MathBootCamps

næsten hver sætning i matematik antager formen “hvis, derefter” (den betingede) eller “iff” (forkortelse for hvis og kun hvis – den biconditionale). Derfor er det meget vigtigt at forstå betydningen af disse udsagn. I denne vejledning vil vi se på sandhedstabellen for hver og hvorfor den kommer ud som den gør.

annonce

Når vi analyserer sandhedstabellerne, skal du huske, at ideen er at vise sandhedstabellerne for udsagnet, givet enhver mulig kombination af sandhedsværdier for p og K. derfor er rækkefølgen af rækkerne ikke den eneste måde, hvorpå vi matter – det er rækkerne selv, der skal være korrekte. De kan enten begge være sande (første række), begge være falske (sidste række) eller have den ene sande og den anden falske (midterste to rækker). At skrive dette ud er det første trin i enhver sandhedstabel.

den betingede – “p indebærer spørgsmål” eller “hvis p, så spørgsmål”

den betingede erklæring siger, at hvis p er sandt, så vil spørgsmål straks følge og således være sandt. Så den første række følger naturligvis denne definition. Tilsvarende følger den anden række dette, fordi vi siger “p indebærer k”, og så er p sandt, men K er falsk, så skal udsagnet “p indebærer K” være falsk, da k ikke umiddelbart fulgte s.

de sidste to rækker er de hårde at tænke på. Så lad os se på dem individuelt.

• række 3: p er falsk, S er sandt.
  tænk på følgende udsagn. Hvis det er solrigt, bærer jeg mine solbriller. Hvis p er falsk, og S er sandt, så siger det, at det ikke er solrigt, men jeg havde alligevel mine solbriller på. Dette ugyldiggør bestemt ikke min oprindelige erklæring, da jeg måske bare kan lide mine solbriller. Så hvis p er falsk, men s er sandt, er det rimeligt at tro, at “p antyder, at s” stadig er sandt.
• række 4: p er falsk, S er falsk.
  ved hjælp af eksemplet om solbriller ovenfor ville det svare til, at det ikke er solrigt og jeg ikke bærer mine solbriller. Igen ville dette ikke ugyldiggøre min erklæring om, at”hvis det er solrigt, bærer jeg mine solbriller”. Derfor, hvis p er falsk, og S er sandt, “P betyder S” er stadig sandt.

fortsætter med solbrilleeksemplet bare lidt mere, den eneste gang du vil stille spørgsmålstegn ved gyldigheden af min erklæring er, hvis du så mig på en solskinsdag uden mine solbriller (p sandt, falsk). Derfor kan du simpelthen huske, at den betingede erklæring er sand i alle undtagen et tilfælde: når fronten (første sætning) er sand, men bagsiden (anden sætning) er falsk.

biconditional-” p iff “eller”p Hvis og kun hvis”

Hvis og kun hvis udsagn, som matematikfolk kan lide at stenografi med” iff”, er meget magtfulde, da de i det væsentlige siger, at p og K er udskiftelige udsagn. Når den ene er sand, ved du automatisk, at den anden også er sand. Når den ene er falsk, skal den anden også være falsk. Dette afspejles i sandhedstabellen. Når de to udsagn har den samme sandhedsværdi, er biconditional sandt. Ellers er det falsk.

biconditional bruger en dobbelt pil, fordi det virkelig siger “p indebærer k” og også “K indebærer p”. Symbolsk svarer det til:

\(\venstre(P \højre pil\højre) \kile \venstre(k \højre pil\højre)\)

denne formular kan være nyttig, når du skriver bevis eller når du viser logiske ækvivalenser.

annonce

sammendrag

for at hjælpe dig med at huske sandhedstabellerne for disse udsagn kan du tænke på følgende:

• den betingede, p indebærer, at du spørgsmål, er kun falsk, når fronten er sand, men bagsiden er falsk. Ellers er det sandt.
• den biconditional, p iff, er sandt, når de to udsagn har den samme sandhedsværdi. Ellers er det falsk.

fortsæt med at gennemgå diskrete matematiske emner

forrige: Sandhedstabeller for “ikke”, “og”, “eller” (negation, konjunktion, disjunction)

næste: analyse af sammensatte propositioner med sandhedstabeller