un autor observă că „notația din acea lucrare a fost înlocuită de dezvoltarea ulterioară a logicii în secolul 20, în măsura în care începătorul are probleme cu citirea PM”; în timp ce o mare parte din conținutul simbolic poate fi convertit în notație modernă, notația originală în sine este „un subiect de dispută științifică”, iar unele notații „întruchipează doctrine logice substanțiale, astfel încât nu poate fi pur și simplu înlocuită de simbolismul contemporan”.
Kurt G. A. a criticat aspru notația:
„trebuie regretat faptul că această primă prezentare cuprinzătoare și aprofundată a unei logici matematice și derivarea matematicii din ea atât de lipsită de precizie formală în fundamente (conținută în 1-21 din Principia ) reprezintă în acest sens un pas considerabil înapoi în comparație cu Frege. Ceea ce lipsește, mai presus de toate, este o afirmație precisă a sintaxei formalismului. Considerațiile sintactice sunt omise chiar și în cazurile în care sunt necesare pentru soliditatea dovezilor”.
acest lucru se reflectă în exemplul de mai jos al simbolurilor „p”, „q”, „r” și „XV” care pot fi formate în șirul „p. PM necesită o definiție a ceea ce înseamnă acest șir de simboluri în termeni de alte simboluri; în tratamentele contemporane, „regulile de formare” (reguli sintactice care duc la „formule bine formate”) ar fi împiedicat formarea acestui șir.
Sursa notației: Capitolul I „explicațiile preliminare ale ideilor și notațiilor” începe cu sursa părților elementare ale notației (simbolurile =x−x-X și sistemul de puncte):
„notația adoptată în lucrarea de față se bazează pe cea a lui Peano, iar explicațiile următoare sunt într-o oarecare măsură modelate pe cele pe care le prefixează la Formulario Mathematico . Se adoptă folosirea punctelor ca paranteze, la fel și multe dintre simbolurile sale” (PM 1927:4).
PM a schimbat Peano ‘ S-ul în cel al lui Peano și a adoptat, de asemenea, câteva dintre simbolurile ulterioare ale lui Peano, cum ar fi Peano, precum și practica lui Peano de a întoarce literele cu susul în jos.
PM adoptă semnul de aserțiune „colosal” din Begriffsschrift din 1879 al lui Frege:
„(I)nu se poate citi „este adevărat că „”
astfel, pentru a afirma o propoziție p PM scrie:
„ing. p.” (PM 1927:92)
(observați că, la fel ca în original, punctul din stânga este pătrat și de dimensiuni mai mari decât perioada din dreapta.)
cea mai mare parte a notației în PM a fost inventată de Whitehead.
o introducere în notația „secțiunii a logică matematică” (formulele 1–5.71)Edit
punctele PM sunt utilizate într-un mod similar cu parantezele. Fiecare punct (sau punct multiplu) reprezintă fie o paranteză la stânga sau la dreapta, fie simbolul logic. Mai mult de un punct indică „adâncimea” parantezelor, de exemplu, „.”, „: „sau”:.”, „::”. Cu toate acestea, poziția parantezei potrivite dreapta sau stânga nu este indicată Explicit în notație, ci trebuie dedusă din unele reguli complexe și uneori ambigue. Mai mult, atunci când punctele reprezintă un simbol logic, operanzii săi din stânga și din dreapta trebuie să fie deduși folosind reguli similare. Primul trebuie să decidă în funcție de context dacă punctele reprezintă o paranteză stângă sau dreaptă sau un simbol logic. Apoi trebuie să decideți cât de departe este cealaltă paranteză corespunzătoare: aici se desfășoară până când se întâlnește fie un număr mai mare de puncte, fie același număr de puncte care au „forță” egală sau mai mare, fie sfârșitul liniei. Punctele de lângă indicatoarele (x), (x), (x) și așa mai departe, care au o forță mai mare decât punctele de lângă (X), (X) și așa mai departe, care au o forță mai mare decât punctele care indică un produs logic (x).
Exemplul 1. Linia
3.4. nr . q. ⊃ . p ⊃ q
corespunde
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
cele două puncte care stau împreună imediat după semnul afirmației indică faptul că ceea ce se afirmă este întreaga linie: deoarece există două dintre ele, domeniul lor de aplicare este mai mare decât cel al oricăruia dintre punctele unice din dreapta lor. Ele sunt înlocuite cu o paranteză stângă în picioare în cazul în care punctele sunt și o paranteză dreaptă la sfârșitul formulei, astfel:
XV (p . q. ⊃ . p.l. p.
(în practică, aceste paranteze exterioare, care cuprind o formulă întreagă, sunt de obicei suprimate.) Primul dintre punctele unice, care se află între două variabile propoziționale, reprezintă conjuncția. Acesta aparține celui de-al treilea grup și are cel mai restrâns domeniu de aplicare. Aici este înlocuit cu simbolul modern pentru conjuncție „XV”, astfel
XV (p. ⊃ . p.l. p.
cele două puncte unice rămase aleg legătura principală a întregii formule. Ele ilustrează utilitatea notației dot în alegerea acelor conectivități care sunt relativ mai importante decât cele care le înconjoară. Cel din stânga „⊃” se înlocuiește cu o pereche de paranteze, dreptul de a merge în cazul în care punctul este și cea stângă merge la fel de departe ca se poate fără trecere unui grup de puncte de o forță mai mare, în acest caz, cele două puncte care urmează afirmația-semn, astfel
⊢ ((p ∧ q) ⊃ . punctul din dreapta literei „XV” se înlocuiește cu o paranteză stângă care merge acolo unde este punctul și o paranteză dreaptă care merge cât mai departe spre dreapta, fără a depăși sfera deja stabilită de un grup de puncte de forță mai mare (în acest caz cele două puncte care au urmat afirmației-semn). Deci, dreptul paranteză care înlocuiește punct la dreapta de „⊃” este plasat în partea din față a dreptului paranteză care a înlocuit cele două puncte în urma afirmația-semn, astfel ⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Exemplul 2, cu puncte duble, triple și cvadruple:
9.521. – nr. xxx . ⊃ . î: nr . (x x). xxx . v. r: nr . q v r
reprezintă
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
Exemplul 3, cu un dublu punct indicând un simbol logic (din volumul 1, pagina 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
reprezintă
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
în cazul în care dubla punct reprezintă simbol logic ∧ și poate fi privit ca având o prioritate mai mare ca un non-logice cu un singur punct.
Mai târziu, în secțiunea 14, apar parantezele””, iar în secțiunile 20 și următoarele, apar parantezele” {}”. Nu este clar dacă aceste simboluri au semnificații specifice sau sunt doar pentru clarificare vizuală. Din păcate, punctul unic (dar și”:”,”:.”, „:: „, etc.) este, de asemenea, utilizat pentru a simboliza „produs logic” (logic contemporan și adesea simbolizat prin „&” sau „inksukt”).
implicația logică este reprezentată de „Peano” simplificat la „inksqut”, negația logică este simbolizată printr-o tildă alungită, adică „~” (contemporan „~” sau””), logică sau prin „v”. Simbolul ” = „împreună cu” Df „este folosit pentru a indica” este definit ca”, în timp ce în secțiunile 13 și următoarele, ” = „este definit ca (matematic)” identic cu”, adică” egalitatea ” matematică contemporană (cf. discuție în secțiunea 13). Echivalența logică este reprezentată de ” XV „(contemporan” dacă și numai dacă”); funcțiile propoziționale” elementare „sunt scrise în mod obișnuit, de ex.,” f(p)”, dar mai târziu semnul funcției apare direct înaintea variabilei fără paranteze, de ex.,” xxx”,” xx ” etc.
exemplu, PM introduce definiția „produs logic”, după cum urmează:
3.01. p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.unde ” p . q ” este produsul logic al lui P și q. 3.02. p .l. p. l. p. l. p.=. p .l. Q-x-x r DF.Această definiție servește doar la abrevierea dovezilor. traducerea formulelor în simboluri contemporane: diverși autori folosesc simboluri alternative, deci nu se poate da o traducere definitivă. Cu toate acestea, din cauza criticilor precum cea a lui Kurt g de mai jos, cele mai bune tratamente contemporane vor fi foarte precise în ceea ce privește „regulile de formare” (sintaxa) formulelor.
prima formulă ar putea fi transformată în simbolism modern după cum urmează:
(p & q) =df (~(~p v ~q))
alternativ
(p & q) =DF ((p v q))
alternativ
(p q) =DF ((p v q))
etc.
Cea de-a doua formulă ar putea fi transformate după cum urmează:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Dar, rețineți că acest lucru nu este (logic) echivalent cu (p → (q → r)) nici a ((p → q) → r), și acestea două nu sunt logic echivalente, fie.
o introducere în notația „teoria secțiunii B a variabilelor aparente” (formulele 8–14.34) Edit
aceste secțiuni se referă la ceea ce este acum cunoscut sub numele de logica predicat, și logica predicat cu identitate (egalitate).
- NB: ca urmare a criticilor și progreselor, cea de-a doua ediție a PM (1927) înlocuiește modelul 9 cu un nou model 8 (anexa a). Această nouă secțiune elimină distincția primei ediții între variabilele reale și cele aparente și elimină „ideea primitivă” afirmarea unei funcții propoziționale”. Pentru a adăuga la complexitatea tratamentului, ins 8 introduce noțiunea de substituire a unei „matrice” , iar stroke Sheffer:
- matrice: În utilizarea contemporană, matricea PM este (cel puțin pentru funcțiile propoziționale), un tabel de adevăr, adică toate valorile adevărului unei funcții propoziționale sau predicate.
- Sheffer stroke: este logica contemporană NAND (nu-și), adică „incompatibilitate”, adică:
„având două propoziții p și q, atunci „p | q” înseamnă „propoziția p este incompatibilă cu propoziția q”, adică dacă ambele propoziții p și q evaluează ca adevărate, atunci și numai atunci p | q evaluează ca false.”După secțiunea 8, cursa Sheffer nu se mai folosește. secțiunea 10: „operatorii” existențiali și universali: PM adaugă ” (x) „pentru a reprezenta simbolismul contemporan” pentru toți x „adică” x-x „și folosește un e serifat înapoi pentru a reprezenta” există un x”, adică” (X-X)”, adică”x-x” contemporan. Notația tipică ar fi similară cu următoarea: „(x) . pentru toate valorile variabilei x, funcția XX se evaluează la true” „(Xixt) . φx” înseamnă „pentru o anumită valoare a variabilei x, funcția φ se evaluează la true”
Secțiuni ✸10, ✸11, ✸12: Proprietăți de o variabilă extins la toate persoanele: secțiunea ✸10 introduce noțiunea de „proprietate”, de o „variabilă”. PM dă exemplul: φ este o funcție care indică „este un grec”, și ψ indică „este un om”, și χ indică „este un muritor” aceste funcții apoi se aplică pentru o variabilă x. PM poate scrie acum, și să evalueze:
(x) . notația de mai sus înseamnă „pentru toți x, x este un om”. Având în vedere o colecție de indivizi, se poate evalua formula de mai sus pentru Adevăr sau falsitate. De exemplu, având în vedere colecția restrânsă de indivizi { Socrate, Platon, Russell, Zeus } cele de mai sus se evaluează la „adevărat” dacă permitem ca Zeus să fie om. Dar nu reușește pentru:(x). pentru că Russell nu este grec. Și nu reușește pentru(x). xx
pentru că Zeus nu este un muritor.
echipat cu această notație PM poate crea formule pentru a exprima următoarele: „dacă toți Grecii sunt oameni și dacă toți oamenii sunt muritori, atunci toți Grecii sunt muritori”. (PM 1962: 138)
(x). x-x-x :(x). xx: (x) . un alt exemplu: formula: 10.01. (XIX). xxx . = . ~(x). ~XX DF.
înseamnă „simbolurile care reprezintă afirmația”există cel puțin un x care satisface funcția XX” este definit de simbolurile care reprezintă afirmația „nu este adevărat că, având în vedere toate valorile lui x, nu există valori ale lui X care satisfac xxx””.
simbolismele x x și „x x x” apar la 10.02 și 10.03. Ambele sunt abrevieri pentru universalitate (adică pentru toți) care leagă variabila x de operatorul logic. Notația contemporană ar fi folosit pur și simplu paranteze în afara semnului de egalitate ( ” = ” ):
10.02 .=. (x). xxxxxxdfcontemporary notație: ∀x(φ(x) → ψ(x)) (sau o variantă) ✸10.03 φx ≡x ψx .=. (x). notație Contemporară: x (x) x(x)) (sau o variantă)
pm atribuie primul simbolism lui Peano.
sectiunea 11 din articolul 11 aplica acest simbolism la doua variabile. Astfel, următoarele notații: ⊃x ⊃y ⊃x, y ar putea apărea într-o singură formulă.
Secțiunea 12 reintroduce noțiunea de „matrice” (tabelul adevărului contemporan), noțiunea de tipuri logice și, în special, noțiunile de funcții și propoziții de ordinul întâi și de ordinul doi.
simbolism nou ” inquirt ! x ” reprezintă orice valoare a unei funcții de ordinul întâi. Dacă un circumflex „” este plasat peste o variabilă, atunci aceasta este o valoare „individuală” a lui y, ceea ce înseamnă că „XV” indică „indivizi” (de exemplu, un rând într-un tabel de adevăr); această distincție este necesară din cauza naturii matriciale/extensionale a funcțiilor propoziționale.
echipat acum cu noțiunea de matrice, PM își poate afirma controversata axiomă a reductibilității: o funcție a uneia sau a două variabile (două fiind suficiente pentru utilizarea PM) unde sunt date toate valorile sale (adică., în matricea sa) este (logic) echivalent („inexact”) cu o funcție „predicativă” a acelorași variabile. Definiția cu o singură variabilă este prezentată mai jos ca o ilustrare a notației (PM 1962:166-167):
12.1 .x. f ! X Pp;
Pp este o „propoziție primitivă” („propoziții asumate fără dovadă”) (PM 1962:12, adică „axiome” contemporane), adăugându-se la cele 7 definite în secțiunea 1 (începând cu 1.1 modus ponens). Acestea trebuie să se distingă de” ideile primitive „care includ semnul de aserțiune „inkt”, negația”~”, logică sau” V”, noțiunile de” propoziție elementară „și” funcție propozițională elementară”; acestea sunt la fel de apropiate ca PM de regulile formării notaționale, adică sintaxa.
aceasta înseamnă: „afirmăm adevărul următoarelor: există o funcție f cu proprietatea că: având în vedere toate valorile lui x, evaluările lor în funcție (adică, rezultând matricea lor) sunt logic echivalente cu unele f evaluate la aceleași valori ale lui x. (și invers, deci echivalență logică)”. Cu alte cuvinte: având în vedere o matrice determinată de proprietatea XV aplicată variabilei x, există o funcție f care, atunci când este aplicată lui x, este logic echivalentă cu matricea. Sau: fiecare matrice XX poate fi reprezentată printr-o funcție f aplicată lui x și invers.
13: operatorul de identitate „=” : aceasta este o definiție care folosește semnul în două moduri diferite, după cum se menționează în citatul din PM:
13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
înseamnă:
„această definiție afirmă că x și y trebuie numiți identici atunci când fiecare funcție predicativă satisfăcută de x este satisfăcută și de y … Rețineți că al doilea semn al egalității din definiția de mai sus este combinat cu „Df” și, prin urmare, nu este cu adevărat același simbol ca semnul egalității care este definit.”
semnul” nu este egal cu „inkscut” isi face aparitia ca Definitie la ins 13.02.
14: descrieri:
„o descriere este o sintagmă de formă „termenul y care satisface pe de-a-ntregul, unde pe de-a-ntregul este o funcție satisfăcută de un singur argument.”
de la acest PM folosește două simboluri noi, un „e” înainte și un iota inversat „XV”. Aici este un exemplu:
14.02. E ! (a la sută) (a la sută) (a la sută).= : (OQC): OQC . o mie y . y = b Df.
aceasta are înțelesul:
„y-ul satisfăcător există”, care este valabil atunci când, și numai atunci când este satisfăcut de o valoare a lui Y și de nicio altă valoare.”(PM 1967: 173-174)
Introducere în notarea teoriei claselor și relațiiloredit
textul sare de la secțiunea 14 direct la secțiunile fundamentale 20 teoria generală a claselor și 21 teoria generală a relațiilor. „Relațiile” sunt ceea ce este cunoscut în teoria mulțimilor contemporane ca seturi de perechi ordonate. Secțiunile 20 și 22 de la secțiile 20 și 22 introduc multe dintre simbolurile încă în uzul contemporan. Acestea includ simbolurile „ε”, „⊂”, „∩”, „∪”, „–”, „Λ” și „V”: „ε” semnifică „este un element de” (PM 1962:188); „⊂” (✸22.01) semnifică „este conținută în”, „este un subset al”; „∩” (✸22.02) semnifică intersecție (produs logic) de clase (seturi); „∪” (✸22.03) semnifică uniunii (suma logică) de clase (seturi); „–” (✸22.03) semnifică negația unei clase (set); „Λ” semnifică null clasa; și „V” semnifică clasa universală sau universul discursului.
Mici litere grecești (altele decât „ε”, „ι”, „π”, „φ”, „ψ”, „c”, și „θ”) reprezintă clase (de exemplu, „α”, „β”, „γ”, „δ”, etc.) (PM 1962:188):
x ε α”utilizarea de o singură literă în loc de simboluri, cum ar fi ẑ(φz) sau ẑ(φ ! z) este practic aproape indispensabil, deoarece altfel notația devine rapid intolerabil cumbră. Astfel, „x XCT” va însemna „X este membru al clasei xtct””. (PM 1962:188) α ∪ –α = VThe uniunii de un set și invers este universal (finalizat) set. intersecția unui set și inversul său este setul nul (gol).
atunci când se aplică relațiilor din secțiunea 23 calculul relațiilor, simbolurile „⊂”, „∩”, „∪”, și ” – „achiziționați un punct: de exemplu: „circulant”, „circulant”.
noțiunea și notația „unei clase” (set): în prima ediție PM afirmă că nu sunt necesare idei primitive noi pentru a defini ceea ce se înțelege prin „o clasă” și doar două noi „propoziții primitive” numite axiomele reducibilității pentru clase și respectiv relații (PM 1962:25). Dar, înainte ca această noțiune să poată fi definită, PM consideră că este necesar să se creeze o notație particulară „inkt(inkt)” pe care o numește „obiect fictiv”. (PM 1962: 188)
int .≡. „adică,” x este un membru al clasei determinate de (circulara) „este echivalent cu” x satisface (circulara), „sau la” (circulara) este adevărat.'”. (PM 1962:25)
cel puțin PM poate spune cititorului cum se comportă aceste obiecte fictive, deoarece „o clasă este complet determinată atunci când apartenența sa este cunoscută, adică nu pot exista două clase diferite care au același membru” (PM 1962: 26). Acest lucru este simbolizat de următoarea egalitate (similară cu cea de la 13.01 de mai sus:
circulatia sangelui: circulatia sangelui: circulatia sangelui: circulatia sangelui: circulatia sangelui . (x): (x): (x): (x).≡. „aceasta din urmă este caracteristica distinctivă a claselor și ne îndreptățește să tratăm ca pe o clasă determinată de clasa de la SEC.”(PM 1962: 188)
poate că cele de mai sus pot fi clarificate prin discutarea claselor din introducerea celei de-a doua ediții, care dispune de Axioma Reductibilității și o înlocuiește cu noțiunea: „toate funcțiile funcțiilor sunt extensionale” (PM 1962: xxxix), adică
, .⊃. (x): ƒ(φẑ) ≡ ƒ(ψẑ) (1962 PM:xxxix)
Acest lucru are rezonabile în sensul că „DACĂ pentru toate valorile x adevărul-valori de funcțiile φ și ψ x sunt echivalente, ATUNCI funcția ƒ de un anumit φẑ și ƒ de ψẑ sunt echivalente.”PM afirmă că acest lucru este „evident”:
” acest lucru este evident, deoarece se poate produce doar în momentul în care se poate produce în momentul în care se substituie valorile de la ora în cauză p, q, r, … într-o funcție, și, dacă φx ≡ ψx, substituirea φx pentru p în funcție oferă același adevăr cu valoare de adevar-funcție ca înlocuirea ψx. În consecință, nu mai există nici un motiv pentru a distinge între clasele de funcții, pentru că avem, în virtutea celor de mai sus, un număr de x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x .⊃. (x). x-x = . inkt”.
observați schimbarea la semnul egalității ” = ” din dreapta. PM continuă să afirme că va continua să se agațe de notația” hectolixt”, dar acest lucru este doar echivalent cu el, iar aceasta este o clasă. (toate citate: PM 1962: xxxix).