Comme le prouve le théorème d’Égrégium de Gauss, une sphère (ou ellipsoïde) ne peut pas être projetée sur un plan sans distorsion. Ceci est généralement illustré par l’impossibilité de lisser une peau d’orange sur une surface plane sans la déchirer et la déformer. La seule vraie représentation d’une sphère à échelle constante est une autre sphère telle qu’un globe.
Compte tenu de la taille pratique limitée des globes, nous devons utiliser des cartes pour une cartographie détaillée. Les cartes nécessitent des projections. Une projection implique une distorsion: Une séparation constante sur la carte ne correspond pas à une séparation constante au sol. Bien qu’une carte puisse afficher une échelle à barres graphiques, l’échelle doit être utilisée en sachant qu’elle ne sera précise que sur certaines lignes de la carte. (Ceci est discuté plus en détail dans les exemples des sections suivantes.)
Soit P un point de latitude φ{\displaystyle\varphi}
et de longitude λ{\displaystyle\lambda}
sur la sphère (ou ellipsoïde). Soit Q un point voisin et soit α{\displaystyle\alpha}
l’angle entre l’élément PQ et le méridien en P : cet angle est l’angle d’azimut de l’élément PQ. Soient P’ et Q’ des points correspondants sur la projection. L’angle entre la direction P’Q’ et la projection du méridien est le palier β{\displaystyle\beta}
. En général α ββ {\displaystyle\alpha\neq\beta}
. Commentaire: cette distinction précise entre l’azimut (à la surface de la Terre) et le roulement (sur la carte) n’est pas universellement observée, de nombreux auteurs utilisant les termes presque indifféremment.
Définition : l’échelle des points à P est le rapport des deux distances P’Q’ et PQ dans la limite que Q approche de P. Nous écrivons ceci comme
μ(λ, φ, α) = lim Q → P P ‘Q’ P Q, {\displaystyle\mu(\lambda, \,\varphi, \,\alpha) = \lim _ {Q\ to P} {\frac {P’Q’} {PQ}}, }
où la notation indique que l’échelle des points est fonction de la position de P et aussi de la direction de l’élément PQ.
Définition: si P et Q se trouvent sur le même méridien (α= 0) {\displaystyle(\alpha=0)}
, l’échelle du méridien est désignée par h(λ, φ) {\displaystyle h(\lambda, \, \varphi)}
Définition: si P et Q se trouvent sur le même parallèle (α=π/2) {\displaystyle(\alpha=\pi/2)}
, l’échelle parallèle est notée par k(λ, φ) {\displaystyle k(\lambda,\, \varphi)}
.
Définition: si l’échelle des points ne dépend que de la position et non de la direction, nous disons qu’elle est isotrope et désignons classiquement sa valeur dans n’importe quelle direction par le facteur d’échelle parallèle k(λ, φ) {\displaystyle k(\lambda, \varphi)}
.
Définition : Une projection cartographique est dite conforme si l’angle entre une paire de lignes se croisant en un point P est le même que l’angle entre les lignes projetées au point projeté P’, pour toutes les paires de lignes se croisant au point P. Une carte conforme a un facteur d’échelle isotrope. Inversement, les facteurs d’échelle isotropes sur la carte impliquent une projection conforme.
L’isotropie de l’échelle implique que les petits éléments sont étirés de manière égale dans toutes les directions, c’est-à-dire que la forme d’un petit élément est préservée. C’est la propriété de l’orthomorphisme (du grec « forme droite »). La qualification « petite » signifie qu’à une certaine précision de mesure donnée, aucun changement ne peut être détecté dans le facteur d’échelle sur l’élément. Comme les projections conformes ont un facteur d’échelle isotrope, elles ont également été appelées projections orthomorphes. Par exemple, la projection de Mercator est conforme car elle est construite pour préserver les angles et son facteur d’échelle est isotopique, une fonction de la latitude uniquement: Mercator conserve la forme dans les petites régions.
Définition : sur une projection conforme avec une échelle isotrope, les points qui ont la même valeur d’échelle peuvent être joints pour former les lignes d’échelle isométrique. Ceux-ci ne sont pas tracés sur des cartes pour les utilisateurs finaux, mais ils figurent dans de nombreux textes standard. (Voir Snyder pages 203 à 206.)
La fraction représentative (RF) ou l’échelle principaledit
Il existe deux conventions utilisées pour établir les équations d’une projection donnée. Par exemple, la projection cylindrique équirectangulaire peut être écrite en tant que
cartographes : x= a λ {\displaystyle x=a\lambda}
y = a φ {\displaystyle y=a\varphi}
mathématiciens: x=λ{\displaystyle x=\lambda}
y=φ{\displaystyle y=\varphi}
Nous adopterons ici la première de ces conventions (à la suite de l’utilisation dans le enquêtes par Snyder). De toute évidence, les équations de projection ci-dessus définissent des positions sur un énorme cylindre enroulé autour de la Terre puis déroulé. On dit que ces coordonnées définissent la carte de projection qu’il faut distinguer logiquement des cartes imprimées (ou visualisées) réelles. Si la définition de l’échelle de points dans la section précédente est en termes de carte de projection, nous pouvons nous attendre à ce que les facteurs d’échelle soient proches de l’unité. Pour les projections cylindriques tangentes normales, l’échelle le long de l’équateur est k = 1 et en général, l’échelle change lorsque nous nous éloignons de l’équateur. L’analyse de l’échelle sur la carte de projection est une enquête sur le changement de k par rapport à sa véritable valeur d’unité.
Les cartes imprimées réelles sont produites à partir de la carte de projection par une échelle constante indiquée par un rapport tel que 1:100M (pour les cartes du monde entier) ou 1: 10000 (pour les plans de villes par exemple). Pour éviter toute confusion dans l’utilisation du mot « échelle », cette fraction à échelle constante est appelée fraction représentative (RF) de la carte imprimée et doit être identifiée avec le rapport imprimé sur la carte. Les coordonnées réelles de la carte imprimée pour la projection cylindrique équirectangulaire sont
carte imprimée: x =(R F) a λ {\displaystyle x =(RF) a\lambda}
y =(R F) a φ {\displaystyle y =(RF) a\varphi}
Cette convention permet de distinguer clairement l’échelle de projection intrinsèque et l’échelle de réduction.
À partir de ce point, nous ignorons le RF et travaillons avec la carte de projection.
Visualisation de l’échelle des points : l’indicateur tissotmodiFier
Considérons un petit cercle à la surface de la Terre centré en un point P à la latitude φ {\ displaystyle\varphi}
et la longitude λ {\displaystyle\lambda}
. Puisque l’échelle des points varie en fonction de la position et de la direction, la projection du cercle sur la projection sera déformée. Tissot a prouvé que, tant que la distorsion n’est pas trop grande, le cercle deviendra une ellipse sur la projection. En général, la dimension, la forme et l’orientation de l’ellipse changeront au cours de la projection. La superposition de ces ellipses de distorsion sur la projection de la carte traduit la manière dont l’échelle des points change sur la carte. L’ellipse de distorsion est connue sous le nom d’indicatrice de Tissot. L’exemple illustré ici est la projection Winkel tripel, la projection standard pour les cartes du monde réalisée par la National Geographic Society. La distorsion minimale est sur le méridien central à des latitudes de 30 degrés (Nord et Sud). (Autres exemples).
Échelle ponctuelle pour les projections cylindriques normales de la sphèreEdit
La clé d’une compréhension quantitative de l’échelle est de considérer un élément infinitésimal sur la sphère. La figure montre un point P à la latitude φ{\displaystyle\varphi}
et à la longitude λ{\displaystyle\lambda}
sur la sphère. Le point Q est à la latitude φ + δ φ {\displaystyle\varphi +\delta\varphi}
et longitude λ + δ λ {\displaystyle\lambda+\delta\lambda}
. Les lignes PK et MQ sont des arcs de méridiens de longueur a δ φ {\displaystyle a\,\delta\varphi}
où a {\displaystyle a}
est le rayon de la ligne sphere et φ{\displaystyle\varphi}
est en mesure radian. Les droites PM et KQ sont des arcs de cercles parallèles de longueur (a cos φ φ) δ λ {\displaystyle(a\cos\varphi)\delta\lambda}
avec λ {\displaystyle\lambda}
en mesure radian. En dérivant une propriété ponctuelle de la projection en P, il suffit de prendre un élément infinitésimal PMQK de la surface : dans la limite de Q approchant P, un tel élément tend vers un rectangle plan infinitésimal petit.
Les projections cylindriques normales de la sphère ont x=a λ{\displaystyle x=a\lambda}
et y{\displaystyle y}
égal à une fonction de latitude uniquement. Par conséquent, l’élément infinitésimal PMQK sur la sphère se projette sur un élément infinitésimal Pm’Q’K’ qui est un rectangle exact avec une base δ x = a δ λ {\displaystyle\delta x = a\,\delta\lambda}
et une hauteur δ y {\displaystyle\delta y}
. En comparant les éléments sur la sphère et la projection, nous pouvons immédiatement déduire des expressions pour les facteurs d’échelle sur les parallèles et les méridiens. (Le traitement de l’échelle dans une direction générale peut être trouvé ci-dessous.) facteur d’échelle parallèle k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle\quad k \; = \; {\dfrac {\delta x} {a\cos\varphi\, \delta\lambda\, } } =\, \sec\varphi\qquad\ qquad {}}
facteur d’échelle méridienne h = δ et δ φ = y'(φ) a {\displaystyle\quad h\; = \; {\dfrac {\delta y} {a\, \delta\varphi\, } } = {\dfrac {y'(\varphi) } {a}}}
Notez que le facteur d’échelle parallèle k = sec φ φ {\displaystyle k =\sec\varphi}
est indépendant de la définition de y(φ) {\displaystyle y(\varphi)}
donc c’est la même chose pour toutes les projections cylindriques normales. Il est utile de noter qu’à une latitude de 30 degrés, l’échelle parallèle est k = sec 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\ displaystyle k = \sec 30^{\circ}= 2/{\sqrt{3}} = 1.15}
à une latitude de 45 degrés dans le parallèle de l’échelle est k = sec 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}
à la latitude de 60 degrés, le parallèle de l’échelle est k = sec 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\s 60^{\circ }=2}
à 80 degrés de latitude du parallèle de l’échelle est k = sec 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\s 80^{\circ }=5.76}
à une latitude de 85 degrés, l’échelle parallèle est k =sec 85 ∘=11,5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ}=11,5}
Les exemples suivants illustrent trois projections cylindriques normales et, dans chaque cas, la variation d’échelle avec la position et la direction est illustrée par l’utilisation de l’indicatrice de Tissot.
Trois exemples de projection cylindrique normaledit
La projection équirectangulaire
La projection équirectangulaire, également appelée Plaque Carrée (en français pour « carré plat ») ou (de manière quelque peu trompeuse) la projection équidistante, est définie par
x=a λ, {\displaystyle x=a\lambda,}
y = a φ, {\displaystyle y=a\varphi,}
où a {\displaystyle a}
est le rayon de la sphère, λ {\displaystyle\lambda}
est la longitude à partir du méridien central de la projection (ici pris comme méridien de Greenwich à λ=0 {\displaystyle\lambda=0}
) et φ {\displaystyle\varphi}
est la latitude. Notez que λ{\displaystyle\lambda}
et φ{\displaystyle\varphi}
sont en radians (obtenus en multipliant la mesure de degré par un facteur de π {\displaystyle\pi}
/180). La longitude λ{\displaystyle\lambda}
est dans la plage {\displaystyle}
et la latitude φ{\displaystyle\varphi}
est dans la plage {\displaystyle}
.
Puisque y'(φ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi) = 1}
la section précédente donne une échelle parallèle, k = δ x a cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle\quad k\;=\;{\dfrac {\delta x} {a\cos\varphi\,\delta\lambda\,}} =\,\sec\varphi\qquad\ qquad {}}
échelle méridienne h = δ y a δ φ = 1 {\displaystyle\quad h\; =\; {\dfrac {\delta y} {a\,\delta\varphi \,}}=\,1}
Pour le calcul de l’échelle de points dans une direction arbitraire, voir addendum.
La figure illustre l’indicatrice Tissot pour cette projection. Sur l’équateur h = k = 1 et les éléments circulaires ne sont pas déformés surprojection. Aux latitudes plus élevées, les cercles sont déformés en une ellipse donnée en s’étirant uniquement dans la direction parallèle: il n’y a pas de distorsion dans la direction méridienne. Le rapport de l’axe majeur à l’axe mineur est sec φ φ {\displaystyle\sec\varphi}
. Il est clair que l’aire de l’ellipse augmente du même facteur.
Il est instructif d’envisager l’utilisation d’échelles à barres qui pourraient apparaître sur une version imprimée de cette projection. L’échelle est vraie (k = 1) sur l’équateur de sorte que la multiplication de sa longueur sur une carte imprimée par l’inverse de la RF (ou échelle principale) donne la circonférence réelle de la Terre. L’échelle des barres sur la carte est également dessinée à l’échelle réelle de sorte que le transfert d’une séparation entre deux points de l’équateur à l’échelle des barres donnera la distance correcte entre ces points. La même chose est vraie sur les méridiens. Sur un parallèle autre que l’équateur, l’échelle est sec φ φ {\displaystyle\sec\varphi}
donc, lorsque nous transférons une séparation d’un parallèle à l’échelle des barres, nous devons diviser la distance de l’échelle des barres par ce facteur pour obtenir la distance entre les points mesurée le long du parallèle (qui n’est pas la vraie distance le long d’un grand cercle). Sur une ligne à un palier de 45 degrés par exemple (β = 45 {{\displaystyle\beta= 45^{\circ}}
) l’échelle varie continuellement avec la latitude et le transfert d’une séparation le long de la ligne à l’échelle des barres ne donne pas de distance liée à la distance réelle de manière simple. (Mais voir addendum). Même si l’on pouvait établir une distance le long de cette ligne de constante portant sa pertinence est discutable car une telle ligne sur la projection correspond à une courbe compliquée sur la sphère. Pour ces raisons, les échelles à barres sur les cartes à petite échelle doivent être utilisées avec une extrême prudence.
Projection Mercator
La projection de Mercator mappe la sphère à un rectangle (d’étendue infinie dans la direction y {\displaystyle y}
) par les équations x= a λ {\displaystyle x=a\lambda\,}
y = a ln {{\displaystyle y = a\ln\left}
où a, λ {\displaystyle\lambda\,}
et φ{\displaystyle\varphi\,}
sont comme dans l’exemple précédent. Puisque y'(φ) = sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi) = a\sec\varphi}
les facteurs d’échelle sont : échelle parallèle k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ. {\displaystyle k\; =\; {\dfrac {\delta x} {a\cos\varphi\, \delta\lambda\, }} =\,\sec\varphi.}
échelle méridienne h = δ et a δ φ = sec φ. {\displaystyle h\; =\; {\dfrac {\delta y} {a\, \delta\varphi\,}} =\, \sec\varphi.}
Dans l’addendum mathématique, il est montré que l’échelle des points dans une direction arbitraire est également égale à sec φ φ {\displaystyle\sec\varphi}
donc l’échelle est isotrope (identique dans toutes les directions), sa magnitude augmentant avec la latitude comme sec φ φ {\displaystyle\sec\ varphi}
. Dans le diagramme de Tissot, chaque élément circulaire infinitésimal conserve sa forme mais s’agrandit de plus en plus à mesure que la latitude augmente.
Projection d’aire égale de Lambert
La projection d’aire égale de Lambert mappe la sphère à une surface finie le rectangle par les équations
x = a λ y = a sin φ φ {\displaystyle x = a\lambda\qquad\qquad y = a\sin\varphi}
où a, λ {\displaystyle\lambda}
p>
et φ{\displaystyle\varphi}
sont comme dans l’exemple précédent. Puisque y'(φ) = cos φ φ {\displaystyle y'(\varphi) =\cos\varphi}
les facteurs d’échelle sont une échelle parallèle k = δ x cos φ φ δ λ = sec φ φ {\displaystyle\quad k\; =\; {\dfrac {\ je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème.\;{\dfrac {\delta x} {a\cos\varphi\, \delta\lambda\,}} =\,\sec\varphi\qquad\qquad {}}
échelle méridienne h = δ y a δ φ = cos φ φ {\displaystyle\quad h\; =\; {\dfrac {\delta y} {a\,\delta\varphi\, } } = \, \cos\varphi}
Le calcul de l’échelle de points dans une direction arbitraire est donné ci-dessous.
Les échelles verticale et horizontale se compensent maintenant (hk = 1) et dans le diagramme de Tissot, chaque élément circulaire infinitésimal est déformé en une ellipse de la même surface que les cercles non déformés de l’équateur.
Graphiques des facteurs d’échelle
Le graphique montre la variation des facteurs d’échelle pour les trois exemples ci-dessus. Le graphique du haut montre la fonction d’échelle de Mercator isotrope: l’échelle sur le parallèle est la même que l’échelle sur le méridien. Les autres graphiques montrent le facteur d’échelle méridien pour la projection équirectangulaire (h = 1) et pour la projection à aire égale de Lambert. Ces deux dernières projections ont une échelle parallèle identique à celle du tracé de Mercator. Pour les Lambert, notez que l’échelle parallèle (comme Mercator A) augmente avec la latitude et l’échelle méridienne (C) diminue avec la latitude de telle sorte que hk = 1, garantissant la conservation de la zone.
Variation d’échelle sur la projection de Mercatordit
L’échelle des points de Mercator est unité sur l’équateur car elle est telle que le cylindre auxiliaire utilisé dans sa construction est tangent à la Terre à l’équateur. Pour cette raison, la projection habituelle devrait être appelée projection tangente. L’échelle varie avec la latitude comme k = sec φ φ {\displaystyle k=\sec\varphi}
. Puisque sec φφ {\displaystyle\sec\varphi}
tend vers l’infini à mesure que nous approchons des pôles, la carte de Mercator est grossièrement déformée aux hautes latitudes et pour cette raison, la projection est totalement inappropriée pour les cartes du monde (sauf si nous parlons de navigation et de lignes de rhumb). Cependant, à une latitude d’environ 25 degrés, la valeur de sec φφ {\displaystyle\sec\varphi}
est d’environ 1.1 Mercator est donc précis à 10% près dans une bande de largeur de 50 degrés centrée sur l’équateur. Les bandes plus étroites sont meilleures: une bande de largeur de 16 degrés (centrée sur l’équateur) est précise à 1% ou 1 partie sur 100.
Un critère standard pour de bonnes cartes à grande échelle est que la précision doit être de 4 parties sur 10 000, soit 0,04 %, correspondant à k=1,0004 {\displaystyle k=1,0004}
. Puisque sec φφ {\displaystyle\sec\varphi}
atteint cette valeur à φ=1.62 {\displaystyle\varphi=1.62}
degrés (voir figure ci-dessous, ligne rouge). Par conséquent, la projection de Mercator tangente est très précise dans une bande de largeur de 3,24 degrés centrée sur l’équateur. Cela correspond à une distance nord-sud d’environ 360 km (220 mi). Dans cette bande, Mercator est très bon, très précis et conserve la forme car il est conforme (conservation de l’angle). Ces observations ont incité au développement des projections de Mercator transversales dans lesquelles un méridien est traité « comme un équateur » de la projection afin d’obtenir une carte précise à une distance étroite de ce méridien. Ces cartes sont bonnes pour les pays alignés presque nord-sud (comme la Grande-Bretagne) et un ensemble de 60 cartes de ce type est utilisé pour le Mercator Transversal universel (UTM). Notez que dans ces deux projections (qui sont basées sur divers ellipsoïdes), les équations de transformation pour x et y et l’expression du facteur d’échelle sont des fonctions compliquées de latitude et de longitude.
Projection sécante ou modifiée
L’idée de base d’une projection sécante est que la sphère est projetée sur un cylindre qui coupe la sphère à deux parallèles, disons φ 1 {\displaystyle\varphi_{1}}
nord et sud. Il est clair que l’échelle est maintenant vraie à ces latitudes alors que les parallèles sous ces latitudes sont contractés par la projection et que leur facteur d’échelle (parallèle) doit être inférieur à un. Le résultat est que la déviation de l’échelle par rapport à l’unité est réduite sur une plus large gamme de latitudes.
À titre d’exemple, une projection de Mercator sécante possible est définie par
x = 0,9996 a λ y = 0,9996 a ln (tan (π 4 + φ 2)). {\displaystyle x = 0,9996a\lambda\qquad\qquad y = 0,9996a\ln\left(\tan\left({\frac{\pi}{4}} +{\frac{\varphi}{2}}\right)\right).}
Les multiplicateurs numériques ne modifient pas la forme de la projection mais cela signifie que les facteurs d’échelle sont modifiés :
échelle de Mercator sécante, k = 0,9996 sec φ φ. {\displaystyle\quad k\; = 0,9996\sec\varphi.}
Ainsi
- l’échelle sur l’équateur est de 0,9996,
- l’échelle est k = 1 à une latitude donnée par φ 1 {\displaystyle\varphi_{1}}
où sec φ φ 1 = 1/ 0,9996 = 1,00004 {\displaystyle\sec\varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}
de sorte que φ 1 = 1,62 {\displaystyle\varphi_{1}= 1,62}
degrés,
k= 1,0004 à la latitude φ 2 {\displaystyle\varphi_{2}} donné par la sec φ φ 2= 1.0004/0.9996= 1.0008 {\displaystyle\sec\varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}
pour lequel le support φ 2 = 2.29 a {\displaystyle\varphi_{2} = 2.29}
degrés. Par conséquent, la projection a 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1 < k < 1.0004}
, soit une précision de 0,04%, sur une bande plus large de 4,58 degrés (contre 3,24 degrés pour la forme tangente).
Ceci est illustré par la courbe inférieure (verte) de la figure de la section précédente.
De telles zones étroites de haute précision sont utilisées dans la projection UTM et la projection britannique OSGB, qui sont toutes deux sécantes, Mercator transversal sur l’ellipsoïde avec l’échelle sur la constante du méridien central à k 0 = 0,9996 {\displaystyle k_{0} = 0,9996}
. Les lignes isoscales avec k=1 {\displaystyle k=1}
sont des lignes légèrement incurvées à environ 180 km à l’est et à l’ouest du méridien central. La valeur maximale du facteur d’échelle est de 1,001 pour UTM et de 1,0007 pour OSGB.
Les lignes d’échelle unitaire à la latitude φ 1 {\displaystyle\varphi_{1}}
(nord et sud), où la surface de projection cylindrique coupe la sphère, sont les parallèles standard de la projection sécante.
Alors qu’une bande étroite avec /k−1/<0.0004 {\displaystyle/k-1/< 0.0004}
est important pour la cartographie de haute précision à grande échelle, car les cartes du monde utilisent des parallèles standard beaucoup plus espacés pour contrôler la variation d’échelle. Les exemples sont
- Behrmann avec des parallèles standard à 30N, 30S.
- Aire égale de galle avec des parallèles standard à 45N, 45S.
Les graphiques d’échelle de ce dernier sont présentés ci-dessous par rapport aux facteurs d’échelle de surface égale de Lambert. Dans ce dernier cas, l’équateur est un parallèle standard unique et l’échelle parallèle augmente à partir de k = 1 pour compenser la diminution de l’échelle méridienne. Pour la Galle, l’échelle parallèle est réduite à l’équateur (à k = 0,707) tandis que l’échelle méridienne est augmentée (à k = 1,414). Cela donne lieu à une distorsion grossière de la forme dans la projection de Galle-Peters. (Sur le globe, l’Afrique est à peu près aussi longue qu’elle est large). Notez que les échelles méridienne et parallèle sont toutes deux unitaires sur les parallèles standard.
Mathematical addendumEdit
Pour les projections cylindriques normales, la géométrie des éléments infinitésimaux sur la sphère et une projection cylindrique normale
Pour les projections cylindriques normales, la géométrie des éléments infinitésimaux donne
(a) tan α α = a cos φ φ δ λ a δ φ, {\displaystyle {\text{(a)}}\quad\tan\alpha = {\frac {a\cos\varphi\,\delta\lambda} {a\,\delta\varphi}},}
(b) tan β = δ x δ y = a δ λ δ y. {\displaystyle{\text{(b)}}\quad\tan\beta = {\frac {\delta x}{\delta y}} ={\frac{a\,\delta\lambda}{\delta y}}.}
La relation entre les angles β{\displaystyle\beta}
et α{\displaystyle\alpha}
est (c) tan β = a sec φ φ y'(φ) tan α α. {\displaystyle{\text{(c)}}\quad\tan\beta = {\frac{a\sec\varphi}{y'(\varphi)}}\tan\alpha.\,}
Pour la projection de Mercator y'(φ) = a sec φ φ {\displaystyle y'(\varphi)=a\sec\varphi}
donnant α =β {\displaystyle\alpha=\beta}
: les angles sont conservés. (Rien d’étonnant puisque c’est la relation utilisée pour dériver Mercator). Pour les projections équidistantes et de Lambert, nous avons y'(φ) = a {\displaystyle y'(\varphi) = a}
et y'(φ) = a cos φφ {\displaystyle y'(\varphi) = a\cos\varphi}
respectivement donc la relation entre α{\displaystyle\alpha}
et β{\displaystyle\beta}
dépend de la latitude φ{\displaystyle\varphi}
. Désigne l’échelle des points à P lorsque l’élément infinitésimal PQ fait un angle α{\displaystyle\alpha\,}
avec le méridien par μ α. {\displaystyle\mu_{\alpha}.}
Elle est donnée par le rapport des distances : μ α = lim Q → P P ‘ Q’ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ δ λ 2. {\displaystyle\mu_{\alpha} =\lim _{Q\à P} {\frac {P Q}{PQ}} =\lim _{Q\à P}{\frac{\sqrt {\delta x^{2} +\delta y^{2}}} {\sqrt {a^{2}\,\delta\varphi^{2} +a^{2}\cos^{2}\varphi\,\delta\lambda^{2}}} }.}
Définir δ x = a δ λ {\displaystyle\delta x=a\,\delta\lambda}
et substituer δ φ {\displaystyle\delta\varphi}
et δ y {\displaystyle\delta y}
des équations (a) et (b) donne respectivement μ α(φ) = sec φ φ. {\displaystyle\mu_{\alpha}(\varphi) = \sec\varphi\left.}
Pour les projections autres que Mercator, nous devons d’abord calculer β{\displaystyle\beta}
à partir de α{\displaystyle\alpha}
et φ {\displaystyle\varphi }
en utilisant l’équation (c), avant que nous puissions trouver μ α{\displaystyle\mu_{\alpha}}
. Par exemple, la projection équirectangulaire a y’= a {\displaystyle y’=a}
de sorte que tan β β = sec φ φ tan α. {\displaystyle\tan\beta=\sec\varphi\tan\alpha.\,}
