧ », donc
⊢(p ∧ q. ⊃ . p q q).
Les deux points simples restants sélectionnent le connectif principal de l’ensemble de la formule. Ils illustrent l’utilité de la notation par points pour sélectionner les connectives qui sont relativement plus importantes que celles qui les entourent. Celui à gauche du » q » est remplacé par une paire de parenthèses, celui de droite va là où se trouve le point et celui de gauche va aussi loin que possible vers la gauche sans croiser un groupe de points de plus grande force, dans ce cas les deux points qui suivent le signe d’assertion, donc
⊢((p ∧ q) ⊃. p ⊃ q)
Le point à droite du » q » est remplacé par une parenthèse gauche qui va là où se trouve le point et une parenthèse droite qui va aussi loin que possible vers la droite sans dépasser la portée déjà établie par un groupe de points de plus grande force (en l’occurrence les deux points qui ont suivi le signe d’assertion). Ainsi, la parenthèse droite qui remplace le point à droite du « ⊃ » est placée devant la parenthèse droite qui a remplacé les deux points suivant le signe d’assertion, donc
⊢((p ∧ q) ((p q q)).
Exemple 2, avec des points doubles, triples et quadruples:
9,521 ✸. ⊢:: (xx). φx. ⊃ . q : ⊃: . (∃x). φx. v. r : ⊃. q v r
représente
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
l’Exemple 3, avec un point double indiquant une logique symbole (à partir du volume 1, page 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
représente
(p⊃q) ∧ (q⊃r)⊃(p⊃r))
d’où le double point représente la logique symbole ∧ et peut être considéré comme ayant la plus grande priorité en tant que non-logiques seul point.
Plus loin dans la section ✸14, les crochets « » apparaissent, et dans les sections ✸20 et suivantes, les accolades « {} » apparaissent. On ne sait pas si ces symboles ont des significations spécifiques ou sont simplement destinés à une clarification visuelle. Malheureusement, le point unique (mais aussi « : », « :. », « :: », etc.) est également utilisé pour symboliser le « produit logique » (logique contemporaine ET souvent symbolisée par « & » ou « ∧ »).
L’implication logique est représentée par le « Ɔ » de Peano simplifié en « Ɔ », la négation logique est symbolisée par un tilde allongé, c’est-à-dire « ~ » (contemporain « ~ » ou « »), le OU logique par « v ». Le symbole « = » avec « Df » est utilisé pour indiquer « est défini comme », alors que dans les sections ✸13 et suivantes, « = » est défini comme (mathématiquement) « identique à », c’est-à-dire « égalité » mathématique contemporaine (cf. discussion dans la section113). L’équivalence logique est représentée par « ≡ » (contemporain « si et seulement si »); les fonctions propositionnelles « élémentaires » sont écrites de la manière habituelle, par exemple, « f(p) », mais plus tard, le signe de la fonction apparaît directement devant la variable sans parenthèse, par exemple, « φx », « xx », etc.
Exemple, PM introduit la définition de « produit logique » comme suit:
3,01 ✸. p. q.=. ~ (~p v ~q) Df.où » p. q » est le produit logique de p et q. 3,02 ✸. p q q r r.=. p q q. q r r Df.Cette définition ne sert qu’à abréger les preuves.
Traduction des formules en symboles contemporains: Divers auteurs utilisent des symboles alternatifs, de sorte qu’aucune traduction définitive ne peut être donnée. Cependant, en raison de critiques telles que celle de Kurt Gödel ci-dessous, les meilleurs traitements contemporains seront très précis par rapport aux « règles de formation » (la syntaxe) des formules.
La première formule pourrait être convertie en symbolisme moderne comme suit:
(p & q)= df(~(~p v ~ q))
alternativement
(p & q) = df((p v q))
alternativement
(p ∧ q) = df((p v q))
etc.
La deuxième formule peut être convertie comme suit:
(p → q → r) = df(p → q) &(q → r)
Mais notez que cela n’est pas (logiquement) équivalent à (p →(q → r)) ni à ((p → q) → r), et ces deux ne sont pas logiquement équivalents non plus.
Une introduction à la notation de la « Section B Théorie des Variables Apparentes » (formula_8–formula_14.34)Edit
Ces sections concernent ce qui est maintenant connu sous le nom de logique de prédicat et de logique de prédicat avec identité (égalité).
- NB: À la suite des critiques et des avancées, la deuxième édition de PM (1927) remplace 9 ✸ par un nouveau 8 ✸ (annexe A). Cette nouvelle section élimine la distinction de la première édition entre variables réelles et apparentes, et elle élimine « l’idée primitive » d’affirmation d’une fonction propositionnelle ». Pour ajouter à la complexité du traitement, ✸8 introduit la notion de substitution d’une « matrice », et le trait de Sheffer :
- Matrice: Dans l’usage contemporain, la matrice de PM est (au moins pour les fonctions propositionnelles), une table de vérité, c’est-à-dire toutes les valeurs de vérité d’une fonction propositionnelle ou prédicate.
- Sheffer stroke: Est le NAND logique contemporain (NOT-AND), c’est-à-dire « incompatibilité », ce qui signifie:
« Étant donné deux propositions p et q, alors ‘p | q’ signifie « la proposition p est incompatible avec la proposition q », c’est-à-dire que si les deux propositions p et q s’évaluent comme vraies, alors et seulement alors p | q s’évalue comme fausse. »Après la section88, le coup de Sheffer ne voit aucune utilisation.
Section ✸10 : Les « opérateurs » existentiels et universels: PM ajoute « (x) » pour représenter le symbolisme contemporain « pour tous les x », c’est-à-dire » ∀ x », et il utilise un E empatté vers l’arrière pour représenter « il existe un x », c’est-à-dire « (ƎX) », c’est-à-dire le contemporain « ∃x ». La notation typique serait similaire à la suivante :
« (x). φx » signifie » pour toutes les valeurs de la variable x, la fonction φ est évaluée à true « » (Uccx). φx « signifie » pour une certaine valeur de la variable x, la fonction φ évalue à vrai «
Sections ✸10, ✸11, ✸12: Propriétés d’une variable étendues à tous les individus: la section ✸10 introduit la notion de « propriété » d’une « variable ». PM donne l’exemple: φ est une fonction qui indique « est un grec », et ψ indique « est un homme », et χ indique « est un mortel » ces fonctions s’appliquent alors à une variable x. PM peut maintenant écrire et évaluer :
(x). ψx
La notation ci-dessus signifie « pour tout x, x est un homme ». Compte tenu d’une collection d’individus, on peut évaluer la formule ci-dessus pour la vérité ou la fausseté. Par exemple, étant donné la collection restreinte d’individus {Socrate, Platon, Russell, Zeus}, ce qui précède est « vrai » si nous permettons à Zeus d’être un homme. Mais il échoue pour :
(x). φx
parce que Russell n’est pas grec. Et cela échoue pour
(x). xx
parce que Zeus n’est pas un mortel.
Muni de cette notation PM peut créer des formules pour exprimer ce qui suit: « Si tous les Grecs sont des hommes et si tous les hommes sont des mortels alors tous les Grecs sont des mortels ». (PM 1962:138)
(x). φx ψ ψx : (x). ψx xx xx :⊃: (x). φx ⊃ xx
Un autre exemple : la formule :
✸10,01. (Uccx). φx. = . ~ (x). ~ φx Df.
signifie « Les symboles représentant l’assertion ‘Il existe au moins un x qui satisfait la fonction φ’ sont définis par les symboles représentant l’assertion ‘Il n’est pas vrai que, compte tenu de toutes les valeurs de x, il n’y a pas de valeurs de x satisfaisant φ' ».
Les symbolismes ⊃x et « ≡x » apparaissent à ✸10,02 et ✸10,03. Les deux sont des abréviations pour l’universalité (c’est-à-dire pour tous) qui lient la variable x à l’opérateur logique. La notation contemporaine aurait simplement utilisé des parenthèses en dehors du signe d’égalité (« = ») :
✸10,02 φx ⊃ x ψx.=. (x). φx ψ ψx DF Notation contemporaine: ψx(φ(x) → ψ(x)) (ou une variante) ✸10,03 φx ≡ x ψx.=. (x). φx ψ ψx DFC notation contemporaine : ψx(φ(x) ↔ ψ(x)) (ou une variante)
PM attribue le premier symbolisme à Peano.
La section ✸11 applique ce symbolisme à deux variables. Ainsi, les notations suivantes: ⊃x,yy, ⊃x, y pourraient toutes apparaître dans une seule formule.
La section ✸12 réintroduit la notion de » matrice » (table de vérité contemporaine), la notion de types logiques, et en particulier les notions de fonctions et de propositions de premier ordre et de second ordre.
Nouveau symbolisme « φ! x » représente toute valeur d’une fonction du premier ordre. Si un « » circonflexe est placé sur une variable, il s’agit d’une valeur « individuelle » de y, ce qui signifie que « ŷ » indique des « individus » (par exemple, une ligne dans une table de vérité); cette distinction est nécessaire en raison de la nature matricielle / extensive des fonctions propositionnelles.
Maintenant équipé de la notion de matrice, PM peut affirmer son axiome controversé de réductibilité : une fonction d’une ou deux variables (deux étant suffisantes pour l’utilisation de PM) où toutes ses valeurs sont données (i.e., dans sa matrice) est (logiquement) équivalent (« ≡ ») à une fonction « prédicative » des mêmes variables. La définition d’une variable est donnée ci-dessous à titre d’illustration de la notation (PM 1962: 166-167) :
✸12.1 ⊢: ( f f): φx.xx.f! x Pp;
Pp est une « proposition primitive » (« Propositions supposées sans preuve ») (PM 1962:12, c’est-à-dire des « axiomes » contemporains), s’ajoutant aux 7 définis dans la section ✸1 (commençant par ✸1.1 modus ponens). Celles-ci sont à distinguer des « idées primitives » qui incluent le signe d’assertion « ⊢ », la négation « ~ », logique OU « V », les notions de « proposition élémentaire » et de « fonction propositionnelle élémentaire »; celles-ci sont aussi proches que PM vient des règles de formation notationnelle, c’est-à-dire de syntaxe.
Cela signifie: « Nous affirmons la vérité de ce qui suit: Il existe une fonction f avec la propriété que: étant donné toutes les valeurs de x, leurs évaluations en fonction φ (c’est-à-dire résultant de leur matrice) sont logiquement équivalentes à certaines f évaluées à ces mêmes valeurs de x. (et vice versa, d’où l’équivalence logique) ». En d’autres termes : étant donné une matrice déterminée par la propriété φ appliquée à la variable x, il existe une fonction f qui, appliquée à x, est logiquement équivalente à la matrice. Ou : toute matrice φx peut être représentée par une fonction f appliquée à x, et inversement.
✸13: L’opérateur d’identité « = » : C’est une définition qui utilise le signe de deux manières différentes, comme le note la citation de PM:
113.01. x = y.=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
signifie:
« Cette définition stipule que x et y doivent être appelés identiques lorsque chaque fonction prédicative satisfaite par x est également satisfaite par y… Notez que le deuxième signe d’égalité dans la définition ci-dessus est combiné avec « Df », et n’est donc pas vraiment le même symbole que le signe d’égalité qui est défini. »
Le signe non égal « ≠ » fait son apparition en tant que définition à ✸13.02.
✸14: Descriptions:
« Une description est une phrase de la forme » le terme y qui satisfait φŷ, où φ is est une fonction satisfaite par un seul et unique argument. »
À partir de ce PM utilise deux nouveaux symboles, un « E » en avant et un iota inversé « ℩ ». Voici un exemple :
14,02 ✸. E! (φy) (φy).=: (bB) : φy. yet. y = b Df.
Cela a la signification :
« Le y satisfaisant φ exists existe », qui tient quand, et seulement quand φŷ est satisfait par une valeur de y et par aucune autre valeur. »(PM 1967:173-174)
Introduction à la notation de la théorie des classes et des relationsdit
Le texte passe de la section ✸14 directement aux sections fondamentales220 THÉORIE GÉNÉRALE DES CLASSES et THEORY21 THÉORIE GÉNÉRALE DES RELATIONS. Les « relations » sont ce qui est connu dans la théorie des ensembles contemporaine comme des ensembles de paires ordonnées. Les sections ✸ 20 et2 22 introduisent de nombreux symboles encore en usage contemporain. Ceux-ci incluent les symboles « ε », « ⊂ », « ∩ », « ∪ », « – », » Λ », et « V » : « ε » signifie « est un élément de » (PM 1962:188); « ⊂ » (✸22.01) signifie « est contenu dans », « est un sous-ensemble de »; « ∩ » (✸22.02) signifie l’intersection (produit logique) de classes (ensembles); « ∪ » (✸22.03) signifie l’union (somme logique) de classes (ensembles); « – » (✸22.03) signifie la négation d’une classe (ensemble); » Λ » signifie la classe nulle; et « V » signifie la classe universelle ou l’univers du discours.
Les petites lettres grecques (autres que « ε », « ι », « π », « φ », « ψ », « χ » et « θ ») représentent des classes (par exemple, « α », « β », » γ », » δ », etc.) (PM 1962:188):
x ε α » L’utilisation d’une seule lettre à la place de symboles tels que ẑ(φz) ou ẑ(φ! z) est pratiquement presque indispensable, car sinon la notation devient rapidement intolérable. Ainsi, « x ε α » signifiera que « x est un membre de la classe α « ». (PM 1962:188) α ∪–α = Vl’union d’un ensemble et de son inverse est l’ensemble universel (complété). α ∩ -α = Λl’intersection d’un ensemble et de son inverse est l’ensemble nul (vide).
Lorsqu’ils sont appliqués aux relations dans la section ✸23 CALCUL DES RELATIONS, les symboles « ⊂ », « ∩ », « ∪ », et « – » acquérir un point: par exemple: « ⊍ », « ∸ ».
La notion, et la notation, de « classe a » (ensemble) : Dans la première édition, PM affirme qu’aucune nouvelle idée primitive n’est nécessaire pour définir ce que l’on entend par « classe a », et seulement deux nouvelles « propositions primitives » appelées axiomes de réductibilité pour les classes et les relations respectivement (PM 1962:25). Mais avant que cette notion puisse être définie, PM estime nécessaire de créer une notation particulière « φ(φz) » qu’il appelle un « objet fictif ». (PM 1962:188)
⊢ : x ε ẑ (φz).≡. (φx) » c’est-à-dire que ‘x est un membre de la classe déterminée par (φẑ) ‘ est équivalent à ‘x satisfait (φẑ), ‘ ou à ‘ (φx) est vrai.' ». (PM 1962:25)
Au moins PM peut dire au lecteur comment se comportent ces objets fictifs, car « Une classe est entièrement déterminée lorsque son appartenance est connue, c’est-à-dire qu’il ne peut y avoir deux classes différentes ayant la même appartenance » (PM 1962:26). Ceci est symbolisé par l’égalité suivante (similaire à ✸13.01 ci-dessus:
ẑ(φz) = ẑ(ψz). φ : (x) : φx.≡. ψx » Cette dernière est la caractéristique distinctive des classes, et nous justifie de traiter ẑ(ψz) comme la classe déterminée par ψẑ. » (PM 1962:188)
Peut-être que ce qui précède peut être rendu plus clair par la discussion des classes en introduction de la Deuxième Édition, qui dispose de l’Axiome de réductibilité et le remplace par la notion: « Toutes les fonctions des fonctions sont extensionnelles » (PM 1962: xxxix), c’est-à-dire
φx ≡x ψx.⊃. (x) : ƒ (φẑ) ƒ ƒ (ψẑ) (PM 1962:xxxix)
Cela a la signification raisonnable que « SI pour toutes les valeurs de x les valeurs de vérité des fonctions φ et ψ de x sont équivalentes, ALORS la fonction ƒ d’un φ given donné et ƒ de ψ are sont équivalentes. »PM affirme que c’est « évident »:
« C’est évident, puisque φ ne peut se produire que dans ƒ(φẑ) par la substitution de valeurs de φ pour p, q, r,… dans une fonction, et, si φx ψ ψx, la substitution de φx pour p dans une fonction donne la même valeur de vérité à la fonction de vérité que la substitution de ψx. Par conséquent, il n’y a plus de raison de distinguer les classes de fonctions, car nous avons, en vertu de ce qui précède, φx ≠ x ψx.⊃. (x). φẑ =. ψ ψ ».
Observez le changement du signe d’égalité « = » à droite. PM poursuit en disant que cela continuera à s’accrocher à la notation « ẑ(φz) », mais cela est simplement équivalent à φẑ, et c’est une classe. (toutes les citations: PM 1962: xxxix).