Dada una sentencia R, la sentencia \(\sim R\) se llama negación de R. Si R es una sentencia compleja, entonces a menudo es el caso que su negación \(\sim R\) se puede escribir de una forma más simple o más útil. El proceso de encontrar esta forma se llama negación de R. En teoremas probatorios a menudo es necesario negar ciertas afirmaciones. Ahora investigamos cómo hacer esto.
ya Hemos examinado parte de este tema. Las leyes de DeMorgan
\(\sim (P \wedge Q) = (\sim P) \vee (\sim Q)\)
\(\sim (P \vee Q) = ( \sim P) \wedge (\sim Q)\)
tal vez usted puede encontrar \(\sim R\) sin invocar las leyes de DeMorgan. Eso es bueno; has interiorizado las leyes de DeMorgan y las estás usando inconscientemente.
no es el caso que P(x) es verdadera para todos los números naturales x.
\(\sim (\forall x \in X, P(x)) = \exists x \in X, \sim P(x)\)
\(\sim (\exists x \in X, P(x)) = \forall x \in X, \sim P(x)\)
asegúrese de que usted entiende estas dos lógicas equivalencias. Se ajustan a nuestro uso diario del lenguaje, pero determinan el significado de una manera matemáticamente precisa.
\(\sim (P \ Rightarrow Q) = P \ wedge \ sim Q\).
(De hecho, en el Ejercicio 12 de la Sección 2.6, utilizó una tabla de verdad para verificar que estas dos afirmaciones son lógicamente equivalentes.)
El ejemplo anterior 2.15 mostró cómo negar una instrucción condicional \(P(x) \Rightarrow Q (x)\). Este tipo de problema a veces puede estar incrustado en una negación más compleja. Consulte el ejercicio 5 a continuación (y su solución).