Skala (kart)

som vist Av Gauss ‘ Theorema Egregium, kan en sfære (eller ellipsoid) ikke projiseres på et fly uten forvrengning. Dette er vanligvis illustrert av umuligheten av å utjevne en appelsinskall på en flat overflate uten å rive og deformere den. Den eneste sanne representasjonen av en sfære i konstant skala er en annen sfære som en globus.

Gitt den begrensede praktiske størrelsen på globuser, må vi bruke kart for detaljert kartlegging. Kart krever prognoser. En projeksjon innebærer forvrengning: En konstant separasjon på kartet samsvarer ikke med en konstant separasjon på bakken. Mens et kart kan vise en grafisk bar skala, skalaen må brukes med den forståelse at det vil være nøyaktig på bare noen linjer av kartet. (Dette diskuteres videre i eksemplene i de følgende avsnittene.)

La p være et punkt ved breddegrad φ {\displaystyle \varphi}

og lengdegrad λ {\displaystyle \lambda}

på sfæren (eller ellipsoiden). La Q være et nabopunkt og la α {\displaystyle \ alpha }

vær vinkelen MELLOM elementet PQ og meridianen Ved P: denne vinkelen er asimutvinkelen til elementet PQ. La P ‘Og Q’ være tilsvarende punkter på projeksjonen. Vinkelen MELLOM retningen P ‘ Q ‘og projeksjonen av meridianen er den bærende β {\displaystyle \ beta }

. Generelt {\displaystyle \ alfa \ neq \ beta}

. Kommentar: denne nøyaktige forskjellen mellom asimut (På Jordens overflate) og peiling (på kartet) er ikke universelt observert, mange forfattere bruker begrepene nesten om hverandre.

Definisjon: punktskalaen Ved P er forholdet mellom de to avstandene P ‘ Q ‘ og PQ i grensen Som Q nærmer Seg P. Vi skriver dette som

μ ( λ , φ , α ) = Lim Q → P P ‘ Q ‘P q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\Til p}{\frac {P’Q’} {PQ}},}

hvor notasjonen indikerer at punktskalaen er en funksjon av posisjonen til p Og Også Retningen til elementet pq.

Definisjon: hvis P og Q ligger på samme meridian ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, er meridianskalaen betegnet med h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

Definisjon: hvis P og Q ligger på samme parallell ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}

, er parallellskalaen merket med k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi)}

.

Definisjon: hvis punktskalaen bare avhenger av posisjon, ikke retning, sier vi at den er isotrop og konvensjonelt betegner verdien i hvilken som helst retning ved parallellskalafaktoren k (\lambda, \varphi )}

. en kartprojeksjon sies å være konform hvis vinkelen mellom et par linjer som skjærer Ved et punkt P er den samme som vinkelen mellom de projiserte linjene ved det projiserte punktet P’, for alle par linjer som skjærer Ved punkt P. et konformalt kart har en isotropisk skalafaktor. Omvendt isotropiske skalafaktorer over kartet innebærer en konformal projeksjon.Isotropi av skala innebærer at små elementer strekkes like i alle retninger, det vil si at formen på et lite element er bevart. Dette er egenskapen til orthomorphism(fra gresk ‘høyre form’). Kvalifikasjonen ‘liten’ betyr at ved en viss gitt nøyaktighet av måling kan ingen endring oppdages i skalafaktoren over elementet. Siden konformale projeksjoner har en isotropisk skalafaktor, har de også blitt kalt orthomorphic projections. For Eksempel Er Mercator-projeksjonen konform siden Den er konstruert for å bevare vinkler og skalafaktoren er isotopisk, en funksjon av breddegrad bare: Mercator bevarer form i små regioner.

Definisjon: på en konform projeksjon med en isotropisk skala, kan punkter som har samme skalaverdi sammenføyes for å danne isoskalalinjene. Disse er ikke plottet på kart for sluttbrukere, men de har i mange av standard tekster. (Se Snyder sider 203-206.)

den representative fraksjonen (RF) eller hovedskalaendit

det er to konvensjoner som brukes til å sette ned ligningene til en gitt projeksjon. For eksempel kan den equirectangulære sylindriske projeksjonen skrives som

kartografer: x = a λ {\displaystyle x=a\lambda }

y = a φ {\displaystyle y=a\varphi }

matematikere: x = λ {\displaystyle x=\lambda }

y = φ {\displaystyle y=\varphi }

her skal vi vedta den første av disse konvensjonene (etter bruk i undersøkelser av snyder). Klart definerer de ovennevnte projeksjonsligningene posisjoner på en stor sylinder viklet rundt Jorden og deretter rullet ut. Vi sier at disse koordinatene definerer projeksjonskartet som må skilles logisk fra de faktiske trykte (eller viste) kartene. Hvis definisjonen av punktskala i forrige avsnitt er når det gjelder projeksjonskartet, kan vi forvente at skalafaktorene skal være nær enhet. For normale tangent sylindriske fremspring er skalaen langs ekvator k=1 og generelt endres skalaen når vi beveger oss utenfor ekvator. Analyse av skala på projeksjonskartet er en undersøkelse av endringen av k bort fra sin sanne verdi av enhet.Faktiske trykte kart er produsert fra projeksjonskartet ved en konstant skalering betegnet med et forhold som 1: 100m (for hele verdenskart) eller 1:10000 (for eksempel byplaner). For å unngå forvirring i bruken av ordet ‘skala’ denne constantscale fraksjon kalles representative fraksjon (RF) av det trykte kartet, og det er å bli identifisert med forholdet trykt på kartet. De faktiske trykte kartkoordinatene for equirectangular cylindrical projection er

trykt kart: x = ( R F ) en λ {\displaystyle x=(RF)a\lambda }

y = ( R F ) en φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }

denne konvensjonen tillater et klart SKILLE mellom den iboende projeksjon skalering og reduksjon skalering.

fra dette punktet ignorerer VI RF og arbeider med projeksjonskartet.

Visualisering av punktskala: Tissot indicatrixEdit

den Winkel tripel projeksjon Med Tissot er indicatrix av deformasjon

Betrakt en liten sirkel på jordens overflate sentrert ved et punkt P ved breddegrad φ {\displaystyle \varphi}

og lengdegrad λ {\displaystyle \lambda }

. Siden punktskalaen varierer med posisjon og retning, vil projeksjonen av sirkelen på projeksjonen bli forvrengt. Tissot viste at så lenge forvrengningen ikke er for stor, vil sirkelen bli en ellipse på projeksjonen. Generelt vil dimensjonen, formen og orienteringen til ellipsen endres over projeksjonen. Overlagring av disse forvrengnings ellipser på kartprojeksjonen formidler måten punktskalaen endrer seg over kartet. Forvrengningen ellipse er kjent Som Tissot ‘ s indicatrix. Eksemplet som vises her Er Winkel tripel projection, standardprojeksjon for verdenskart laget Av National Geographic Society. Minste forvrengning er på den sentrale meridianen ved breddegrader på 30 grader(Nord og Sør). (Andre eksempler).

Punktskala for normale sylindriske fremspring av sfærenrediger

nøkkelen til en kvantitativ forståelse av skalaen er å vurdere et uendelig element på sfæren. Figuren viser et punkt P ved breddegrad φ {\displaystyle \ varphi }

og lengdegrad λ {\displaystyle \ lambda }

på sfæren. Punkt Q er ved breddegrad φ + δ φ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. Linjene PK og MQ er buer av meridianer av lengde a δ φ {\displaystyle a\,\delta \varphi }

hvor a {\displaystyle a}

er radiusen til sfæren og φ {\DISPLAYSTYLE \varphi }

er i radian mål. LINJENE PM og KQ er buer av parallelle sirkler av lengde ( en cos ⁡ φ ) δ λ {\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }

med λ {\displaystyle \lambda }

i radian mål. Ved å utlede en punktegenskap av projeksjonen Ved P er det nok å ta et uendelig element PMQK av overflaten: i grensen For Q nærmer Seg P har et slikt element en tendens til et uendelig lite plan rektangel.

normale sylindriske projeksjoner av sfæren har x = a\lambda {\displaystyle x=a\lambda}

og y {\displaystyle y}

lik bare en funksjon av breddegrad. Derfor projiserer det infinitesimale elementet PMQK på sfæren til et infinitesimalt element P’ Q ‘ K ‘ som er et eksakt rektangel med en base δ x = a\, \delta\lambda }

og høyde δ y {\displaystyle \delta y}

. Ved å sammenligne elementene på sfære og projeksjon kan vi umiddelbart utlede uttrykk for skalafaktorene på paralleller og meridianer. (Behandlingen av skalaen i en generell retning kan bli funnet nedenfor.) parallelt skala faktor k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sek ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sek \varphi \qquad \qquad {}}

meridian skala faktor h = δ og δ φ = y ‘( φ ) en {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}

er uavhengig av definisjonen av y ( φ) {\displaystyle y (\varphi)}

så det er det samme for alle normale sylindriske projeksjoner. Det er nyttig å merke seg at ved breddegrad 30 grader er parallellskalaen k = sek ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k = \ sek 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}} = 1.15}

på latitude 45 grader parallell skala er k = sek ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sek 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

ved breddegrad 60 grader parallell skala er k = sek ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sek 60^{\circ }=2}

på latitude 80 grader parallell skala er k = sek ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sek 80^{\circ }=5.76}

ved breddegrad 85 grader er parallellskalaen k = sec ⁡ 85 ∘ = 11.5 {\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}

følgende eksempler illustrerer tre normale sylindriske fremspring og i hvert tilfelle variasjonen av skalaen med posisjon og posisjon.retning er illustrert ved bruk av tissots indicatrix.

Tre eksempler på normal sylindrisk projeksjonredit

equirectangular projectionEdit

den equidistant projeksjon Med Tissots indikasjon på deformasjon

den equirectangulære projeksjonen, også kjent som platen carré (fransk for «Flat firkant») eller (noe misvisende) den equidistante projeksjonen, er definert av

x = a\lambda, {\displaystyle x=a\lambda,}

Y = a\varphi, {\displaystyle y=a \ varphi,}

hvor a {\displaystyle a}

er radiusen til sfæren, λ {\displaystyle \lambda }

er lengdegraden fra projeksjonens sentrale meridian (her tatt som greenwich-meridianen ved λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}

) og φ {\displaystyle \varphi }

er breddegrad. Legg merke til at λ {\displaystyle \lambda }

og φ {\displaystyle \varphi }

er i radianer (oppnådd ved å multiplisere gradsmålet med en faktor på π {\displaystyle \pi }

/180). Den lengdegrad {\displaystyle \lambda }

er i området {\displaystyle }

og breddegrad φ {\displaystyle \varphi}

er i området {\displaystyle}

.

siden y ‘( φ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi) = 1}

den forrige delen gir parallell skala, k = δ x en cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \ quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a \cos \varphi\, \delta \lambda\,}}=\, \sec \varphi \qquad\qquad {}}

meridian skala h = δ y en δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\,\delta\varphi \,}}=\,1}

for beregning av punktskalaen i en vilkårlig retning, se tillegg.

figuren illustrerer tissot indicatrix for denne projeksjonen. På ekvator h = k = 1 og de sirkulære elementene er uforstyrret påprojeksjon. Ved høyere breddegrader er sirklene forvrengt til en ellipse gitt ved å strekke i parallell retning bare: det er ingen forvrengning i meridianretningen. Forholdet mellom hovedaksen og den mindre aksen er sec ⁡ φ {\displaystyle \ sec \varphi}

. Klart øker ellipsens område med samme faktor.

det er lærerikt å vurdere bruk av bar skalaer som kan vises på en trykt versjon av denne projeksjonen. Skalaen er sann (k=1) på ekvator, slik at multiplikasjon av lengden på et trykt kart med den inverse AV RF (eller hovedskalaen) gir jordens faktiske omkrets. Stangskalaen på kartet er også tegnet på den sanne skalaen, slik at overføring av et skille mellom to punkter på ekvator til stangskalaen vil gi riktig avstand mellom disse punktene. Det samme gjelder meridianene. På en annen parallell enn ekvator er skalaen sec ⁡ φ {\displaystyle \ sec \varphi}

så når vi overfører en separasjon fra en parallell til barskalaen, må vi dele barskalaavstanden med denne faktoren for å oppnå avstanden mellom punktene når den måles langs parallellen (som ikke er den sanne avstanden langs en stor sirkel). På en linje med en peiling på 45 grader ( β = 45 ∘ {\displaystyle \beta =45^{\circ }}

) varierer skalaen kontinuerlig med breddegrad og overføring av en separasjon langs linjen til barskalaen gir ikke en avstand relatert til den sanne avstanden på noen enkel måte. (Men se tillegg). Selv om vi kunne trene en avstand langs denne linjen med konstant bærende, er relevansen tvilsom siden en slik linje på projeksjonen tilsvarer en komplisert kurve på sfæren. Av disse grunner bar skalaer på småskala kart må brukes med ekstrem forsiktighet.

Mercator projectionEdit

Mercatorprojeksjonen kartlegger kula til et rektangel (av uendelig utstrekning i y {\displaystyle y}

– retning) ved ligningene x = en λ {\displaystyle x=a\lambda\,}

y = a ln ⁡ {\displaystyle y=a\ln \venstre}

hvor a, λ {\displaystyle \lambda\,}

Og Φ {\displaystyle \varphi\,}

er som i forrige eksempel. Siden y ‘( φ) = sec ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi) =a \ sec \varphi}

skalefaktorene er: parallell skala k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x}{a \ cos \ varphi \, \delta \lambda\,}}=\, \ sek \ varphi .}

meridianskala h = δ og en δ φ = sec ⁡ φ {\displaystyle\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi\,}}=\, \ sek \ varphi .}

i det matematiske tillegget er det vist at punktskalaen i en vilkårlig retning også er lik sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

så skalaen er isotrop (samme i alle retninger), dens størrelse øker med breddegrad som sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi}

. I tissot-diagrammet bevarer hvert uendelig sirkulært element sin form, men forstørres mer og mer etter hvert som breddegraden øker.

Lamberts like arealprojeksjonrediger

Lamberts like arealprojeksjon kartlegger kula til En viss grad av deformasjon.

et endelig rektangel av ligningene

x = en λ y = en sin ⁡ φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi}

Hvor A, Λ {\displaystyle \lambda}

og φ {\displaystyle \ varphi }

er som i forrige eksempel. Siden y ‘( φ ) = cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }

skalefaktorene er parallelle skalaer k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sek \varphi \qquad \qquad {}}

meridian skala h = δ {\displaystyle \quad h\;=\; {\dfrac {\delta\lambda\,}}=\, \cos \varphi\,}}=\,\cos \varphi}

beregningen av punktskalaen i en vilkårlig retning er gitt nedenfor.

de vertikale og horisontale skalaene kompenserer nå hverandre (hk=1) og i tissot-diagrammet blir hvert uendelig sirkulært element forvrengt til en ellipse av samme område som de uforstyrrede sirklene på ekvator.

Grafer av skala faktorerrediger

grafen viser variasjonen av skalafaktorene for de tre eksemplene ovenfor. Toppplottet viser isotropisk Mercatorskalafunksjon: skalaen på parallellen er den samme som skalaen på meridianen. De andre tomtene viser meridianskalafaktoren for Equirectangular projection (h=1) og For Lambert equial area projection. Disse to siste projeksjonene har en parallell skala som er identisk Med Mercator-plottet. For Lambert merk at parallellskalaen (Som Mercator A) øker med breddegrad og meridianskalaen (C) avtar med breddegrad på en slik måte at hk=1, garanterer arealbevaring.

Skala variasjon På Mercator-projeksjonendit

Mercatorpunktskalaen er enhet på ekvator fordi det er slik at hjelpesylinderen som brukes i konstruksjonen er tangentiell Til Jorden ved ekvator. Av denne grunn bør den vanlige projeksjonen kalles en tangentprojeksjon. Skalaen varierer med breddegrad som k = sec ⁡ φ {\displaystyle k = \sec \varphi}

. Siden sec ⁡ φ {\displaystyle \ sec \varphi}

har en tendens til uendelig når vi nærmer oss polene, er mercator-Kartet grovt forvrengt på høye breddegrader, og derfor er projeksjonen helt upassende for verdenskart (med mindre vi diskuterer navigasjon og rhumb linjer). Ved en breddegrad på omtrent 25 grader er verdien av sec ⁡ φ {\displaystyle \ sec \varphi}

er omtrent 1.1 Så Mercator er nøyaktig innenfor 10% i en stripe med bredde 50 grader sentrert på ekvator. Smalere striper er bedre: en stripe med bredde 16 grader (sentrert på ekvator) er nøyaktig innenfor 1% eller 1 del i 100. et standardkriterium for gode store kart er at nøyaktigheten skal være innenfor 4 deler i 10 000, eller 0,04%, tilsvarende k = 1.0004 {\displaystyle k = 1.0004}

. Siden sec ⁡ φ {\displaystyle \sec \varphi }

oppnår denne verdien ved φ = 1.62 {\displaystyle \ varphi =1.62}

grader (se figur under, rød linje). Derfor er tangent Mercator-projeksjonen svært nøyaktig innenfor en stripe med bredde 3,24 grader sentrert på ekvator. Dette tilsvarer nord-sør avstand på ca 360 km (220 mi). Innenfor denne stripen Mercator er veldig bra, svært nøyaktig og form bevare fordi det er conformal (vinkel bevare). Disse observasjonene førte til utviklingen Av de tverrgående Mercatorprojeksjonene der en meridian behandles ‘som en ekvator’ av projeksjonen, slik at vi får et nøyaktig kart innenfor en smal avstand fra den meridianen. Slike kart er gode for land som er justert nesten nord-sør (Som Storbritannia), og et sett med 60 slike kart brukes Til Universal Transverse Mercator (UTM). Merk at i begge disse projeksjonene (som er basert på forskjellige ellipsoider) er transformasjonsligningene for x og y og uttrykket for skalafaktoren kompliserte funksjoner av både breddegrad og lengdegrad.

Secant, eller modified, projectionsEdit

den grunnleggende ideen om en secant projeksjon er at sfæren projiseres til en sylinder som krysser sfæren ved to paralleller, si φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

nord og sør. Klart er skalaen nå sant på disse breddegrader, mens paralleller under disse breddegrader er kontrahert av projeksjonen og deres (parallelle) skalafaktor må være mindre enn en. Resultatet er at avviket fra skalaen fra enhet reduseres over et bredere spekter av breddegrader.

som et eksempel er en mulig sekant mercator-projeksjon definert av

x = 0.9996 en λ y = 0.9996 en ln ⁡ (tan ⁡ (π 4 + φ 2)). {\displaystyle x = 0,9996 a \ lambda \qquad \ qquad y = 0,9996 a\ln\venstre (\tan \ venstre ({\frac {\pi }{4}} + {\frac {\varphi }{2}} \ høyre)\høyre).}

de numeriske multiplikatorene endrer ikke formen på projeksjonen, men det betyr at skalafaktorene endres:

secant Mercator skala, k = 0.9996 sec ⁡ φ . {\displaystyle \ quad k\; = 0,9996 \ sek \ varphi .}

dermed

• skalaen på ekvator er 0,9996,
• skalaen er k = 1 på en breddegrad gitt av φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  hvor sec ⁡ φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sek \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  så den φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  

  grader, k=1.0004 ved breddegrad φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  gitt av sec ⁡ φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  for hvilken φ 2 = 2.29 støtte har {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}

  

  grader. Derfor har projeksjonen 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , det er en nøyaktighet på 0,04%, over en bredere stripe på 4,58 grader (sammenlignet med 3,24 grader for tangentformen).

dette illustreres av den nedre (grønne) kurven i figuren i forrige avsnitt.

slike smale soner med høy nøyaktighet brukes i utm og Den Britiske OSGB-projeksjonen, som begge er sekant, tverrgående Mercator på ellipsoiden med skalaen på den sentrale meridiankonstanten ved k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}

. Isoskalelinjene med k = 1 {\displaystyle k=1}

er svakt buede linjer omtrent 180 km øst og vest for den sentrale meridianen. Den maksimale verdien av skalafaktoren er 1.001 for UTM og 1.0007 FOR OSGB.

linjene i enhetsskalaen ved breddegrad φ 1 {\displaystyle \ varphi _{1}}

(nord og sør), hvor den sylindriske projeksjonsflaten krysser sfæren, er standardparallellene til sekantprojeksjonen.

mens et smalt bånd med | k − 1 | < 0.0004 {\displaystyle |k-1|<0.0004}

er viktig for høy nøyaktighet kartlegging i stor skala, for verdenskart mye bredere linjeavstand standard paralleller brukes til å kontrollere skalaen variasjon. Eksempler er

• Behrmann med standardparalleller VED 30N, 30S.
• Gall lik areal med standardparalleller VED 45N, 45S.

skalaen tomter for sistnevnte er vist nedenfor sammenlignet Med Lambert lik område skala faktorer. I sistnevnte er ekvator en enkelt standard parallell og parallellskalaen øker fra k=1 for å kompensere reduksjonen i meridianskalaen. For Gallen reduseres parallellskalaen ved ekvator (til k=0,707) mens meridianskalaen økes (til k=1,414). Dette gir opphav til brutto forvrengning av form i Gall-Peters projeksjon. (På kloden Er Afrika omtrent så lenge Det er bredt). Merk at meridian og parallelle skalaer er begge enhet på standard paralleller.

Matematisk addendumEdit

for normale sylindriske projeksjoner gir geometrien til de infinitesimale elementene en (a) Tan ⁡ α = en cos ⁡ φ δ λ en δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{A\,\delta \varphi}},}

(b) tan ⁡ β = δ x δ {\displaystyle {\text {(b)}} \ quad \ tan \ beta ={\frac {\delta x} {\delta y}} = {\frac {a\, \ delta \ lambda } {\delta y}}.}

forholdet mellom vinklene β {\displaystyle \beta }

og α {\displaystyle \alpha }

er (c) tan ⁡ β = a sek ⁡ φ y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}} \quad \tan\beta ={\frac{a \sek\varphi} {y'(\varphi)}} \tan \ alpha .\ ,}

For Mercator-projeksjonen y ‘( φ ) = et sek ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

gir α = β {\displaystyle \alpha =\beta }

: vinkler er bevart. (Ikke overraskende siden dette er forholdet som brukes Til Å utlede Mercator). For like langt og Lambert anslagene vi har y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}

og y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }

henholdsvis så forholdet mellom α {\displaystyle \alpha }

og β {\displaystyle \beta }

avhenger av breddegrad φ {\displaystyle \varphi }

. Angi punktskalaen Ved P når det infinitesimale elementet PQ gjør en vinkel α {\displaystyle \alpha \,}

med meridianen ved μ α . {\displaystyle\mu _{\alpha }.}

, Det er gitt av forholdet mellom avstander: α μ = lim Q → P P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 2 δ φ 2 + 2 cos 2 ⁡ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\Til P}{\frac {P Q}{PQ}}=\lim _{Q\Til P}{\Frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}} {\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}\cos^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}

Innstilling δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

og erstatte δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

og δ y {\displaystyle \delta y}

fra ligningene (a) og (b) gir henholdsvis α μ ( φ ) = sek ⁡ φ . {\displaystyle\mu _{\alpha } (\varphi) = \ sek \ varphi \ venstre.}

for andre projeksjoner enn Mercator må vi først beregne β {\displaystyle \beta }

fra α {\displaystyle \alpha }

og φ {\displaystyle \varphi }

bruker ligning (c), før vi kan finne μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}

. For eksempel har equirectangulær projeksjon y ‘= a {\displaystyle y ‘ =a}

slik at tan ⁡ β = sec ⁡ φ tan ⁡ α . {\displaystyle \ tan \ beta = \ sek \ varphi \ tan \ alpha .\ ,}