MathBootCamps

nästan varje sats i matematik tar formen” om, då ”(det villkorliga) eller” iff ” (kort för om och endast om – det biconditionella). Därför är det mycket viktigt att förstå betydelsen av dessa uttalanden. I den här guiden kommer vi att titta på sanningstabellen för var och en och varför den kommer ut som den gör.

annons

När vi analyserar sanningstabellerna, kom ihåg att tanken är att visa sanningsvärdet för uttalandet, med tanke på alla möjliga kombinationer av sanningsvärden för p och q. därför är ordningen på raderna inte nödvändig för att matter – det är raderna själva som måste vara korrekta. För varje sanningstabell nedan har vi två propositioner: p och q. de kan antingen båda vara sanna (första raden), båda vara falska (sista raden) eller ha en sann och den andra falsk (mitten två rader). Att skriva ut detta är det första steget i varje sanningstabell.

det villkorliga-” p innebär q ”eller”om p, då q”

det villkorliga uttalandet säger att om p är sant, kommer q omedelbart att följa och därmed vara sant. Så följer den första raden naturligtvis denna definition. På samma sätt följer den andra raden detta eftersom vi säger ”p innebär q”, och då är p sant men q är falskt, då uttalandet ”p innebär q” måste vara falskt, eftersom q inte omedelbart följde p.

de två sista raderna är de tuffa att tänka på. Så låt oss titta på dem individuellt.

• rad 3: p är falskt, q är sant.
  Tänk på följande uttalande. Om det är soligt, Jag bär mina solglasögon. Om p är falskt, och q är sant, Så säger det att det inte är soligt, men jag bar mina solglasögon ändå. Detta upphäver verkligen inte mitt ursprungliga uttalande eftersom jag kanske bara gillar mina solglasögon. Så om p är falskt, men q är sant, är det rimligt att tro att ”p innebär q” fortfarande är sant.
• rad 4: p är falskt, q är falskt.
  med hjälp av exemplet om solglasögon ovan skulle det motsvara att det inte är soligt och att jag inte bär mina solglasögon. Återigen skulle detta inte ogiltigförklara mitt uttalande att”om det är soligt, bär jag mina solglasögon”. Därför, om p är falskt och q är sant, ”p innebär q” är fortfarande sant.

fortsätter med solglasögonexemplet bara lite mer, den enda gången du skulle ifrågasätta giltigheten av mitt uttalande är om du såg mig på en solig dag utan mina solglasögon (p true, q false). Därför kan du helt enkelt komma ihåg att det villkorliga uttalandet är sant i alla utom ett fall: när framsidan (första uttalandet) är sant, men baksidan (andra uttalandet) är falskt.

biconditional – ” p IFF q ”eller”p if and only if q”

om och endast om uttalanden, som matte människor gillar att stenografi med” iff”, är mycket kraftfulla eftersom de i huvudsak säger att p och q är utbytbara uttalanden. När det ena är sant vet du automatiskt att det andra också är sant. När den ena är falsk måste den andra också vara falsk. Detta återspeglas i sanningstabellen. När de två uttalandena har samma sanningsvärde är biconditional sant. Annars är det falskt.

den biconditional använder en dubbel pil eftersom det verkligen säger ” p innebär q ”och även”q innebär p”. Symboliskt motsvarar det:

\(\left(p \Rightarrow q\right) \wedge \left(q \Rightarrow p\right)\)

denna form kan vara användbar när du skriver bevis eller när du visar logiska ekvivalenser.

annons

sammanfattning

för att hjälpa dig att komma ihåg sanningstabellerna för dessa uttalanden kan du tänka på följande:

• den villkorliga, p innebär q, är falskt endast när framsidan är sant men baksidan är falsk. Annars är det sant.
• biconditional, p IFF q, är sant när de två uttalandena har samma sanningsvärde. Annars är det falskt.

fortsätt granska diskreta matematiska ämnen

föregående: Sanningstabeller för ”inte”, ”och”, ”eller” (negation, conjunction, disjunction)

nästa: analysera sammansatta propositioner med sanningstabeller