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数学のほぼすべての定理は、”if,then”（条件付き）または”iff”（ifとifのみの略–両conditional）の形式を取ります。 したがって、これらの声明の意味を理解することは非常に重要です。 このガイドでは、それぞれの真理値表と、なぜそれがそうであるように出てくるのかを見ていきます。

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真理値表を分析するとき、pとqの真理値のすべての可能な組み合わせを考えると、文の真理値を正しくなければなりません。 それらは、両方とも真（最初の行）、両方とも偽（最後の行）、または一方が真で他方が偽（中央の2行）であることができます。 これを書き出すことは、真理値表の最初のステップです。

条件文は、pが真であれば、qはすぐに続くので、真であることを言っています。

条件文は、pが真であれば、qはすぐに続くので、真であることを言っています。 したがって、最初の行は自然にこの定義に従います。 同様に、2番目の行は、”pはqを意味する”と言い、pは真であるがqは偽であるため、”pはqを意味する”という文は偽でなければならないため、qはpの直後には続かなかった。

最後の2行は考えるのが難しい行です。 それでは、それらを個別に見てみましょう。行3：pはfalse、qはtrueです。
次の文を考えてみてください。 晴れていれば、サングラスをかけています。 Pが偽で、qが真であれば、これは晴れていないと言っていますが、とにかくサングラスをかけました。 これは確かに私がちょうど私のサングラスを好むかもしれないので私の元の声明を無効にしない。 したがって、pが偽であるがqが真である場合、”pはqを意味する”と考えるのは合理的です。

行4：pは偽であり、qは偽です。
上記のサングラスについての例を使用すると、これは晴れていないと私は私のサングラスを着用していないことに相当します。 再び、これは”晴れていれば、私はサングラスを着用する”という私の声明を無効にすることはありません。 したがって、pが偽でqが真であれば、”pはqを意味する”は依然として真である。

サングラスの例をもう少し続けて、私の声明の妥当性に疑問を呈する唯一の時間は、私のサングラスなしで晴れた日に私を見た場合です（p true、q false）。 したがって、条件文は1つのケースを除くすべてで真であることを単に覚えておくことができます: 前面（最初の文）が真であるが、背面（2番目の文）が偽である場合。

biconditional–”p iff q”または”p if and only if q”

if and only if文は、数学の人々が”iff”と省略したい場合、pとqは交換可能な文であると本質的に言っているので、非常に強力です。 一方が真である場合、もう一方も真であることが自動的にわかります。 また、一方が偽の場合、もう一方も偽でなければなりません。 これは真理値表に反映されます。 二つの文が同じ真理値を持つときはいつでも、両conditionalは真です。 それ以外の場合はfalseです。それは本当に”pはqを意味する”とも”qはpを意味する”と言っているので、biconditionalは二重矢印を使用しています。

記号的には、次のようになります。

\(\left(p\Rightarrow q\right)\wedge\left(q\Rightarrow p\right)\)

この形式は、証明を書くときや論理的な等価性を示すときに役立ちます。

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概要

これらのステートメントの真理値表を覚えておくのに役立つように、次のことを考えることができます。

• 条件付き、pはqを意味し、真であるが、裏は偽である。 それ以外の場合はtrueです。
• 2つの文が同じ真理値を持つときはいつでも、両条件p iff qは真です。 それ以外の場合はfalseです。

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