MathBootCamps

zowat elke stelling in de wiskunde krijgt de vorm “if, then” (the conditional) of “iff” (kort voor if and only if-the biconditional). Daarom is het erg belangrijk om de Betekenis van deze uitspraken te begrijpen. In deze gids, zullen we kijken naar de waarheidstabel voor elk en waarom het komt uit de manier waarop het doet.

advertentie

bij het analyseren van de waarheidstabellen is het idee om de waarheidswaarde voor het statement te tonen, gegeven elke mogelijke combinatie van waarheidswaarden voor p en q. daarom maakt de volgorde van de rijen niet uit – het zijn de rijen zelf die moet juist zijn. Voor elke waarheidstabel hieronder hebben we twee stellingen: p en q. ze kunnen beide waar zijn (eerste rij), beide onwaar zijn (laatste rij), of één waar en de andere onwaar hebben (middelste twee rijen). Dit opschrijven is de eerste stap van elke waarheidstafel.

de voorwaardelijke – “p impliceert q” Of “if p, then q”

de voorwaardelijke verklaring zegt dat als p waar is, dan zal q onmiddellijk volgen en dus waar zijn. Dus, de eerste rij volgt natuurlijk deze definitie. Evenzo volgt de tweede rij dit omdat we zeggen “p impliceert q”, en dan is p waar maar q is onwaar, dan moet de uitspraak” p impliceert q ” onwaar zijn, omdat q niet onmiddellijk p volgde.

de laatste twee rijen zijn moeilijk om over na te denken. Laten we ze individueel bekijken.

• rij 3: p is onwaar, q is waar.denk aan het volgende statement. Als het zonnig is, draag ik mijn zonnebril. Als p onwaar is, en q is waar, dan zegt dit dat het niet zonnig is, maar ik droeg mijn zonnebril toch. Dit maakt zeker niet mijn oorspronkelijke verklaring ongeldig, want ik zou net als mijn zonnebril. Dus als p onwaar is, maar q Is Waar, is het redelijk om te denken dat “p impliceert q” nog steeds Waar is.
• rij 4: p is onwaar, q is onwaar.
  gebruikmakend van het voorbeeld over zonnebrillen hierboven, zou dit gelijk zijn aan het niet zonnig zijn en ik niet het dragen van mijn zonnebril. Nogmaals, dit zou mijn verklaring niet ongeldig maken dat “als het zonnig is, Ik draag mijn zonnebril”. Daarom, als p onwaar is en q Waar, “p impliceert q” is nog steeds waar.

doorgaan met het zonnebril voorbeeld nog een beetje meer, de enige keer dat je zou twijfelen aan de geldigheid van mijn verklaring is als je me zag op een zonnige dag zonder mijn zonnebril (p true, q false). Daarom kunt u gewoon onthouden dat de voorwaardelijke verklaring waar is in alle gevallen behalve één geval: wanneer de voorkant (eerste statement) waar is, maar de achterkant (tweede statement) is onwaar.

de biconditional- ” p iff q “of”p if and only if q”

Dan en alleen als statements, die wiskundigen graag willen verkorten met” iff”, zeer krachtig zijn omdat ze in wezen zeggen dat p en q verwisselbare statements zijn. Als de ene waar is, weet je automatisch dat de andere ook Waar is. Als de een vals is, moet de ander ook vals zijn. Dit wordt weerspiegeld in de waarheidstabel. Wanneer de twee verklaringen dezelfde waarheidswaarde hebben, is de tweeconditionaliteit waar. Anders is het vals.

de dubbelzijdige pijl gebruikt een dubbele pijl omdat het eigenlijk zegt ” p impliceert q “en ook”q impliceert p”. Symbolisch is het equivalent aan:

\(\left (p \Rightarrow q \ right) \wedge \left(q\Rightarrow p\right)\)

Dit formulier kan nuttig zijn bij het schrijven van bewijs of bij het tonen van logische equivalenties.

advertentie

samenvatting

om u te helpen de waarheidstabellen voor deze statements te onthouden, kunt u het volgende bedenken:

• De voorwaarde, p impliceert q, is alleen onwaar wanneer de de voorkant is waar, maar de achterkant is vals. Anders is het waar.
• de twee conditionaliteit, p iff q, is waar wanneer de twee statements dezelfde waarheidswaarde hebben. Anders is het vals.

doorgaan met het herzien van afzonderlijke wiskundige onderwerpen

vorige: De waarheid tabellen voor “niet”, “en”, “of” (negatie, conjunctie, disjunctie)

Volgende: Het analyseren van samengestelde proposities met de waarheid tabellen