Scale (map)

după cum demonstrează Teorema Egregium a lui Gauss, o sferă (sau elipsoidă) nu poate fi proiectată pe un plan fără distorsiuni. Acest lucru este ilustrat în mod obișnuit de imposibilitatea de a netezi o coajă de portocală pe o suprafață plană fără a o rupe și deforma. Singura reprezentare adevărată a unei sfere la scară constantă este o altă sferă, cum ar fi un glob.având în vedere dimensiunea practică limitată a Globurilor, trebuie să folosim hărți pentru cartografiere detaliată. Hărțile necesită proiecții. O proiecție implică distorsiuni: O separare constantă pe hartă nu corespunde unei separări constante pe teren. În timp ce o hartă poate afișa o scală de bare grafice, scara trebuie utilizată cu înțelegerea faptului că va fi exactă doar pe unele linii ale hărții. (Acest lucru este discutat în continuare în exemplele din secțiunile următoare.)

fie P un punct situat la o latitudine φ {\displaystyle \varphi }

și longitudine λ {\displaystyle \lambda }

pe sfera (sau elipsoid). Fie Q un punct învecinat și fie {\displaystyle \alpha}

unghiul dintre elementul PQ și meridianul la P: acest unghi este unghiul de azimut al elementului PQ. Fie P ‘și Q’ puncte corespunzătoare pe proiecție. Unghiul dintre direcția P ‘ Q ‘ și proiecția meridianului este rulment-ul {\displaystyle \beta }

. În general, {\displaystyle \Alpha \neq \beta }

. Comentariu: această distincție precisă între azimut (pe suprafața Pământului) și rulment (pe hartă) nu este observată universal, mulți scriitori folosind termenii aproape interschimbabil.

definiție: scala punctului la P este raportul dintre cele două distanțe P ‘ Q ‘ și PQ în limita pe care Q se apropie de P. Noi scriem acest lucru ca

im Q P P ‘ Q ‘P Q, {\displaystyle \mu (\lambda,\, \varphi,\, \alpha) = \Lim _{Q\to P}{\frac {P’Q’} {PQ}},}

unde notația indică faptul că scara punctului este o funcție a poziției lui P și, de asemenea, Direcția elementului PQ.

definiție: dacă P și Q se află pe același meridian ( XV = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}

, scara meridianului este notată cu h ( hectolitri , XIII ) {\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}

.

definiție: daca P si Q se afla pe aceeasi paralela ( x-x / 2 ) {\displaystyle (\alpha = \pi /2)}

, scala paralela este notata cu k ( x-x , x-x ) {\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}

.

definiție: dacă scala punctului depinde numai de poziție, nu de direcție, spunem că este izotropă și în mod convențional denotăm valoarea sa în orice direcție prin factorul de scară paralelă k ( zecimal , zecimal ) {\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}

.

definiție :se spune că o proiecție a hărții este conformă dacă unghiul dintre o pereche de linii care se intersectează într-un punct P este același cu unghiul dintre liniile proiectate în punctul proiectat P’, pentru toate perechile de linii care se intersectează în punctul P. O hartă conformă are un factor de scară izotrop. În schimb, factorii de scară izotropă de pe hartă implică o proiecție conformală.

izotropia scării implică faptul că elementele mici sunt întinse în mod egal în toate direcțiile, adică forma unui element mic este păstrată. Aceasta este proprietatea ortomorfismului (din greacă ‘formă dreaptă’). Calificativul ‘ mic ‘ înseamnă că, la o anumită precizie de măsurare dată, nu poate fi detectată nicio modificare a factorului de scară asupra elementului. Deoarece proiecțiile conformale au un factor de scară izotrop, ele au fost numite și proiecții ortomorfe. De exemplu, proiecția Mercator este conformă, deoarece este construită pentru a păstra unghiurile și factorul său de scară este izotopic, o funcție de latitudine numai: Mercator păstrează forma în regiuni mici.

definiție: pe o proiecție conformală cu o scală izotropă, punctele care au aceeași valoare a scării pot fi unite pentru a forma liniile izoscalei. Acestea nu sunt reprezentate grafic pe hărți pentru utilizatorii finali, dar apar în multe dintre textele standard. (A se vedea paginile Snyder 203-206.)

fracția reprezentativă (RF) sau scala principalăedit

există două convenții utilizate în stabilirea ecuațiilor oricărei proiecții date. De exemplu, proiecția cilindrică echirectangulară poate fi scrisă ca

cartografi: x = a {\displaystyle X=a\lambda }

y = a {\displaystyle y=a\varphi }

matematicieni: x = {\displaystyle x=\lambda }

y = {\displaystyle y=\varphi }

aici vom adopta prima dintre aceste convenții utilizarea în anchetele de Snyder). În mod clar ecuațiile de proiecție de mai sus definesc pozițiile pe un cilindru imens înfășurat în jurul Pământului și apoi derulat. Spunem că aceste coordonate definesc harta de proiecție care trebuie distinsă logic de hărțile tipărite (sau vizualizate) reale. Dacă definiția scării punctului din secțiunea anterioară este în termeni de hartă de proiecție, atunci ne putem aștepta ca factorii de scară să fie aproape de unitate. Pentru proiecțiile cilindrice tangente normale, scara de-a lungul ecuatorului este k=1 și, în general, scara se schimbă pe măsură ce ne deplasăm de pe ecuator. Analiza scării pe harta de proiecție este o investigație a schimbării lui k departe de adevărata sa valoare a unității.

hărțile tipărite reale sunt produse din harta de proiecție printr-o scalare constantă notată cu un raport cum ar fi 1:100m (pentru hărțile lumii întregi) sau 1:10000 (pentru planurile orașului). Pentru a evita confuzia în utilizarea cuvântului ‘scară’, această fracție la scară constantă se numește fracție reprezentativă (RF) a hărții tipărite și trebuie identificată cu raportul tipărit pe hartă. Coordonatele reale ale hărții tipărite pentru proiecția cilindrică echirectangulară sunt

harta tipărită: x = ( R F ) A {\displaystyle x=(RF)a\lambda }

y = ( R F ) A {\displaystyle y=(RF)a\varphi }

această convenție permite o distincție clară între scalarea de proiecție intrinsecă și scalarea de reducere.

Din acest punct ignorăm RF și lucrăm cu harta de proiecție.

vizualizarea scării punctului: Tissot indicatrixEdit

luați în considerare un cerc mic pe suprafața Pământului centrat într-un punct P la latitudine\displaystyle \varphi }

și longitudine {\displaystyle \lambda }

. Deoarece scara punctului variază în funcție de poziție și direcție, proiecția cercului pe proiecție va fi distorsionată. Tissot a demonstrat că, atâta timp cât distorsiunea nu este prea mare, cercul va deveni o elipsă pe proiecție. În general, dimensiunea, forma și orientarea elipsei se vor schimba peste proiecție. Suprapunerea acestor elipse de distorsiune pe proiecția hărții transmite modul în care scara punctului se schimbă pe hartă. Elipsa de distorsiune este cunoscută sub numele de indicatrix al lui Tissot. Exemplul prezentat aici este proiecția Winkel tripel, proiecția standard pentru hărțile lumii realizată de National Geographic Society. Distorsiunea minimă este pe meridianul central la latitudini de 30 de grade (nord și Sud). (Alte exemple).

scara punctului pentru proiecțiile cilindrice normale ale sfereedit

cheia unei înțelegeri cantitative a scării este de a considera un element infinitezimal pe sferă. Figura prezintă un punct P la latitudine (div) și longitudine (div) și latitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div) și longitudine (div). Punctul Q este la latitudinea φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }

și longitudine λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }

. Liniile PK și mq sunt arce de meridiane de lungime a {\displaystyle A\,\delta \varphi }

unde a {\displaystyle a}

este raza sferei și {\displaystyle \varphi }

este în măsură radian. Liniile PM si KQ sunt arce de cercuri paralele de lungime ( un cos ⁡ φ ) δ λ {\displaystyle (o\cos \varphi )\delta \lambda }

cu λ {\displaystyle \lambda }

în măsură radian. În derivarea unei proprietăți punctuale a proiecției la P este suficient să se ia un element infinitezimal PMQK al suprafeței: în limita Q care se apropie de P, un astfel de element tinde spre un dreptunghi planar infinitezimal mic.

proiecțiile cilindrice normale ale sferei au X = a {\displaystyle X=a\lambda }

și Y {\displaystyle y}

egal cu o funcție de numai latitudine. Prin urmare, elementul infinitezimal PMQK pe sferă se proiectează la un element infinitezimal P’ M ‘ Q ‘ K ‘ care este un dreptunghi exact cu o bază X = a X=a X=a X=a\, \delta\lambda }

și înălțimea y {\displaystyle \Delta y}

. Prin compararea elementelor pe sferă și proiecție putem deduce imediat expresii pentru factorii de scară pe paralele și meridiane. (Tratamentul scării într-o direcție generală poate fi găsit mai jos.) paralel factor de scară k = δ x cos ⁡ φ δ λ = sec ⁡ φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridian factor de scara h = δ și δ φ = y ‘( φ ) o {\displaystyle \quad sec\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{o}}}

rețineți că factorul de scară paralelă K = sec {\displaystyle K=\sec \varphi }

este independent de definiția lui y ( XV ) {\displaystyle y(\varphi )}

deci este aceeași pentru toate proiecțiile cilindrice normale. Este util să rețineți că la 30 de grade latitudine scara paralelă este k = sec ⁡ 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k = \ sec 30 ^ {\circ } = 2 / {\sqrt {3}} = 1.15}

la latitudinea de 45 de grade paralel scara este k = sec ⁡ 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}

la latitudinea de 60 de grade paralel scara este k = sec ⁡ 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}

la 80 de grade latitudine paralel scara este k = sec ⁡ 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}

la latitudine de 85 de grade scara paralelă este k = sec 85, 85, 11,5 {\displaystyle k = \sec 85^{\circ}=11,5}

următoarele exemple ilustrează trei proiecții cilindrice normale și în fiecare caz variația scării cu poziția și direcția este ilustrată prin utilizarea indicatrix-ului lui Tissot.

trei exemple de proiecție cilindrică normală

proiecția echirectangulară

proiecția Echirectangulară, cunoscută și sub denumirea de placă carrquste (în franceză pentru „pătrat plat”) sau (oarecum înșelător) proiecția echidistantă, este definită de

X = a zecimal , {\displaystyle X=a\lambda ,}

y = a varphi,}

unde a {\displaystyle A}

este raza sferei, {\displaystyle \lambda }

este longitudinea de la meridianul central al proiecției (aici luată ca meridianul Greenwich la 0 {\displaystyle \lambda = 0}

) și {\displaystyle \varphi }

este latitudinea. De reținut că

și {\displaystyle\varphi}

sunt în radiani (obținuți prin înmulțirea măsurii de grad cu un factor de {\displaystyle\pi}

/180). Longitudinea {\displaystyle \lambda }

se află în intervalul {\displaystyle }

și latitudinea {\displaystyle \varphi }

este în intervalul {\displaystyle }

.

Din moment ce y ‘( varphi ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}

sectiunea anterioara da scara paralela, K = X X X a cos\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}

meridian scara h = δ y a δ φ = 1 {\displaystyle \quad sec\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}

Pentru calcularea punct de scară într-o direcție arbitrară a se vedea anexa.

figura ilustrează indicatrixul Tissot pentru această proiecție. Pe ecuator h = k = 1 și elementele circulare sunt nedistorsionate peproiecție. La latitudini mai mari, cercurile sunt distorsionate într-o elipsă dată de întinderea numai în direcția paralelă: nu există nicio distorsiune în direcția meridianului. Raportul dintre axa majoră și axa minoră este sec XV {\displaystyle \sec \varphi}

. În mod clar, zona elipsei crește cu același factor. este instructiv să se ia în considerare utilizarea barelor care ar putea apărea pe o versiune tipărită a acestei proiecții. Scara este adevărată (k = 1) pe ecuator, astfel încât înmulțirea lungimii sale pe o hartă tipărită cu inversul RF (sau scara principală) dă circumferința reală a Pământului. Scara barei de pe hartă este, de asemenea, desenată la scara adevărată, astfel încât transferul unei separări între două puncte de pe ecuator la scara barei va da distanța corectă între acele puncte. Același lucru este valabil și pe meridiane. Pe o paralelă, alta decât ecuatorul, scara este sec XV {\displaystyle \sec \varphi }

deci, atunci când transferăm o separare de la o paralelă la scara barei, trebuie să împărțim distanța scării barei cu acest factor pentru a obține distanța dintre puncte atunci când este măsurată de-a lungul paralelei (care nu este distanța adevărată de-a lungul unui cerc mare). Pe o linie de la un rulment de aproximativ 45 de grade ( β = 45 ∘ {\displaystyle \beta =45^{\circ }}

) scara este continuu variabilă cu latitudinea și transferul de o separare de-a lungul liniei la bar scala nu dau o distanță legate de distanța reală, în orice mod simplu. (Vezi addendum). Chiar dacă am putea stabili o distanță de-a lungul acestei linii de constantă care poartă relevanța sa este discutabilă, deoarece o astfel de linie pe proiecție corespunde unei curbe complicate pe sferă. Din aceste motive bar scale pe hărți la scară mică trebuie să fie utilizate cu precauție extremă.

Mercator projectionEdit

proiecția Mercator mapează sfera într-un dreptunghi (de măsură infinită în y {\displaystyle y}

– direcție) prin ecuațiile X = a {\displaystyle X=a\lambda \,}

y = a ln_lux {\displaystyle y=a\ln \left}

unde a, {\displaystyle \Lambda \,}

și {\displaystyle \varphi \,}

sunt ca în exemplul anterior. Din moment ce y ‘(varphi ) = sec {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

factorii de scală sunt: scală paralelă k = zecimal x cos pentru zecimal = sec . {\displaystyle k\;=\; {\dfrac {\delta x} {a \ cos \ varphi\, \delta \ lambda\,}}=\, \sec \ varphi .}

scara meridianului h = int . {\displaystyle h\;=\; {\dfrac {\delta y} {a\, \ delta \ varphi\,}}=\, \ sec \ varphi .}

În addendumul matematic se arată că scala punctuală într-o direcție arbitrară este egală și cu sec XV {\displaystyle \sec \varphi }

deci scara este izotropă (aceeași în toate direcțiile), magnitudinea ei crescând cu latitudinea ca sec\varphi }

. În diagrama Tissot fiecare element circular infinitezimal își păstrează forma, dar este mărit din ce în ce mai mult pe măsură ce latitudinea crește.

proiecția ariei egale a lui Lambert

de exemplu, o posibilă proiecție a Mercatorului secant este definită de

x = 0,9996 a, y = 0,9996 a, ln . {\displaystyle x = 0.9996 a \ lambda \ qquad \ qquad y = 0.9996 a \ LN \ stânga (\tan \ stânga ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\dreapta)\dreapta).}

multiplicatorii numerici nu modifică forma proiecției, dar aceasta înseamnă că factorii de scară sunt modificați:

scara Mercator secant, k = 0,9996 sec . {\displaystyle \ quad k\;=0.9996 \ sec \ varphi .}

astfel

• scara de la ecuator este 0.9996,
• scara este k = 1 la o latitudine dată de către 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
  

  unde sec 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}

  

  astfel încât 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}

  , k=1.0004 la latitudinea de 2 {\displaystyle \varphi _{2}}

  

  dat de sec 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}

  

  pentru care suportul pentru 2 = 2.29 are {\displaystyle \ varphi _ {2} = 2.29}

  

  grade. Prin urmare , proiecția are 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}

  

  , adică o precizie de 0,04%, pe o bandă mai largă de 4,58 grade (comparativ cu 3,24 grade pentru forma tangentă).

  acest lucru este ilustrat de curba inferioară (verde) din figura secțiunii anterioare.

  astfel de zone înguste de înaltă precizie sunt utilizate în proiecția UTM și Osgb Britanică, ambele fiind Mercator secant, transversal pe elipsoid cu scara pe Constanta meridianului central la k 0 = 0,9996 {\displaystyle K_{0}=0,9996}

  

  . Liniile isoscale cu k = 1 {\displaystyle k = 1}

  

  sunt linii ușor curbate la aproximativ 180 km est și vest de meridianul central. Valoarea maximă a factorului de scară este 1.001 pentru UTM și 1.0007 pentru OSGB.

  liniile scării unitare la latitudine 1 {\displaystyle \varphi _{1}}

  

  (Nord și sud), unde suprafața de proiecție cilindrică intersectează sfera, sunt paralelele standard ale proiecției secante.

  în timp ce o bandă îngustă cu | k − 1 | <0.0004 {\displaystyle |k-1|< 0.0004}

  

  este important pentru cartografierea de înaltă precizie la scară largă, pentru hărțile lumii paralele standard distanțate mult mai largi sunt utilizate pentru a controla variația scării. Exemple sunt

  • Behrmann cu paralele standard la 30N, 30S.
  • Gall suprafață egală cu paralele standard la 45N, 45S.

  

  variația scării pentru Lambert (verde) și fiere (roșu) proiecții suprafață egală.

  graficele de scară pentru acestea din urmă sunt prezentate mai jos în comparație cu factorii de scară Lambert area equal. În acesta din urmă ecuatorul este o singură paralelă standard, iar scara paralelă crește de la k=1 pentru a compensa scăderea scării meridianului. Pentru Gall, scara paralelă este redusă la ecuator (la k=0,707), în timp ce scara meridianului este mărită (la k=1,414). Acest lucru dă naștere la distorsiunea brută a formei în proiecția Gall-Peters. (Pe glob, Africa este cam atâta timp cât este largă). Rețineți că meridianul și scalele paralele sunt ambele unități pe paralelele standard.

  Matematice addendumEdit

  

  Infinitezimal elementele de pe sferă și o proiecție cilindrică normală

  Pentru condiții normale de proiecții cilindrice geometria infinitezimal elemente oferă

  (o) tan ⁡ α = a cos ⁡ φ δ λ o δ φ , {\displaystyle {\text{(o)}}\quad \tan \alpha ={\frac {o\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}

  

  (b) tan ⁡ β = δ x δ y = o δ λ δ y . {\displaystyle {\text {(b)}} \quad \tan\beta ={\frac{\delta x} {\delta y}}={\frac {a\, \delta\lambda} {\delta y}}.}

  

  relația dintre unghiurile β {\displaystyle \beta }

  

  și α {\displaystyle \alpha }

  

  este (c) tan ⁡ β = o sec ⁡ φ y ‘ ( φ ) tan ⁡ α . {\displaystyle {\text {(c)}} \quad \tan\beta ={\frac{a \sec\varphi} {y'(\varphi)}} \tan \ alfa .\ ,}

  

  pentru proiecția Mercator y ‘( XV ) = a sec {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }

  

  

  : unghiurile sunt păstrate. (Nu este surprinzător, deoarece aceasta este relația folosită pentru a deriva Mercator). Pentru echidistante și Lambert proiecții avem y ‘( φ ) = o {\displaystyle y'(\varphi )=o}

  

  și y ‘( φ ) = a cos ⁡ φ {\displaystyle y'(\varphi )=o\cos \varphi }

  

  respectiv atât relația dintre α {\displaystyle \alpha }

  

  și β {\displaystyle \beta }

  

  depinde de latitudine φ {\displaystyle \varphi }

  

  . Indica punctul scară de la P atunci când infim element PQ face un unghi α {\displaystyle \alpha \,}

  

  cu meridianul de μ α . {\displaystyle \ Mu _ {\alpha }.}

  

  este dat de raportul dintre distanțele: μ α = lim Q → P P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 ⁡ φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\Lim _{Q\La P}{\frac {P Q}{PQ}}=\lim _{Q\La P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\Delta \lambda ^{2}}}}.}

  

  Setare δ x = o δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }

  

  și înlocuind δ φ {\displaystyle \delta \varphi }

  

  și δ y {\displaystyle \delta y}

  

  din ecuațiile (a) și respectiv (b) oferă μ α ( φ ) = sec ⁡ φ . {\displaystyle \ mu _ {\alpha } (\varphi) = \sec \varphi \ left.}

  

  pentru alte proiecții decât Mercator, trebuie să calculăm mai întâi {\displaystyle \beta }

  

  de la {\displaystyle \alpha }

  

  și varphi }

  

  folosind ecuația (c), înainte de a putea găsi {\displaystyle\Mu _{\Alpha }}

  

  . De exemplu, proiecția echirectangulară are y’=a {\displaystyle y’=a}

  

  , astfel încât tan-ul tan-ul tan-ul tan-ul . {\displaystyle \tan \ beta = \ sec \ varphi \ tan \ alpha .\ ,}