Como demuestra el Teorema Egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano sin distorsión. Esto se ilustra comúnmente por la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin rasgarla y deformarla. La única representación verdadera de una esfera a escala constante es otra esfera, como un globo terráqueo.
Dado el tamaño práctico limitado de los globos terráqueos, debemos usar mapas para un mapeo detallado. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica distorsión: Una separación constante en el mapa no corresponde a una separación constante en el suelo. Si bien un mapa puede mostrar una escala de barras gráficas, la escala debe usarse con el entendimiento de que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las secciones siguientes.)
sea P un punto en latitud φ {\displaystyle \varphi }
y longitud l {\displaystyle \lambda }
en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea α {\displaystyle \ alpha}
el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P ‘y Q’ los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P Q’ y la proyección de el meridiano es el rodamiento β {\displaystyle \beta }
. En general α ≠ β {\displaystyle \alpha \neq \beta }
. Comentario: esta distinción precisa entre azimut (en la superficie de la Tierra) y rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, muchos escritores usan los términos casi indistintamente.
Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P’Q ‘ y PQ en el límite que Q se aproxima a P. Escribimos esto como
μ ( λ , φ , α ) = lim Q → P P ‘ Q ‘P Q , {\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P’Q’}{PQ}},}
donde la notación indica que la escala de puntos es una función de la posición de P y también de la dirección del elemento PQ.
Definición: si P y Q se acueste sobre el mismo meridiano ( α = 0 ) {\displaystyle (\alpha =0)}
, el meridiano de la escala se denota por h ( λ , φ ) {\displaystyle h(\lambda\,\varphi )}
. Definición
: si P y Q se encuentran en la misma paralelo ( α = π / 2 ) {\displaystyle (\alpha =\pi /2)}
, el paralelo de la escala se denota por k ( λ , φ ) {\displaystyle k(\lambda\,\varphi )}
. Definición
: si la escala de puntos depende solo de la posición, no de la dirección, decimos que es isotrópica y convencionalmente denotamos su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralela k (λ , φ ) {\displaystyle k (\lambda ,\varphi )}
.
Definición: Se dice que una proyección de mapa es conforme si el ángulo entre un par de líneas que se intersectan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P’, para todos los pares de líneas que se intersectan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. A la inversa, los factores de escala isotrópicos a lo largo del mapa implican una proyección conforme.
La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad del ortomorfismo (del griego ‘forma correcta’). La calificación «pequeño» significa que, con una precisión de medición determinada, no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópica, también se les ha llamado proyecciones ortomórficas. Por ejemplo, la proyección de Mercator es conforme, ya que está construida para preservar ángulos y su factor de escala es isotópico, una función solo de la latitud: Mercator preserva la forma en regiones pequeñas.Definición
: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala. Estos no están trazados en mapas para usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder páginas 203-206.)
La fracción representativa (RF) o escala principaleditar
Hay dos convenciones utilizadas para establecer las ecuaciones de cualquier proyección dada. Por ejemplo, el equirectangular proyección cilíndrica puede ser escrito como
cartógrafos: x = λ {\displaystyle x=a\lambda }
y = φ {\displaystyle y=a\varphi }
matemáticos: x = λ {\displaystyle x=\lambda }
y = φ {\displaystyle y=\varphi }
Aquí se adoptará el primero de estos convenios (siguiendo el uso en las encuestas por Snyder). Claramente, las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un cilindro enorme envuelto alrededor de la Tierra y luego desenrollado. Decimos que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas impresos (o vistos) reales. Si la definición de escala de puntos en la sección anterior es en términos del mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala estén cerca de la unidad. Para proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k lejos de su verdadero valor de unidad.
Los mapas impresos reales se producen a partir del mapa de proyección mediante una escala constante denotada por una relación como 1:100M (para mapas de todo el mundo) o 1:10000 (para planos de ciudades). Para evitar confusiones en el uso de la palabra «escala», esta fracción de escala constante se denomina fracción representativa (RF) del mapa impreso y debe identificarse con la proporción impresa en el mapa. Las coordenadas de mapa impresas reales para la proyección cilíndrica equirectangular son
mapa impreso: x = ( R F ) λ {\displaystyle x=(RF)a\lambda }
y = ( R F ) un φ {\displaystyle y=(RF)a\varphi }
Este convenio permite una clara distinción intrínseca de la proyección de escala y la reducción de la escala.
Desde este punto ignoramos el RF y trabajamos con el mapa de proyección.
Visualización de la escala de puntos: la indicación de Tissoteditar
Considere un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P en la latitud φ {\\varphi}
y longitud λ {\displaystyle \lambda}
. Dado que la escala de puntos varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo en la proyección se distorsionará. Tissot demostró que, mientras la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse en la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán a lo largo de la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión en la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos cambia sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatrix de Tissot. El ejemplo que se muestra aquí es la proyección Winkel tripel, la proyección estándar para mapas del mundo realizada por la National Geographic Society. La distorsión mínima es en el meridiano central a latitudes de 30 grados (Norte y Sur). (Otros ejemplos).
Escala de puntos para proyecciones cilíndricas normales de la esferaeditar
La clave para una comprensión cuantitativa de la escala es considerar un elemento infinitesimal en la esfera. La figura muestra un punto P a una latitud de φ {\displaystyle \varphi }
y longitud l {\displaystyle \lambda }
en la esfera. El punto P está a una latitud de φ + δ φ {\displaystyle \varphi +\delta \varphi }
y longitud λ + δ λ {\displaystyle \lambda +\delta \lambda }
. Las líneas de PK y MQ son arcos de meridianos de longitud de un δ φ {\displaystyle a\,\delta \varphi }
donde a {\displaystyle un}
es el radio de la esfera y φ {\displaystyle \varphi }
es en la medida radián. Las líneas PM y KQ son arcos de círculos paralelos de longitud ( a cos φ ) δ λ {\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }
con l {\displaystyle \lambda }
en la medida radián. Al derivar una propiedad de punto de la proyección en P, basta con tomar un elemento infinitesimal PMQK de la superficie: en el límite de Q que se aproxima a P, tal elemento tiende a un rectángulo plano infinitesimalmente pequeño.
Normal cilíndrico proyecciones de la esfera x = λ {\displaystyle x=a\lambda }
y y {\displaystyle y}
igual a una función de la latitud solo. Por lo tanto, el elemento infinitesimal PMQK en el ámbito de los proyectos a un elemento infinitesimal P ESTOY Q K’, que es una exacta rectángulo con una base δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }
y la altura δ y {\displaystyle \delta y}
. Al comparar los elementos en esfera y proyección, podemos deducir inmediatamente expresiones para los factores de escala en paralelos y meridianos. (El tratamiento de la escala en una dirección general se puede encontrar a continuación.) parallel scale factor k = δ x a cos φ δ λ = sec φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
meridian scale factor h = δ y a δ φ = y ′ ( φ ) a {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}
tenga en cuenta que el paralelo factor de escala k = sec φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
es independiente de la definición de y ( φ ) {\displaystyle y(\varphi )}
para que es el mismo para todas las proyecciones cilíndricas. Es útil tener en cuenta que a 30 grados de latitud la escala paralela es k = seg 30 ∘ = 2 / 3 = 1.15 {\displaystyle k= \ sec 30^{\circ } = 2 / {\sqrt {3}} = 1.15}
a una latitud de 45 grados, con la paralela de la escala es de k = sec 45 ∘ = 2 = 1.414 {\displaystyle k=\seg 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}
en una latitud de 60 grados, el paralelo de la escala es k = sec 60 ∘ = 2 {\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}
a 80 grados de latitud del paralelo escala es k = sec 80 ∘ = 5.76 {\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}
a 85 grados de latitud, la escala paralela es k = sec 85 = =11.5 {\displaystyle k =\sec 85^{\circ}=11.5}
Los siguientes ejemplos ilustran tres proyecciones cilíndricas normales y en cada caso la variación de la escala con la posición y la dirección es ilustrado por el uso de la indicatrix de Tissot.
Tres ejemplos de lo normal cilíndrico projectionEdit
Los equirectangular projectionEdit
La proyección equirectangular, también conocida como la Placa de Carrée (francés para «plano de la plaza») o (algo engañosamente) la proyección equidistante, es definido por
x = λ , {\displaystyle x=a\lambda}
y = φ , {\displaystyle y=a\varphi ,}
donde a {\displaystyle un}
es el radio de la esfera, λ {\displaystyle \lambda }
es la longitud del meridiano central de la proyección (aquí como el meridiano de Greenwich en λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}
) y φ {\displaystyle \varphi }
es la latitud. Tenga en cuenta que λ {\displaystyle \lambda }
y φ {\displaystyle \varphi }
están en radianes (obtenida multiplicando la medida en grados por un factor de π {\displaystyle \pi }
/180). La longitud λ {\displaystyle \lambda }
está en el rango {\displaystyle }
y la latitud φ {\displaystyle \varphi }
está en el rango {\displaystyle }
.
Puesto que y ‘( φ ) = 1 {\displaystyle y'(\varphi )=1}
la sección anterior da en paralelo escala, k = δ x a cos φ δ λ = sec φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
meridiano escala h = δ y un δ φ = 1 {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}
Para el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria, ver anexo.
La figura ilustra la indicatrix de Tissot para esta proyección. En el ecuador h = k = 1 y los elementos circulares no están distorsionados en la proyección. En latitudes más altas, los círculos se distorsionan en una elipse dada por el estiramiento solo en la dirección paralela: no hay distorsión en la dirección del meridiano. La relación de los principales ejes para el eje menor es sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
. Claramente, el área de la elipse aumenta en el mismo factor.
Es instructivo considerar el uso de escalas de compás que podrían aparecer en una versión impresa de esta proyección. La escala es verdadera (k=1) en el ecuador, de modo que multiplicar su longitud en un mapa impreso por el inverso de la RF (o escala principal) da la circunferencia real de la Tierra. La escala de barras en el mapa también se dibuja en la escala verdadera, de modo que la transferencia de una separación entre dos puntos en el ecuador a la escala de barras dará la distancia correcta entre esos puntos. Lo mismo es cierto en los meridianos. En un paralelo que no sea el ecuador, la escala es sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
así que cuando transferimos una separación de un paralelo a la escala de barras, debemos dividir la distancia de la escala de barras por este factor para obtener la distancia entre los puntos cuando se mide a lo largo del paralelo (que no es la distancia verdadera a lo largo de un gran círculo). En una línea con un rodamiento de, por ejemplo, 45 grados ( β = 45 {{\displaystyle \beta =45^{\circ }}
), la escala varía continuamente con la latitud y la transferencia de una separación a lo largo de la línea a la escala de barras no da una distancia relacionada con la distancia verdadera de ninguna manera simple. (Pero véase la adición). Incluso si pudiéramos calcular una distancia a lo largo de esta línea de constante, su relevancia es cuestionable, ya que tal línea en la proyección corresponde a una curva complicada en la esfera. Por estas razones, las escalas de barras en mapas de pequeña escala deben usarse con extrema precaución.
Mercator projectionEdit
La proyección de Mercator mapas de la esfera a un rectángulo (de alcance infinito en la y {\displaystyle y}
dirección) por las ecuaciones x = λ {\displaystyle x=a\lambda \,}
y = ln {\displaystyle y=a\ln \left}
donde, l {\displaystyle \lambda \,}
y φ {\displaystyle \varphi \,}
are as in the previous example. Since y ′ ( φ ) = a sec φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }
the scale factors are: parallel scale k = δ x a cos φ δ λ = sec φ . {\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}
meridian scale h = δ y a δ φ = sec φ . {\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}
En el anexo matemático se muestra que la escala de puntos en una dirección arbitraria también es igual a sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
por lo que la escala es isotrópica (igual en todas las direcciones), su magnitud aumenta con la latitud como sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
. En el diagrama de Tissot, cada elemento circular infinitesimal conserva su forma, pero se amplía cada vez más a medida que aumenta la latitud.
Lambert área igual a la projectionEdit
Lambert área igual a la proyección de los mapas de la esfera a un número finito rectángulo por las ecuaciones
x = λ y = a sen φ {\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }
donde, l {\displaystyle \lambda }
and φ {\displaystyle \varphi }
are as in the previous example. Since y ′ ( φ ) = cos φ {\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }
the scale factors are parallel scale k = δ x a cos φ δ λ = sec φ {\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}
meridiano escala h = δ y un δ φ = cos φ {\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }
El cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria, es la siguiente.
Las escalas vertical y horizontal ahora se compensan entre sí (hk=1) y en el diagrama de Tissot, cada elemento circular infinitesimal se distorsiona en una elipse de la misma área que los círculos no distorsionados en el ecuador.
los Gráficos de escala factorsEdit
la gráfica muestra La variación de los factores de escala para los tres ejemplos. La gráfica superior muestra la función de escala isotrópica de Mercator: la escala en el paralelo es la misma que la escala en el meridiano. Las otras gráficas muestran el factor de escala meridiana para la proyección equirectangular (h=1) y para la proyección de área igual de Lambert. Estas dos últimas proyecciones tienen una escala paralela idéntica a la de la parcela de Mercator. Para el Lambert, tenga en cuenta que la escala paralela (como Mercator A) aumenta con la latitud y la escala meridiana (C) disminuye con la latitud de tal manera que hk=1, garantizando la conservación del área.
Variación de escala en la proyección de mercatoredItar
La escala de punto de Mercator es una unidad en el ecuador porque es tal que el cilindro auxiliar utilizado en su construcción es tangencial a la Tierra en el ecuador. Por esta razón, la proyección habitual debe llamarse proyección tangente. La escala varía con la latitud como k = sec φ {\displaystyle k=\sec \varphi }
. Dado que sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
tiende al infinito a medida que nos acercamos a los polos, el mapa de Mercator está groseramente distorsionado en latitudes altas y por esta razón la proyección es totalmente inapropiada para los mapas del mundo (a menos que estemos discutiendo la navegación y las líneas loxodrómicas). Sin embargo, a una latitud de aproximadamente 25 grados, el valor de sec φ {\displaystyle \sec \varphi }
es aproximadamente 1.1 por lo tanto, Mercator tiene una precisión del 10% en una franja de ancho de 50 grados centrada en el ecuador. Las tiras más estrechas son mejores: una tira de ancho de 16 grados (centrada en el ecuador) tiene una precisión de 1% o 1 parte de cada 100.
Un criterio estándar para buenos mapas a gran escala es que la precisión debe estar dentro de 4 partes en 10,000, o 0.04%, correspondiente a k=1.0004 {\displaystyle k=1.0004}
. Desde seg φ {\displaystyle \sec \varphi }
alcanza este valor en φ = 1.62 {\displaystyle \ varphi = 1.62}
grados (ver figura a continuación, línea roja). Por lo tanto, la proyección tangente de Mercator es altamente precisa dentro de una franja de ancho de 3,24 grados centrada en el ecuador. Esto corresponde a una distancia norte-sur de aproximadamente 360 km (220 millas). Dentro de esta tira Mercator es muy bueno, altamente preciso y conserva la forma porque es conforme (conserva el ángulo). Estas observaciones impulsaron el desarrollo de las proyecciones transversales de Mercator en las que un meridiano se trata «como un ecuador» de la proyección para obtener un mapa preciso dentro de una distancia estrecha de ese meridiano. Estos mapas son buenos para países alineados casi de norte a sur (como Gran Bretaña) y un conjunto de 60 mapas de este tipo se utiliza para el Mercator Transversal Universal (UTM). Tenga en cuenta que en ambas proyecciones (que se basan en varios elipsoides) las ecuaciones de transformación para x e y y la expresión para el factor de escala son funciones complicadas de latitud y longitud.
Secante, o modificado, projectionsEdit
La idea básica de una secante proyección es que la esfera se proyecta a un cilindro que intersecta a la esfera en dos paralelos, decir φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
el norte y el sur. Claramente, la escala ahora es verdadera en estas latitudes, mientras que los paralelos por debajo de estas latitudes se contraen por la proyección y su factor de escala (paralelo) debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala de la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes.
Como ejemplo, una posible proyección secante de Mercator se define por
x = 0.9996 a λ y = 0.9996 a ln ( tan (π 4 + φ 2)). {\displaystyle x = 0.9996 a\lambda \ qquad \ qquad y=0.9996 a\ln \ left (\tan \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}
Los multiplicadores numéricos no alteran la forma de la proyección, pero sí significan que los factores de escala se modifican:
escala secante de Mercator, k = 0.9996 sec φ . {\displaystyle \ quad k\; = 0.9996\sec \varphi .}
Así
- la escala en el ecuador es 0.9996,
- la escala es de k = 1 en una latitud dada por φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}}
donde sec φ 1 = 1 / 0.9996 = 1.00004 {\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}
así que φ 1 = 1.62 {\displaystyle \varphi _{1}=1.62}
grados,
k=1.0004 en la latitud φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} dada por la sec φ 2 = 1.0004 / 0.9996 = 1.0008 {\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}
para que φ 2 = 2.29 apoyo ha {\displaystyle \varphi _{2}=2.29}
grados. Por lo tanto, la proyección de 1 < k < 1.0004 {\displaystyle 1<k<1.0004}
, que es una precisión de 0,04%, sobre una amplia franja de 4.58 grados (en comparación con 3.24 grados por la tangente forma).
Esto se ilustra con la curva inferior (verde) en la figura de la sección anterior.
Tales zonas estrechas de alta precisión se utilizan en la proyección UTM y la OSGB británica, ambas secantes, Mercator transversal en el elipsoide con la escala en la constante del meridiano central en k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996}
. Las líneas de isoescala con k = 1 {\displaystyle k=1}
son líneas ligeramente curvas aproximadamente a 180 km al este y al oeste del meridiano central. El valor máximo del factor de escala es 1,001 para UTM y 1,0007 para OSGB.
Las líneas de escala unitaria a latitud φ 1 {\displaystyle \ varphi _ {1}}
(norte y sur), donde la superficie de proyección cilíndrica se cruza con la esfera, son los paralelos estándar de la proyección secante.
Mientras que una banda estrecha con | k − 1 | < 0.0004 {\displaystyle |k-1|<0.0004}
es importante para el mapeo de alta precisión a gran escala, para los mapas del mundo se utilizan paralelos estándar espaciados mucho más amplios para controlar la variación de escala. Los ejemplos son
- Behrmann con paralelos estándar a 30N, 30S.
- Gall área igual con paralelos estándar a 45N, 45S.
Las gráficas de escala para este último se muestran a continuación en comparación con los factores de escala de área igual de Lambert. En este último, el ecuador es un paralelo estándar único y la escala paralela aumenta desde k=1 para compensar la disminución en la escala del meridiano. Para la Vesícula, la escala paralela se reduce en el ecuador (a k=0,707), mientras que la escala del meridiano se incrementa (a k=1,414). Esto da lugar a la distorsión bruta de la forma en la proyección de las vesículas. (En el mundo, África es tan larga como ancha). Tenga en cuenta que las escalas meridianas y paralelas son una unidad en los paralelos estándar.
Matemáticas addendumEdit
Para el normal cilíndrico proyecciones de la geometría de los elementos infinitesimales da
(a) tan α = a cos φ δ λ un δ φ , {\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}
(b) tan β = δ x δ y = a δ λ δ y . {\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}
La relación entre los ángulos β {\displaystyle \beta }
y α {\displaystyle \alpha }
es (c) tan β = a sec φ y ‘ ( φ ) tan α . {\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\ ,}
Para la proyección de Mercator y ‘( φ ) = a sec φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }
dando α = β {\displaystyle \alpha =\beta }
: los ángulos se conservan. (No es de extrañar, ya que esta es la relación utilizada para derivar Mercator). Para el equidistantes y Lambert proyecciones tenemos y ‘( φ ) = a {\displaystyle y'(\varphi )=a}
y y ‘( φ ) = a cos φ {\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }
respectivamente, por lo que la relación entre α {\displaystyle \alpha }
y β {\displaystyle \beta }
depende de la latitud φ {\displaystyle \varphi }
. Denota la escala de puntos en P cuando el elemento infinitesimal PQ hace un ángulo α {\displaystyle \ alpha\,}
con el meridiano por μ α . {\displaystyle \ mu _{\alpha }.}
Está dada por la relación de distancias: μ α = lim Q → P P ‘ Q ‘ P Q = lim Q → P δ x 2 + δ y 2 a 2 δ φ 2 + a 2 cos 2 φ δ λ 2 . {\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P’Q’}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}
Ajuste δ x = a δ λ {\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }
y sustituyendo δ φ {\displaystyle \delta \varphi }
y δ y {\displaystyle \delta y}
a partir de las ecuaciones (a) y (b), respectivamente, da μ α ( φ ) = sec φ . {\displaystyle \ mu _{\alpha } (\varphi) = \sec \varphi \ left.}
Para las proyecciones de otros de Mercator primero debemos calcular β {\displaystyle \beta }
desde α {\displaystyle \alpha }
y φ {\displaystyle \varphi }
usando la ecuación (c), antes de que podamos encontrar μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }}
. Por ejemplo, la proyección equirectangular tiene y ‘= a {\displaystyle y’ = a}
de modo que tan β = sec φ tan α . {\displaystyle \tan \ beta = \sec \varphi \tan \ alpha .\ ,}
