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Quasi ogni teorema in matematica assume la forma” if, then “(il condizionale) o” iff ” (abbreviazione di se e solo se – il bicondizionale). Pertanto, è molto importante capire il significato di queste affermazioni. In questa guida, vedremo la tabella della verità per ciascuno e perché viene fuori il modo in cui lo fa.

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analizzare le tabelle di verità, ricordare che l’idea è di mostrare il valore di verità per l’istruzione, dato ogni possibile combinazione di valori di verità di p e q. Pertanto, l’ordine delle righe non importa – le sue righe stessi che devono essere corretti. Per ogni tabella di verità qui sotto, abbiamo due proposizioni: p e q. Possono essere entrambe vere (prima riga), entrambe false (ultima riga) o avere una vera e l’altra falsa (due righe centrali). Scrivere questo è il primo passo di qualsiasi tabella di verità.

Il condizionale – “p implica q” o “se p, allora q”

L’istruzione condizionale sta dicendo che se p è vero, allora q seguirà immediatamente e quindi sarà vero. Quindi, la prima riga segue naturalmente questa definizione. Allo stesso modo, la seconda riga segue questo perché diciamo “p implica q”, e quindi p è vero ma q è falso, quindi l’istruzione “p implica q” deve essere falsa, poiché q non ha seguito immediatamente p.

Le ultime due righe sono quelle difficili a cui pensare. Quindi diamo un’occhiata a loro individualmente.

• Riga 3: p è falso, q è vero.
  Pensa alla seguente affermazione. Se c’è il sole, indosso gli occhiali da sole. Se p è falso, e q è vero, allora questo sta dicendo che non è soleggiato, ma ho indossato i miei occhiali da sole comunque. Questo certamente non invalida la mia dichiarazione originale come potrei proprio come i miei occhiali da sole. Quindi se p è falso, ma q è vero, è ragionevole pensare che “p implica q” sia ancora vero.
• Riga 4: p è falso, q è falso.
  Usando l’esempio sugli occhiali da sole sopra, questo sarebbe equivalente a non essere soleggiato e non indossare i miei occhiali da sole. Ancora una volta, questo non invaliderebbe la mia affermazione che “se c’è il sole, indosso i miei occhiali da sole”. Pertanto, se p è falso e q è vero, “p implica q” è ancora vero.

Continuando con l’esempio degli occhiali da sole solo un po ‘ di più, l’unica volta che metteresti in discussione la validità della mia affermazione è se mi vedessi in una giornata di sole senza i miei occhiali da sole (p vero, q falso). Quindi, puoi semplicemente ricordare che l’istruzione condizionale è vera in tutti tranne un caso: quando la parte anteriore (prima affermazione) è vera, ma la parte posteriore (seconda affermazione) è falsa.

Le istruzioni biconditional – “p iff q” o “p if e only if q”

If e only if, che la matematica alla gente piace abbreviare con “iff”, sono molto potenti in quanto stanno essenzialmente dicendo che p e q sono istruzioni intercambiabili. Quando uno è vero, sai automaticamente che anche l’altro è vero. Inoltre, quando uno è falso, anche l’altro deve essere falso. Questo si riflette nella tabella della verità. Ogni volta che le due affermazioni hanno lo stesso valore di verità, il bicondizionale è vero. Altrimenti, è falso.

Il biconditional usa una doppia freccia perché sta davvero dicendo “p implica q” e anche “q implica p”. Simbolicamente, è equivalente a:

\(\left(p \Rightarrow q\right) \wedge \left(q \Rightarrow p\right)\)

Questo modulo può essere utile quando si scrivono prove o quando si mostrano equivalenze logiche.

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Sommario

Per aiutare a ricordare le tabelle di verità di queste affermazioni, si può pensare al seguente:

• Il condizionale, p implica q, è falsa solo quando il fronte è vero, ma è falso. Altrimenti è vero.
• Il bicondizionale, p iff q, è vero ogni volta che le due istruzioni hanno lo stesso valore di verità. Altrimenti è falso.

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