Un autor observa que «La notación en esa obra ha sido reemplazada por el desarrollo posterior de la lógica durante el siglo XX, en la medida en que el principiante tiene problemas para leer PM en absoluto»; mientras que gran parte del contenido simbólico se puede convertir a notación moderna, la notación original en sí misma es «un tema de disputa académica», y algunas notaciones «incorporan doctrinas lógicas sustantivas de modo que no pueden ser reemplazadas simplemente por simbolismo contemporáneo».
Kurt Gödel fue duramente crítico con la notación:
«Es de lamentar que esta primera presentación exhaustiva y exhaustiva de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella carezca tanto de precisión formal en los fundamentos (contenidos en Princip 1-Princip 21 de Principia ) que representa en este sentido un considerable retroceso en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas se omiten incluso en los casos en que son necesarias para la coherencia de las pruebas».
Esto se refleja en el ejemplo a continuación de los símbolos «p», «q», «r» y «⊃» que se pueden formar en la cadena «p ⊃ q ⊃ r». PM requiere una definición de lo que significa esta cadena de símbolos en términos de otros símbolos; en los tratamientos contemporáneos, las «reglas de formación» (reglas sintácticas que conducen a «fórmulas bien formadas») habrían evitado la formación de esta cadena.
Fuente de la notación: El Capítulo I «Explicaciones Preliminares de Ideas y Notaciones» comienza con la fuente de las partes elementales de la notación (los símbolos =Λ−ΛVε y el sistema de puntos):
» La notación adoptada en el presente trabajo se basa en la de Peano, y las siguientes explicaciones se basan en cierta medida en las que prefijó a su Formulario Matemático . Se adopta el uso de puntos como corchetes, al igual que muchos de sus símbolos» (PM 1927:4).
PM cambió el Ɔ de Peano a ⊃, y también adoptó algunos de los símbolos posteriores de Peano, como ℩ y ι, y la práctica de Peano de voltear las letras al revés.
PM adopta el signo de aserción » ⊦ «del libro de Frege de 1879 Begriffsschrift:
» (I)se puede leer ‘es cierto que ‘»
Así, para afirmar una proposición p PM escribe:
«⊦. p. » (PM 1927:92)
(Observe que, como en el original, el punto izquierdo es cuadrado y de mayor tamaño que el punto de la derecha.)
La mayor parte del resto de la notación en PM fue inventada por Whitehead.
Una introducción a la notación de «Sección A Lógica Matemática» (fórmulas ✸1–formulas 5.71)Editar
Los puntos de PM se usan de una manera similar a los paréntesis. Cada punto (o punto múltiple) representa un paréntesis izquierdo o derecho o el símbolo lógico ∧. Más de un punto indica la «profundidad» de los paréntesis, por ejemplo, «.», «:» o «:.», «::». Sin embargo, la posición del paréntesis derecho o izquierdo correspondiente no se indica explícitamente en la notación, sino que debe deducirse de algunas reglas que son complejas y a veces ambiguas. Además, cuando los puntos representan un símbolo lógico, sus operandos izquierdo y derecho deben deducirse usando reglas similares. Primero hay que decidir en función del contexto si los puntos representan un paréntesis izquierdo o derecho o un símbolo lógico. Entonces uno tiene que decidir qué tan lejos está el otro paréntesis correspondiente: aquí uno continúa hasta que se encuentra con un número mayor de puntos, o el mismo número de puntos que tienen una «fuerza» igual o mayor, o el final de la línea. Los puntos al lado de los signos⊃, D,=, = Df tienen mayor fuerza que los puntos al lado de (x), (x x) y así sucesivamente, que tienen mayor fuerza que los puntos que indican un producto lógico ∧.
Ejemplo 1. La línea
✸3.4. ⊢ : p. q. ⊃ . p ⊃ q
corresponde a la
⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).
Los dos puntos que se encuentran juntos inmediatamente después del signo de afirmación indican que lo que se afirma es la línea completa: dado que hay dos de ellos, su alcance es mayor que el de cualquiera de los puntos individuales a su derecha. Se reemplazan por un paréntesis izquierdo en el lugar donde están los puntos y un paréntesis derecho al final de la fórmula, así:
⊢ (p. q. ⊃ . p q q).
(En la práctica, estos paréntesis más externos, que encierran una fórmula completa, generalmente se suprimen.) El primero de los puntos individuales, situado entre dos variables proposicionales, representa conjunción. Pertenece al tercer grupo y tiene el alcance más estrecho. Aquí se sustituye por el símbolo moderno de conjunción»∧», por lo tanto
⊢ (p q q . ⊃ . p q q).
Los dos puntos individuales restantes seleccionan el conectivo principal de toda la fórmula. Ilustran la utilidad de la notación de puntos para seleccionar aquellos conectivos que son relativamente más importantes que los que los rodean. El que está a la izquierda del «⊃» se reemplaza por un par de paréntesis, el de la derecha va donde está el punto y el de la izquierda va lo más lejos posible a la izquierda sin cruzar un grupo de puntos de mayor fuerza, en este caso los dos puntos que siguen al signo de afirmación, por lo tanto
⊢ ((p q q) ⊃ . p q q)
El punto a la derecha del «⊃» se reemplaza por un paréntesis izquierdo que va donde está el punto y un paréntesis derecho que va lo más lejos posible a la derecha sin ir más allá del alcance ya establecido por un grupo de puntos de mayor fuerza (en este caso los dos puntos que siguieron al signo de afirmación). Por lo tanto, el paréntesis derecho que reemplaza el punto a la derecha del «⊃» se coloca delante del paréntesis derecho que reemplazó los dos puntos que siguen al signo de afirmación, por lo tanto
⊢ ((p q q). (p q q)).
Ejemplo 2, con puntos dobles, triples y cuádruples:
✸9,521. ⊢ :: (x x). φx . ⊃ . p : ⊃ : . (x dólares). φx . v. r:⊃ . q v r
es
((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))
en el Ejemplo 3, con un doble punto, indicando una lógica símbolo (desde el volumen 1, página 10):
p⊃q:q⊃r.⊃.p⊃r
es
(p⊃q) ∧ ((q⊃r)⊃(p⊃r))
donde el doble punto representa la lógica símbolo ∧ y puede ser considerada como la de mayor prioridad, como un no-lógico de punto único.
Más adelante en la sección 1 14, aparecen los corchetes»», y en las secciones 2 20 y siguientes, aparecen las llaves» {}». No está claro si estos símbolos tienen significados específicos o son solo para clarificación visual. Desafortunadamente, el punto único (pero también «:»,»:.», «::», sucesivamente.) también se usa para simbolizar «producto lógico» (lógico contemporáneo y a menudo simbolizado por «& «o»∧»).
La implicación lógica está representada por el «Pe» de Peano simplificado a»⊃», la negación lógica está simbolizada por una tilde alargada, es decir, » ~ «(contemporáneo » ~ «o»»), la lógica OR por»v». El símbolo «=» junto con » Df «se usa para indicar» se define como», mientras que en las secciones 1 13 y siguientes, » = «se define como (matemáticamente)» idéntico a», es decir, la» igualdad » matemática contemporánea (cf. discusión en la sección 1 13). La equivalencia lógica se representa por «contemporary» (contemporáneo «si y solo si»); las funciones proposicionales» elementales «se escriben de la manera habitual, por ejemplo,» f(p)», pero más tarde el signo de función aparece directamente antes de la variable sin paréntesis, por ejemplo,» φx»,» xx», etc.
Ejemplo, PM introduce la definición de «producto lógico» de la siguiente manera:
✸3,01. p. q.=. ~(~p v ~ q) Df.donde «p . q» es el producto lógico de p y q. ✸3.02. p q q r r .=. p q q. q r r Df.Esta definición sirve simplemente para abreviar las pruebas.
Traducción de las fórmulas a símbolos contemporáneos: Varios autores usan símbolos alternativos, por lo que no se puede dar una traducción definitiva. Sin embargo, debido a críticas como la de Kurt Gödel a continuación, los mejores tratamientos contemporáneos serán muy precisos con respecto a las «reglas de formación» (la sintaxis) de las fórmulas.
La primera fórmula podría convertirse en simbolismo moderno de la siguiente manera:
(p & p) =df (~(~p v ~q))
alternativamente
(p & q) =(df(p v q))
alternativamente
(p ∧ q) =(df(p v q))
etc.
La segunda fórmula puede convertirse de la siguiente manera:
(p → q → r) =df (p → q) & (q → r)
Pero tenga en cuenta que esto no es (lógicamente) equivalente a (p → (q → r)) ni a ((p → q) → r), y estos dos tampoco son lógicamente equivalentes.
Una introducción a la notación de «Teoría de la Sección B de Variables Aparentes» (fórmulas ✸8–formulas 14.34) Editar
Estas secciones se refieren a lo que ahora se conoce como lógica de predicados, y lógica de predicados con identidad (igualdad).
- NB: Como resultado de críticas y avances, la segunda edición de PM (1927) reemplaza 9 9 por un nuevo ✸8 (Apéndice A). Esta nueva sección elimina la distinción de la primera edición entre variables reales y aparentes, y elimina «la idea primitiva ‘afirmación de una función proposicional’. Para aumentar la complejidad del tratamiento, ✸8 introduce la noción de sustituir una «matriz» y el accidente cerebrovascular de Sheffer: Matriz
- : En el uso contemporáneo, la matriz de PM es (al menos para funciones proposicionales), una tabla de verdad, es decir, todos los valores de verdad de una función proposicional o predicada.
- Trazo de Sheffer: Es la NAND lógica contemporánea (NO-Y), es decir, «incompatibilidad», que significa:
«Dadas dos proposiciones p y q, entonces’ p | q ‘ significa «la proposición p es incompatible con la proposición q», es decir, si ambas proposiciones p y q se evalúan como verdaderas, entonces y solo entonces p | q se evalúa como falsa.»Después de la sección 8 8, el trazo de Sheffer no se usa.
Sección 1 10: Los»operadores» existenciales y universales: PM agrega » (x) «para representar el simbolismo contemporáneo «para todas las x», es decir,» x x», y usa una E serifiada hacia atrás para representar» existe una x», es decir,» (ƎX)», es decir, la contemporánea»x x». La notación típica sería similar a la siguiente:
«(x). φx» significa «para todos los valores de la variable x, la función φ evalúa a true «» (ƎX) . φx» significa «para algún valor de la variable x, la función φ evalúa como verdadero»
Secciones Sections 10 ,Properties 11, Properties 12: Propiedades de una variable extendidas a todos los individuos: la sección section 10 introduce la noción de «una propiedad» de una «variable». PM da el ejemplo: φ es una función que indica «es un griego», y ψ indica» es un hombre», y χ indica» es un mortal » estas funciones se aplican a una variable x. PM ahora puede escribir y evaluar:
(x) . ψx
La notación anterior significa «para todo x, x es un hombre». Dada una colección de individuos, uno puede evaluar la fórmula anterior para la verdad o la falsedad. Por ejemplo, dada la colección restringida de individuos { Sócrates, Platón, Russell, Zeus } lo anterior se evalúa como «verdadero» si permitimos que Zeus sea un hombre. Pero falla para:
(x). φx
porque Russell no es griego. Y falla para
(x). xx
porque Zeus no es un mortal.
Equipado con esta notación, PM puede crear fórmulas para expresar lo siguiente: «Si todos los griegos son hombres y si todos los hombres son mortales, entonces todos los griegos son mortales». (PM 1962: 138)
(x). φx ψ ψx: (x). ψx xx xx: xx: (x). φx xx xx
Otro ejemplo: la fórmula:
✸10.01. (Erex). φx . = . ~(x). – φx Df.
significa «Los símbolos que representan la aserción’ Existe al menos una x que satisface la función φ’ se definen por los símbolos que representan la aserción ‘No es cierto que, dados todos los valores de x, no hay valores de x que satisfagan φ'».
Los simbolismos x x y «x x» aparecen en ✸10.02 y ✸10.03. Ambas son abreviaturas para universalidad (es decir, para todos) que unen la variable x al operador lógico. La notación contemporánea simplemente habría usado paréntesis fuera del signo de igualdad ( » = » ):
φ 10.02 φx x x ψx .=. x). φx ψ ψx DF notación contemporánea: ∀x(φ (x) → ψ (x)) (o una variante) φ 10.03 φx ψ x ψx .=. x). φx notation ψx DF Notación contemporánea: (φ(x) ↔ ψ(x)) (o una variante)
PM atribuye el primer simbolismo a Peano.
La sección 1 11 aplica este simbolismo a dos variables. Por lo tanto, las siguientes notaciones: ⊃x, y y, x x, y podrían aparecer todas en una sola fórmula.
La sección 1 12 reintroduce la noción de «matriz» (tabla de verdad contemporánea), la noción de tipos lógicos, y en particular las nociones de funciones y proposiciones de primer y segundo orden.
Nuevo simbolismo «φ ! x » representa cualquier valor de una función de primer orden. Si se coloca un circunflejo «»sobre una variable, entonces este es un valor» individual «de y, lo que significa que» ŷ «indica» individuos » (por ejemplo, una fila en una tabla de verdad); esta distinción es necesaria debido a la naturaleza matricial/extensional de las funciones proposicionales.
Ahora equipado con la noción de matriz, PM puede afirmar su controvertido axioma de reducibilidad: una función de una o dos variables (dos son suficientes para el uso de PM) donde se dan todos sus valores (i. e., en su matriz) es (lógicamente) equivalente ( » ≡ «) a alguna función» predicativa » de las mismas variables. La definición de una variable se da a continuación como ilustración de la notación (PM 1962: 166-167):
✸12.1:: (f f): φx .f x. f ! x Pp;
Pp es una «proposición primitiva» («Proposiciones asumidas sin prueba») (PM 1962:12, es decir, «axiomas» contemporáneos), que se suma a las 7 definidas en la sección ✸1 (comenzando con mod 1.1 modus ponens). Estas deben distinguirse de las «ideas primitivas» que incluyen el signo de aserción»⊢», negación»~», lógica O» V», las nociones de» proposición elemental «y» función proposicional elemental»; estas son tan cercanas como PM llega a las reglas de formación notacional, es decir, la sintaxis.
Esto significa: «Afirmamos la verdad de lo siguiente: Existe una función f con la propiedad que: dados todos los valores de x, sus evaluaciones en la función φ (es decir, el resultado de su matriz) es lógicamente equivalente a alguna f evaluada en esos mismos valores de x. (y viceversa, por lo tanto, equivalencia lógica)». En otras palabras: dada una matriz determinada por la propiedad φ aplicada a la variable x, existe una función f que, cuando se aplica a la x, es lógicamente equivalente a la matriz. O: cada matriz φx puede ser representada por una función f aplicada a x, y viceversa.
✸13: El operador de identidad»=»: Esta es una definición que utiliza el signo de dos maneras diferentes, como se indica en la cita de PM:
✸13.01. x = y .=: (φ): φ ! x. ⊃ . φ ! y Df
significa:
«Esta definición establece que x e y deben llamarse idénticas cuando cada función predicativa satisfecha por x también está satisfecha por y … Tenga en cuenta que el segundo signo de igualdad en la definición anterior se combina con «Df», y por lo tanto no es realmente el mismo símbolo que el signo de igualdad que se define.»
El signo no igual » ≠ » hace su aparición como definición en ✸13.02.
✸14: Descripciones:
» Una descripción es una frase de la forma » el término y que satisface φ φ, donde φ is es una función satisfecha por un solo argumento.»
De esta PM emplea dos nuevos símbolos, una «E» hacia adelante y una «ota «invertida. Este es un ejemplo:
✸14.02. E ! (φ y) (φy).= : (ƎB): φy . y y . y = b Df.
Esto tiene el significado:
» La y que satisface φ exists existe», que se aplica cuando, y solo cuando φŷ es satisfecho por un valor de y y por ningún otro valor.»(PM 1967:173-174)
Introducción a la notación de la teoría de clases y relacioneseditar
El texto salta de la sección directly 14 directamente a las secciones fundamentales THEORY 20 TEORÍA GENERAL DE CLASES y THEORY 21 TEORÍA GENERAL DE RELACIONES. Las «relaciones» son lo que se conoce en la teoría de conjuntos contemporánea como conjuntos de pares ordenados. Las secciones 2 20 y 2 22 presentan muchos de los símbolos que aún se usan en la actualidad. Estos incluyen los símbolos «ε», «⊂», «∩», «∪», «–», «Λ», y «V»: «ε» significa «es un elemento de» (PM 1962:188); «⊂» (✸22.01) significa «está contenido en», «es un subconjunto de»; » ∩ «(✸22.02) significa la intersección (producto lógico) de clases (conjuntos); » ∪ «(2 22.03) significa la unión (suma lógica) de clases (conjuntos); » – «(product 22.03) significa negación de una clase (conjunto); » Λ » significa la clase nula; y » V » significa la clase universal o universo del discurso.
Las letras griegas pequeñas (distintas de «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» y «θ») representan clases (por ejemplo, «α», «β», «γ», «δ», etc.) (PM 1962: 188):
x ε α » El uso de una sola letra en lugar de símbolos como ẑ (φz) o! (φ! z) es prácticamente casi indispensable, ya que de lo contrario la notación se vuelve intolerablemente cumbrera. Así, ‘x ε α ‘significará’ x es un miembro de la clase α'». (PM 1962:188) αThe –α = vla unión de un conjunto y su inverso es el conjunto universal (completado). αThe-α = λ La intersección de un conjunto y su inversa es el conjunto nulo (vacío).
Cuando se aplica a las relaciones en la sección CALC 23 CÁLCULO DE RELACIONES, los símbolos «⊂», «∩», «∪», y » – » adquiere un punto: por ejemplo:»⊍»,».».
La noción y notación de » una clase «(conjunto): En la primera edición, PM afirma que no son necesarias nuevas ideas primitivas para definir lo que se entiende por» una clase», y solo dos nuevas» proposiciones primitivas » llamadas axiomas de reducibilidad para clases y relaciones respectivamente (PM 1962:25). Pero antes de que se pueda definir esta noción, PM siente que es necesario crear una notación peculiar «φ(φz)» que llama un «objeto ficticio». (PM 1962: 188)
⊢: x ε ε (φz).≡. (φx) «es decir,’ x es un miembro de la clase determinada por (φ))’ es equivalente a ‘ x satisface (φ φ),’ o a ‘(φx) es verdadero.'». (PM 1962:25)
Al menos PM puede decirle al lector cómo se comportan estos objetos ficticios, porque «Una clase es totalmente determinada cuando se conoce su membresía, es decir, no puede haber dos clases diferentes que tengan la misma membresía» (PM 1962:26). Esto está simbolizado por la siguiente igualdad (similar a ✸13.01 anterior:
ẑ (φz) = ψ (ψz) . ≡ : (x): φx .≡. ψx » Esta última es la característica distintiva de las clases, y nos justifica al tratar ẑ (ψz) como la clase determinada por ψẑ.»(PM 1962:188)
Quizás lo anterior se puede hacer más claro por la discusión de las clases en la Introducción a la Segunda Edición, que dispone del Axioma de Reducibilidad y lo reemplaza con la noción:» Todas las funciones de las funciones son extensionales » (PM 1962:xxxix), es decir,
φx x x ψx .⊃. (x): ƒ (φ φ) ƒ ƒ (ψ ψ) (PM 1962:xxxix)
Esto tiene el significado razonable de que » SI para todos los valores de x los valores de verdad de las funciones φ y ψ de x son equivalentes, ENTONCES la función ƒ de un φ given dado y ƒ de ψ are son equivalentes.»PM afirma que esto es «obvio»:
» Esto es obvio, ya que φ solo puede ocurrir en ƒ (φẑ) mediante la sustitución de valores de φ por p, q, r, … en una función, y, si φx ψ ψx, la sustitución de φx por p en una función da el mismo valor de verdad a la función de verdad que la sustitución de ψx. En consecuencia, ya no hay razón para distinguir entre clases de funciones, porque tenemos, en virtud de lo anterior, φx x x ψx .⊃. x). φ φ = . ψ ψ».
Observe el cambio en el signo de igualdad » = » a la derecha. PM continúa diciendo que continuará aferrándose a la notación » φ (φz)», pero esto es simplemente equivalente a φẑ, y esta es una clase. (todas las citas: PM 1962: xxxix).