MathBootCamps

prawie każde twierdzenie w matematyce przybiera formę „if, then” (warunkowy) lub „iff” (skrót od if I only if – dwubiegunowy). Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie znaczenia tych stwierdzeń. W tym przewodniku przyjrzymy się tabeli prawdy dla każdego i dlaczego wychodzi tak, jak robi.

Reklama

analizując tabele prawdy, pamiętaj, że chodzi o to, aby pokazać wartość prawdy dla stwierdzenia, biorąc pod uwagę każdą możliwą kombinację wartości prawdy dla p I q. dlatego kolejność wierszy nie jest materia – to same rzędy, które muszą być poprawne. Dla każdej poniższej tabeli prawdy mamy dwie propozycje: p I q. mogą one albo być prawdziwe (pierwszy wiersz), albo fałszywe (ostatni wiersz), albo mieć jedną prawdę i drugą false (dwa środkowe wiersze). Wypisanie tego jest pierwszym krokiem każdej tabeli prawdy.

warunkowe – „P implikuje q” lub „if P, then q”

Instrukcja warunkowa mówi, że jeśli p jest prawdą, to q natychmiast nastąpi i tym samym będzie prawdą. Tak więc, pierwszy wiersz naturalnie wynika z tej definicji. Podobnie, drugi wiersz podąża za tym, ponieważ mówimy „P implikuje q”, a następnie p jest prawdziwe, ale Q jest fałszywe, wtedy stwierdzenie” P implikuje q ” musi być fałszywe, ponieważ q nie bezpośrednio po p.

dwa ostatnie rzędy są trudne do przemyślenia. Spójrzmy na nie indywidualnie.

• wiersz 3: P to fałsz, q to prawda.
  pomyśl o następującym stwierdzeniu. Jeśli jest słonecznie, noszę okulary przeciwsłoneczne. Jeśli p jest fałszywe, a q jest prawdziwe, to znaczy, że nie jest słonecznie, ale i tak nosiłem okulary przeciwsłoneczne. To z pewnością nie unieważnia mojego oryginalnego Oświadczenia, ponieważ mogę po prostu polubić moje okulary przeciwsłoneczne. Więc jeśli p jest fałszywe, ale q jest prawdziwe, rozsądne jest myślenie, że „p implikuje q” jest nadal prawdziwe.
• wiersz 4: P to false, q to false.
  korzystając z powyższego przykładu o okularach przeciwsłonecznych, byłoby to równoznaczne z tym, że nie jestem słoneczny i nie noszę okularów przeciwsłonecznych. Ponownie, nie unieważniłoby to mojego oświadczenia, że „jeśli jest słonecznie, noszę okulary przeciwsłoneczne”. Dlatego, jeśli p jest fałszywe, a q jest prawdziwe ,” P implikuje q ” jest nadal prawdziwe.

kontynuując przykład okularów przeciwsłonecznych jeszcze trochę, jedynym czasem, w którym kwestionowałbyś Ważność mojego oświadczenia, jest to, że widziałeś mnie w słoneczny dzień bez moich okularów przeciwsłonecznych (P true, Q false). Dlatego możesz po prostu pamiętać, że instrukcja warunkowa jest prawdziwa we wszystkich przypadkach oprócz jednego: gdy przednia (pierwsza instrukcja) jest prawdziwa, ale tylna (druga instrukcja) jest fałszywa.

dwubiegunowe – „p iff q” lub „P wtedy i tylko wtedy, gdy q”

stwierdzenia, które matematycy lubią skracać do „iff”, są bardzo potężne, ponieważ zasadniczo mówią, że p i q są wymiennymi stwierdzeniami. Gdy jedno jest prawdziwe, automatycznie wiesz, że drugie jest prawdziwe. Ponadto, gdy jeden jest fałszywy, drugi również musi być fałszywy. Znajduje to odzwierciedlenie w tabeli prawdy. Ilekroć te dwa stwierdzenia mają tę samą wartość prawdy, dwudzielność jest prawdziwa. W przeciwnym razie jest to fałsz.

dwudzielny używa podwójnej strzałki, ponieważ tak naprawdę mówi „P implikuje q”, a także”q implikuje p”. Symbolicznie jest to równoważne:

\(\left (p \Rightarrow q\right) \ wedge \ left (q \Rightarrow p\right)\)

ta forma może być przydatna podczas pisania dowodu lub pokazywania równoważności logicznych.

Reklama

podsumowanie

aby pomóc Ci zapamiętać tabele prawdy dla tych stwierdzeń, możesz pomyśleć o następujących rzeczach:

• warunkowe, p oznacza q, jest fałszywa tylko wtedy, gdy przód jest prawdziwy, ale tył jest fałszywy. W przeciwnym razie to prawda.
• dwubiegunowy, p iff q, jest prawdziwy, gdy dwa stwierdzenia mają tę samą wartość prawdy. W przeciwnym razie jest to fałsz.

kontynuuj przeglądanie tematów z matematyki dyskretnej

poprzednie: Tabele prawdy dla „nie”, „i”, „lub” (negacja, koniunkcja, dysjunkcja)

następne: analiza wniosków złożonych za pomocą tabel prawdy