definiție
un polinom în variabila x este o funcție care poate fi scrisă sub forma,
unde an, an-1,…, a2, a1, a0 sunt constante. Numim termenul care conține cea mai mare putere a lui x (adică anxn) termenul principal și numim un coeficient principal. Gradul polinomului este puterea lui x în termenul principal. Am văzut deja polinoame de gradul 0, 1 și 2 care erau funcțiile constante, liniare și, respectiv, pătratice. Polinoamele de gradul 3, 4 și 5 au, de asemenea, nume speciale: funcții cubice, quartice și quintice. Polinoamele cu gradul n> 5 sunt numite doar polinoame de gradul N. Numele diferitelor funcții polinomiale sunt rezumate în tabelul de mai jos.
| Degree of the polynomial | Name of the function |
| 0 | Constant function |
| 1 | Linear function |
| 2 | Quadratic function |
| 3 | Cubic function |
| 4 | Quartic function |
| 5 | Quintic Function |
| n (where n > 5) | nth degree polynomial |
Some examples of polynomials include:
comportamentul limitativ al polinoamelor
comportamentul limitativ al unei funcții descrie ceea ce se întâmplă cu funcția ca x. Gradul unui polinom și semnul coeficientului său principal dictează comportamentul său limitativ. În special,
aceste rezultate sunt rezumate în tabelul de mai jos.
puteți utiliza aceste informații pentru a determina dacă un polinom are sau nu un grad impar sau par și dacă coeficientul principal este pozitiv sau negativ, pur și simplu inspectând graficul său.
următoarele grafice de polinoame exemplifică fiecare dintre comportamentele prezentate în tabelul de mai sus.
rădăcini și puncte de cotitură
gradul unui polinom vă spune chiar mai multe despre el decât comportamentul limitativ. Mai exact, un polinom de gradul n poate avea cel mult n rădăcini reale (X-interceptări sau zerouri) numărând multiplicități. De exemplu, să presupunem că ne uităm la un polinom de gradul 6 care are 4 rădăcini distincte. Dacă două dintre cele patru rădăcini au multiplicitate 2 și celelalte 2 au multiplicitate 1, știm că nu există alte rădăcini, deoarece am reprezentat toate cele 6 rădăcini. Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile cu o multiplicitate de două (cunoscute și sub numele de rădăcini duble) sunt numărate ca două rădăcini.
fiți conștienți că un polinom de gradul n nu trebuie să aibă n rădăcini reale — ar putea avea mai puțin pentru că are rădăcini imaginare. Observați că un polinom de grad impar trebuie să aibă cel puțin o rădăcină reală, deoarece funcția se apropie-la un capăt și + la celălalt; o funcție continuă care trece de la negativ la pozitiv trebuie să intersecteze axa x undeva între ele. În plus, un polinom de gradul n poate avea cel mult N – 1 Puncte de cotitură. Un punct de cotitură este un punct în care funcția se schimbă de la creștere la scădere sau descreștere la creștere, așa cum se vede în figura de mai jos. Din nou, un polinom de gradul n nu trebuie să aibă puncte de cotitură n – 1, ar putea avea mai puțin.
notă de precauție
este important să realizăm diferența dintre funcțiile pare și impare și polinoamele de grad par și impar. Orice funcție, f (x), este fie chiar dacă,
f (−x) = x,
pentru toate x din domeniul f (x), fie impar dacă,
f (−x) = −x,
pentru toate x din domeniul f (x), sau nici par, nici impar dacă niciuna dintre cele de mai sus nu este adevărată.
un polinom de gradul K, p(x), se spune că are grad par dacă k este un număr par și grad impar dacă k este un număr impar. Amintiți-vă că, chiar dacă p(x) are grad egal, nu este neapărat o funcție uniformă. La fel, dacă p(x) are grad impar, nu este neapărat o funcție impară.
de asemenea, folosim termenii par și impar pentru a descrie rădăcinile polinoamelor. Mai exact, un polinom p(x) are rădăcină x = a de multiplicitate k (adică x = A este o rădăcină repetată K ori) dacă (x − A)k este un factor de p(x). Spunem că x = A are multiplicitate uniformă dacă k este un număr par și multiplicitate impară dacă k este un număr impar.
domeniu și interval
toate polinoamele au același domeniu care constă din toate numerele reale. Gama polinoamelor de grad impar constă, de asemenea, din toate numerele reale. Gama polinoamelor de grad egal este puțin mai complicată și nu putem preciza în mod explicit gama tuturor polinoamelor de grad egal. Dacă coeficientul de conducere este pozitiv, funcția se va extinde la + XV; în timp ce, dacă coeficientul de conducere este negativ, se va extinde la – XV. Aceasta înseamnă că polinoamele de grad egal cu coeficient de conducere pozitiv au un interval în care ymax denotă maximul global pe care îl atinge funcția. În general, nu este posibil să se determine analitic maximele sau minimele polinoamelor.
*****
în secțiunea următoare veți învăța diviziunea polinomială, o tehnică utilizată pentru a găsi rădăcinile funcțiilor polinomiale.
diviziune polinomială