en forfatter observerer at «notasjonen i dette arbeidet har blitt erstattet av den etterfølgende utviklingen av logikk i løpet av det 20.århundre, i den grad at nybegynneren har problemer med å lese PM i det hele tatt»; mens mye av det symbolske innholdet kan konverteres til moderne notasjon, er den opprinnelige notasjonen i seg selv «et emne for vitenskapelig tvist», og en del notasjon «legemliggjør materielle logiske doktriner slik at den ikke enkelt kan erstattes. Av moderne Symbolikk».
Kurt Gö var strengt kritisk til notasjonen:
«det er å beklage at denne første omfattende og grundige presentasjonen av en matematisk logikk og avledning av matematikk fra den så sterkt mangler i formell presisjon i grunnlaget (inneholdt i ✸1-✸21 Av Principia ) at den representerer i denne forbindelse et betydelig skritt bakover sammenlignet med Frege. Det som mangler, fremfor alt, er en presis uttalelse av formalismens syntaks. Syntaktiske hensyn er utelatt selv i tilfeller der de er nødvendige for bevisets cogency».
dette gjenspeiles i eksemplet nedenfor på symbolene «p», «q», » r » og » ⊃ «som kan formes til strengen » p ⊃ q ⊃ r». PM krever en definisjon av hva denne symbolstrengen betyr i form av andre symboler; i moderne behandlinger ville» formasjonsregler «(syntaktiske regler som førte til» velformede formler») ha forhindret dannelsen av denne strengen.
Kilde til notasjonen: Kapittel I «Foreløpige Forklaringer av Ideer og Notasjoner» begynner med kilden til de elementære delene av notasjonen (symbolene = ⊃ ≡ −λε og systemet med prikker):»notasjonen som er vedtatt i det nåværende arbeidet er basert På Peano, og følgende forklaringer er til en viss grad modellert på de som han prefikser Til Hans Formulario Mathematico . Hans bruk av prikker som parentes er vedtatt, og så er mange av hans symboler» (PM 1927:4).
PM endret Peanos Ɔ til ⊃ og vedtok også noen av Peanos senere symboler, som for eksempel ℩ og ι, Og peanos praksis med å snu bokstaver på hovedet.
PM vedtar påstandstegnet «⊦» Fra Freges 1879 Begriffsschrift:
«(I)t kan leses ‘det er sant at ‘»
Dermed å hevde et forslag p PM skriver:
«⊦. s. » (PM 1927: 92)
(Legg Merke til at, som i originalen, er venstre prikk firkantet og av større størrelse enn perioden til høyre.)
Det Meste av resten av notasjonen I PM ble oppfunnet Av Whitehead.
en introduksjon til notasjonen «Seksjon A Matematisk Logikk» (formler ✸1–✸5.71)Rediger
PM ‘s prikker brukes på samme måte som parenteser. Hver prikk (eller flere prikk) representerer enten en venstre eller høyre parentes eller det logiske symbolet ∧. Mer enn ett punkt indikerer «dybden» av parentesene, for eksempel».», «: «eller»:.», «::». Men plasseringen av matchende høyre eller venstre parentes er ikke angitt eksplisitt i notasjonen, men må utledes fra noen regler som er komplekse og til tider tvetydige. Videre, når prikkene står for et logisk symbol, må dets venstre og høyre operander utledes ved hjelp av lignende regler. Først må man bestemme basert på kontekst om prikkene står for en venstre eller høyre parentes eller et logisk symbol. Deretter må man bestemme hvor langt den andre tilsvarende parentesen er: her fortsetter man til man møter enten et større antall prikker, eller det samme antall prikker neste som har lik eller større «kraft», eller slutten av linjen. Prikker ved siden av skiltene ⊃,≡,∨, =Df har større kraft enn prikker ved siden av (x), (∃x) og så videre, som har større kraft enn prikker som indikerer et logisk produkt ∧
Eksempel 1. Linjen
✸3.4. ⊢ : s . q. ⊃ . p ⊃ q
tilsvarer
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
de to prikkene som står sammen umiddelbart etter påstandstegnet indikerer at det som hevdes er hele linjen: siden det er to av dem, er deres omfang større enn for noen av de enkelte prikkene til høyre. De erstattes av en venstre parentes som står der prikkene er og en høyre parentes på slutten av formelen, således:
⊢ (s . q. ⊃ . p ⊃ q).
(i praksis blir disse ytterste parentesene, som omslutter en hel formel, vanligvis undertrykt.) Den første av de enkelte punktene, som står mellom to proposisjonelle variabler, representerer sammenheng. Den tilhører den tredje gruppen og har det smaleste omfanget. Her erstattes det av det moderne symbolet for sammenheng»∧», dermed
⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).
de to gjenværende enkeltpunktene plukker ut hovedforbindelsen til hele formelen. De illustrerer nytten av dot notasjon i å plukke ut de connectives som er relativt viktigere enn de som omgir dem. Den til venstre for » ⊃ » er erstattet av et par parenteser, den rette går der prikken er og den venstre går så langt til venstre som mulig uten å krysse en gruppe prikker med større kraft, i dette tilfellet de to prikkene som følger påstandstegnet, og dermed
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . punktet til høyre for » ⊃ » erstattes av en venstre parentes som går der prikken er og en høyre parentes som går så langt til høyre som mulig uten å gå utover omfanget som allerede er etablert av en gruppe prikker med større kraft (i dette tilfellet de to prikkene som fulgte påstandstegnet). Så er høyre parentes som erstatter prikken til høyre for «⊃» plassert foran høyre parentes som erstattet de to prikkene som fulgte påstandstegnet, og dermed ⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Eksempel 2, med doble, tredoble og firedoble prikker:
✸9.521. ⊢ :: (∃x). φ . ⊃ . q: ⊃ (∃x). φ . v. r: ⊃ q v r
står for
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Eksempel 3, med en dobbel prikk indikerer en logisk symbol (fra volum 1, side 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
står for
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(s⊃r))
hvor dobbeltrom prikk representerer den logiske symbol ∧ og kan sees på som å ha høyere prioritet, som en ikke-logisk enkelt punkt.
Senere i seksjon ✸14, vises parentes»», og i seksjoner ✸20 og følgende, vises parentes» {}». Om disse symbolene har spesifikke betydninger eller bare er for visuell avklaring, er uklart. Dessverre er den eneste prikken (men ogsa «:»,»:.», «::», osv.) brukes også til å symbolisere «logisk produkt» (moderne logisk og ofte symbolisert med » & «eller»∧»).
Logisk implikasjon er representert Ved Peanos» Ɔ «forenklet til»⊃», logisk negasjon er symbolisert ved en langstrakt tilde, dvs. » ~ «(moderne » ~ «eller»»), den logiske ELLER ved»v». Symbolet » = » sammen med «Df» brukes til å indikere «er definert som», mens i avsnitt ✸13 og følgende, » = «er definert som (matematisk) «identisk med», dvs. moderne matematisk «likestilling» (jf. diskusjon i seksjon ✸13). Logisk ekvivalens er representert ved » ≡ «(moderne «hvis og bare hvis»); «elementære» proposisjonsfunksjoner skrives på vanlig måte, for eksempel » f (p)», men senere vises funksjonstegnet direkte før variabelen uten parentes, for eksempel «φx»,» xx», etc.
Eksempel, PM introduserer definisjonen av «logisk produkt» som følger:
✸3.01. p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.hvor » p . q » er det logiske produktet av p og q. ✸3.02. p ⊃ q ⊃ =. p ⊃ q . q ⊃ r Df.Denne definisjonen tjener bare til å forkorte bevis. Oversettelse av formlene til samtidige symboler: Ulike forfattere bruker alternative symboler, så ingen endelig oversettelse kan gis. Men på grunn Av kritikk som Kurt Gö nedenfor, vil de beste moderne behandlingene være svært presise med hensyn til» formasjonsregler » (syntaksen) av formlene.
den første formelen kan konverteres til moderne symbolikk som følger:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
vekselvis
(p & q) = df ((p v q))
vekselvis
(p ∧ q) =df ((p v q))
etc.
Den andre formelen kan konverteres som følger:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Men merk at dette ikke er (logisk) ekvivalent til (p → (q → r)) heller ikke ((p → q) → r), og disse to er ikke logisk ekvivalent heller.
en introduksjon til notasjonen av «Seksjon B Teori Om Tilsynelatende Variabler» (formler ✸8–✸14.34) Edit
disse seksjonene omhandler det som nå kalles predikatlogikk, og predikatlogikk med identitet (likestilling).
- NB: som et resultat av kritikk og fremskritt erstatter den andre utgaven AV PM (1927) ✸9 med en ny ✸8 (Vedlegg a). Denne nye delen eliminerer den første utgavens skille mellom reelle og tilsynelatende variabler ,og den eliminerer «den primitive ideen» påstand om en propositional funksjon». For å legge til kompleksiteten i behandlingen introduserer ✸8 begrepet å erstatte en «matrise» og Sheffer-slag:
- Matrise: I moderne bruk ER PM ‘ s matrise (i det minste for proposisjonelle funksjoner), en sannhetstabell, dvs. alle sannhetsverdier av en proposisjonell eller predikatfunksjon.
- Sheffer stroke: Er den samtidige logiske nand (IKKE-OG), dvs. «inkompatibilitet», som betyr:
«Gitt to proposisjoner p og q, så betyr’ p | q ‘»proposisjoner p er uforenlig med proposisjoner q», dvs. hvis begge proposisjonene p og q evaluerer som sanne, da og bare da p | q evaluerer som falske.»Etter seksjon ✸8 Ser Sheffer-slaget ingen bruk.
Seksjon ✸10: eksistensielle og universelle «operatører»: PM legger til «(x) «for å representere den samtidige symbolikken» for alle x «dvs. » ∀x», og den bruker en baklengs serifed E for å representere «det eksisterer en x», dvs.» (Ǝ x», dvs. den samtidige «∃x». Den typiske notasjonen vil være lik følgende:
«(x) . φ «betyr» for alle verdier av variabel x, evaluerer funksjonen φ til sann «» (Ǝ) . φx» betyr «for noen verdi av variabelen x, funksjon φ evaluerer til true»
Avsnitt ✸10, ✸11, ✸12: Egenskapene til en variabel utvidet til alle individer: § ✸10 introduserer begrepet «eiendom» av en «variabel». PM gir eksemplet: φ er en funksjon som indikerer «er en gresk», og ψ indikerer «er en mann», og χ indikerer «er en dødelig» disse funksjonene gjelder da for en variabel x. PM kan nå skrive og evaluere:
(x) . ψ
notasjonen ovenfor betyr «for alle x, x er en mann». Gitt en samling av individer, kan man vurdere formelen ovenfor for sannhet eller falskhet. For eksempel, gitt den begrensede samlingen av individer { Sokrates, Platon, Russell, Zeus}, vurderer ovennevnte til «sant» hvis Vi tillater Zeus å være en mann. Men det mislykkes for:
(x) . φ
Fordi Russell ikke er gresk. Og det mislykkes for
(x) . xx
Fordi Zeus ikke er en dødelig.UTSTYRT MED denne notasjonen KAN PM lage formler for å uttrykke følgende: «Hvis Alle Grekere er menn, og hvis alle menn er dødelige, så er Alle Grekere dødelige». (PM 1962:138)
(x). hryvnax ⊃ ψ: (x). ψ x ⊃ xx: hryvnias: (x) . φ xx
Et annet eksempel: formelen:
✸10.01. (Ǝ). φ . = . ~(x) . ~ φ Df .
betyr «symbolene som representerer påstanden» det finnes minst en x som tilfredsstiller funksjonen φ «er definert av symbolene som representerer påstanden» det er ikke sant at, gitt alle verdier av x, er det ingen verdier av x som tilfredsstiller φ»».
symbolikkene ⊃x og «≡x » vises hos ✸10.02 og ✸10.03. Begge er forkortelser for universalitet (dvs. for alle) som binder variabelen x til den logiske operatoren. Samtidsnotasjon ville ganske enkelt ha brukt parenteser utenfor likestillingstegnet ( » = » ):
✸10.02 φx@x x ψ .=. (x). φ x ⊃ ψ dfsamtidig Notasjon: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (eller en variant) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). φ x (x) hryvnja(x)) (eller en variant)
pm tilskriver den første symbolikken Til peano.
seksjon ✸11 bruker denne symbolikken til to variabler. Følgelig kan følgende betegnelser: ⊃x, ⊃y, ⊃x, y alle vises i en enkelt formel.
seksjon ✸12 gjeninnfører begrepet «matrise» (moderne sannhetstabell), begrepet logiske typer, og spesielt begrepet førsteordens-og andreordensfunksjoner og proposisjoner.
ny symbolikk » φ ! x » representerer en verdi av en førsteordensfunksjon. Hvis en circumflex «»er plassert over en variabel, er dette en» individuell «verdi av y, noe som betyr at» ŷ «indikerer» individer » (f. eks. en rad i en sannhetstabell); dette skillet er nødvendig på grunn av matrisen / forlengelsen av proposisjonelle funksjoner.
NÅ utstyrt med matrisebegrepet, KAN PM hevde sitt kontroversielle reduksjonsaksiom: en funksjon av en eller to variabler (to er tilstrekkelig FOR PM ‘s bruk) der alle dens verdier er gitt (dvs ., i sin matrise) er (logisk) ekvivalent ( » ≡ «) til noen» predikativ » funksjon av de samme variablene. Den envariable definisjonen er gitt nedenfor som en illustrasjon av notasjonen (PM 1962: 166-167):
✸12.1@ f): (φ.≡x. f ! X Pp;
Pp er En «Primitiv proposisjon» («Proposisjoner antatt uten bevis») (PM 1962:12, dvs.samtidige» aksiomer»), og legger til de 7 som er definert i seksjon ✸1 (starter med ✸1.1 modus ponens). Disse skal skilles fra de «primitive ideene» som inkluderer påstandstegnet»⊢», negasjon»~», logisk eller» V», begrepene» elementær proposisjon «og» elementær proposisjonsfunksjon»; disse er så nært SOM PM kommer til regler for notasjonsformasjon, dvs.syntaks.
Dette betyr: «Vi hevder sannheten om følgende: Det finnes en funksjon f med egenskapen at: gitt alle verdier av x, er deres evalueringer i funksjon φ (dvs. resulterer i matrisen) logisk ekvivalent med noen f evaluert ved de samme verdiene av x. (og omvendt, dermed logisk ekvivalens)». Med andre ord: gitt en matrise bestemt av eiendom φ brukt på variabel x, eksisterer det en funksjon f som, når den brukes på x, er logisk ekvivalent med matrisen. Eller: hver matrise φ kan representeres av en funksjon f anvendt på x, og omvendt.
✸13: identitetsoperatøren»=»: dette er en definisjon som bruker tegnet på to forskjellige måter, som angitt av sitatet FRA PM:
✸13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
betyr:
» denne definisjonen sier at x og y skal kalles identiske når hver predikativ funksjon som er fornøyd med x, også er fornøyd med y … Legg merke til at det andre likhetstegnet i definisjonen ovenfor er kombinert med «Df», og dermed ikke egentlig er det samme symbolet som likhetstegnet som er definert.»
ikke-likhetstegnet » ≠ » ser ut som en definisjon hos ✸13.02.
✸14: Beskrivelser:
«en beskrivelse er en frase av formen» begrepet y som tilfredsstiller φŷ, der φŷ er en funksjon tilfredsstilt av ett og ett argument.»
fra DENNE PM benytter to nye symboler, en fremover » E «og en invertert iota»℩». Her er et eksempel:
✸14.02. E ! (℩y) (φ) .=: ( Ǝ): φ ≡y . y = b Df.
Dette har betydningen:
«den y tilfredsstillende φŷ eksisterer», som holder når, og bare når φŷ er fornøyd med en verdi av y og ingen annen verdi.»(PM 1967: 173-174)
Introduksjon til notasjonen av teorien om klasser og relasjonerrediger
teksten hopper fra seksjon ✸14 direkte til de grunnleggende seksjonene ✸20 GENERELL TEORI OM KLASSER og ✸21 GENERELL TEORI om RELASJONER. «Relasjoner» er det som er kjent i moderne settteori som sett med bestilte par. Seksjoner ✸20 og ✸22 introduserer mange av symbolene som fortsatt er i bruk i moderne tid. Disse inkluderer symboler «ε», «⊂», «∩», «∪», «–», «Λ», og «V»: «ε» betyr «er et element av» (PM 1962:188); «⊂» (✸22.01) betyr «finnes i», «er en undergruppe av»; «∩» (✸22.02) betyr skjæringspunktet (logisk produkt) av klasser (sett); «∪» (✸22.03) betyr union (logisk summen) av klasser (sett); «–» (✸22.03) betyr negasjonen av en klasse (sett); «Λ» betyr null klasse; Og » V » betyr den universelle klassen eller universet av diskurs.
Små greske bokstaver (andre enn «ε», «jeg», «q», «φ», «ψ», «χ», og «θ») representerer klasser (for eksempel, «alpha», «beta», «γ», «δ», osv.) (PM 1962: 188):
x ε α » Bruken av enkeltbokstaver i stedet for symboler som ẑ(φ) eller ẑ z) er praktisk talt nesten uunnværlig, siden ellers blir notasjonen raskt utålelig cumbrous. Dermed vil’ x ε α ‘bety’ x er medlem i klassen α'». (PM 1962: 188) α ∪ –α = vforeningen av et sett og dets inverse er det universelle (fullførte) settet. α ∩ – α = λ Krysset mellom et sett og dets inverse er null (tomt) settet.
når den brukes til relasjoner i seksjon ✸23 BEREGNING AV RELASJONER, symbolene «⊂», «∩», «∪», og » – » skaffe en prikk: for eksempel:»⊍»,»∸».
forestillingen og notasjonen om » en klasse «(sett): I DEN første utgaven hevder PM at ingen nye primitive ideer er nødvendige for å definere hva som menes med» en klasse», og bare to nye» primitive proposisjoner » kalt aksiomene av reduksjonsevne for henholdsvis klasser og relasjoner (PM 1962:25). MEN FØR DETTE begrepet kan defineres, FØLER PM at DET er nødvendig å lage en merkelig notasjon «ẑ (φ)» som den kaller et «fiktivt objekt». (FRA KL. 1962: 188)
⊢: x ε ẑ(φ) .≡. (φ)»dvs.’ x er medlem av klassen bestemt av (φẑ)’ tilsvarer ‘ x tilfredsstiller (φẑ),’ eller til ‘(φ) er sant.'». (PM 1962:25)
I det MINSTE KAN PM fortelle leseren hvordan disse fiktive objektene oppfører seg, fordi «en klasse er helt bestemt når medlemskapet er kjent, det vil si at det ikke kan være to forskjellige klasser som har samme medlemskap» (PM 1962:26). Dette er symbolisert ved følgende likestilling (lik ✸13.01 over:
ẑ(φ) = ẑ(ψ) . ≡ : (x): φ≡. ψ » dette siste er et kjennetegn ved klasser, og berettiger oss til å behandle ẑ(ψ) som klassen bestemmes av ψẑ.»(PM 1962: 188)
kanskje det ovennevnte kan gjøres tydeligere ved diskusjonen av klasser I Innledningen Til Den Andre Utgaven, som disponerer Aksiomet Av Reduksjonsevne og erstatter det med tanken: «alle funksjoner av funksjoner er utvidbare» (PM 1962:xxxix), dvs.
φ x≡.⊃. (x): ƒ(φẑ) ≡ ƒ (hryvnja) (pm 1962:xxxix)
Dette har rimelige noe som betyr at «HVIS det for alle verdier av x sannheten-verdier av funksjonene φ og ψ av x er tilsvarende, og DERETTER funksjonen ƒ av en gitt φẑ og ƒ av ψẑ er tilsvarende.»PM hevder at dette er «innlysende»:
» dette er innlysende, siden φ kun kan forekomme i ƒ(φẑ) ved å bytte ut verdier av φ for p, q, r, … i en funksjon, og, hvis φx ≡ ψx, gir substitusjonen av φ for p i en funksjon samme sannhetsverdi til sannhetsfunksjonen som substitusjonen av ψ. Følgelig er det ikke lenger noen grunn til å skille mellom funksjonsklasser, for vi har i kraft av det ovennevnte, φx ≡x ψ .⊃. (x). φẑ=. ψẑ».
Følg endringen til likestillingstegnet » = » til høyre. PM fortsetter med å si at de vil fortsette å henge på notasjonen » ẑ (φ)», men dette tilsvarer bare φẑ, og dette er en klasse. (ALLE sitater: PM 1962: xxxix).