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casi todos teorema de matemáticas toma la forma «si, entonces» (el condicional) o «iff» (corto para el si y sólo si – el bicondicional). Por lo tanto, es muy importante entender el significado de estas declaraciones. En esta guía, veremos la tabla de la verdad para cada uno y por qué sale de la manera en que lo hace.

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Al analizar las tablas de verdad, recuerde que la idea es mostrar el valor de verdad para la declaración, dada cada combinación posible de valores de verdad para p y q. Por lo tanto, el orden de las filas no la materia – son las propias filas las que deben ser correctas. Para cada tabla de verdades a continuación, tenemos dos proposiciones: p y q. Ambas pueden ser verdaderas (primera fila), ambas falsas (última fila), o tener una verdadera y la otra falsa (dos filas centrales). Escribir esto es el primer paso de cualquier tabla de la verdad.

El condicional – «p implica q» o «si p, entonces q»

La instrucción condicional dice que si p es verdadero, entonces q seguirá inmediatamente y por lo tanto será verdadero. Por lo tanto, la primera fila sigue naturalmente esta definición. De manera similar, la segunda fila sigue esto porque decimos «p implica q», y luego p es verdadero pero q es falso, entonces la declaración «p implica q» debe ser falsa, ya que q no siguió inmediatamente a p.

Las dos últimas filas son las difíciles de pensar. Así que vamos a verlas individualmente.

• Fila 3: p es falso, q es verdadero.Piense en la siguiente declaración. Si hace sol, uso mis gafas de sol. Si p es falsa, y q es verdadera, entonces esto está diciendo que no es soleado, pero de todos modos llevaba mis gafas de sol. Esto ciertamente no invalida mi declaración original, ya que podría gustarme mis gafas de sol. Así que si p es falso, pero q es verdadero, es razonable pensar que «p implica q» sigue siendo verdadero.
• Fila 4: p es falso, q es falso.Usando el ejemplo sobre gafas de sol de arriba, esto sería equivalente a no estar soleado y no usar mis gafas de sol. Una vez más, esto no invalidaría mi afirmación de que «si hace sol, uso mis gafas de sol». Por lo tanto, si p es falso y q es verdadero, «p implica q» sigue siendo verdadero.

Continuando con el ejemplo de las gafas de sol un poco más, la única vez que cuestionaría la validez de mi declaración es si me viera en un día soleado sin mis gafas de sol (p verdadero, q falso). Por lo tanto, simplemente puede recordar que la declaración condicional es verdadera en todos menos en un caso: cuando el anverso (primer enunciado) es verdadero, pero el reverso (segundo enunciado) es falso.

Las sentencias bicondicionales – «p iff q» o «p if y solo if q»

If y solo if, que a la gente de matemáticas le gusta abreviar con «iff», son muy poderosas ya que esencialmente están diciendo que p y q son sentencias intercambiables. Cuando una es verdadera, automáticamente sabes que la otra también es verdadera. Además, cuando uno es falso, el otro también debe ser falso. Esto se refleja en la tabla de la verdad. Siempre que las dos declaraciones tienen el mismo valor de verdad, el bicondicional es verdadero. De lo contrario, es falso.

El bicondicional usa una flecha doble porque en realidad dice «p implica q» y también «q implica p». Simbólicamente, es equivalente a:

\(\left (p \Rightarrow q \ right) \wedge \left(q\Rightarrow p\right)\)

Este formulario puede ser útil al escribir pruebas o al mostrar equivalencias lógicas.

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Resumen

Para ayudarlo a recordar las tablas de verdad para estas declaraciones, puede pensar en lo siguiente:

• El condicional, p implica q, es falso solo cuando la parte delantera es verdadera, pero la parte posterior es falsa. De lo contrario, es verdad.
• El bicondicional, p iff q, es verdadero siempre que las dos afirmaciones tengan el mismo valor de verdad. De lo contrario, es falso.

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