Fast jeder Satz in der Mathematik nimmt die Form „wenn, dann“ (die Bedingung) oder „iff“ (kurz für wenn und nur wenn – die bikonditionelle) an. Daher ist es sehr wichtig, die Bedeutung dieser Aussagen zu verstehen. In diesem Handbuch werden wir uns die Wahrheitstabelle für jeden einzelnen ansehen und warum er so herauskommt, wie er es tut.
Wenn wir die Wahrheitstabellen analysieren, denken Sie daran, dass die Idee darin besteht, den Wahrheitswert für die Anweisung anzuzeigen, da jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten für p und q . Daher spielt die Reihenfolge der Zeilen keine Rolle – es sind die Zeilen selbst, die muss korrekt sein. Für jede Wahrheitstabelle unten haben wir zwei Sätze: p und q . Sie können entweder beide wahr sein (erste Zeile), beide falsch sein (letzte Zeile) oder eine wahr und die andere falsch haben (mittlere zwei Zeilen). Dies aufzuschreiben ist der erste Schritt einer Wahrheitstabelle.
Die Bedingung – „p impliziert q“ oder „wenn p, dann q“
Die bedingte Anweisung besagt, dass, wenn p wahr ist, q sofort folgt und somit wahr ist. Die erste Zeile folgt also natürlich dieser Definition. In ähnlicher Weise folgt die zweite Zeile darauf, denn wenn wir sagen „p impliziert q“, und dann ist p wahr, aber q ist falsch, dann muss die Aussage „p impliziert q“ falsch sein, da q nicht sofort auf p folgte.
Die letzten beiden Zeilen sind die schwierigsten. Schauen wir sie uns also einzeln an.
- Zeile 3: p ist falsch, q ist wahr.
Denken Sie an die folgende Aussage. Wenn es sonnig ist, trage ich meine Sonnenbrille. Wenn p falsch und q wahr ist, bedeutet dies, dass es nicht sonnig ist, aber ich trug trotzdem meine Sonnenbrille. Dies macht meine ursprüngliche Aussage sicherlich nicht ungültig, da ich vielleicht nur meine Sonnenbrille mag. Wenn also p falsch ist, aber q wahr ist, ist es vernünftig zu glauben, dass „p impliziert q“ immer noch wahr ist.Zeile 4: p ist falsch, q ist falsch.
Mit dem obigen Beispiel über Sonnenbrillen wäre dies gleichbedeutend damit, dass es nicht sonnig ist und ich meine Sonnenbrille nicht trage. Auch dies würde meine Aussage, dass „Wenn es sonnig ist, ich meine Sonnenbrille trage“, nicht ungültig machen. Wenn also p falsch und q wahr ist, ist „p impliziert q“ immer noch wahr.
Wenn Sie mit dem Beispiel der Sonnenbrille noch ein wenig fortfahren, würden Sie die Gültigkeit meiner Aussage nur in Frage stellen, wenn Sie mich an einem sonnigen Tag ohne meine Sonnenbrille sehen würden (p wahr, q falsch). Daher können Sie sich einfach daran erinnern, dass die bedingte Anweisung in allen außer einem Fall wahr ist: wenn die Front (erste Aussage) wahr ist, aber die Rückseite (zweite Aussage) falsch ist.
Die biconditional – „p iff q“ oder „p if and only if q“
If and only if-Anweisungen, die Mathematiker gerne mit „iff“ abkürzen, sind sehr mächtig, da sie im Wesentlichen sagen, dass p und q austauschbare Anweisungen sind. Wenn eines wahr ist, wissen Sie automatisch, dass auch das andere wahr ist. Wenn einer falsch ist, muss auch der andere falsch sein. Dies spiegelt sich in der Wahrheitstabelle wider. Immer wenn die beiden Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben, ist die bikonditionelle wahr. Andernfalls ist es falsch.
Das Biconditional verwendet einen Doppelpfeil, weil es wirklich „p impliziert q“ und auch „q impliziert p“ sagt. Symbolisch ist es äquivalent zu:
\(\left(p \Rightarrow q\right) \(\left(q \Rightarrow p\right)\)
Diese Form kann beim Schreiben von Beweisen oder beim Anzeigen logischer Äquivalenzen nützlich sein.
Zusammenfassung
Um Ihnen zu helfen, sich an die Wahrheitstabellen für diese Aussagen zu erinnern, können Sie sich Folgendes vorstellen:
- Die Bedingung, p impliziert q, ist nur dann falsch, wenn ist wahr, aber die Rückseite ist falsch. Ansonsten ist es wahr.
- Die bikonditionelle, p iff q, ist immer dann wahr, wenn die beiden Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben. Ansonsten ist es falsch.
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