MathBootCamps

lähes jokainen lause matematiikassa saa muodon ”jos, sitten” (konditionaali) tai ”iff” (lyhenne sanoista jos ja vain jos – biconditional). Siksi on erittäin tärkeää ymmärtää näiden lausuntojen merkitys. Tässä oppaassa tarkastelemme totuutta taulukon kunkin ja miksi se tulee ulos niin se tekee.

mainos

kun analysoimme totuustaulukoita, muistakaa, että ajatuksena on esittää totuusarvo lauseelle, kun otetaan huomioon kaikki mahdolliset totuusarvojen yhdistelmät p: lle ja q: lle. siksi rivien järjestys ei asia – sen rivit itse, että on oikein. Jokaista alla olevaa totuustaulukkoa varten meillä on kaksi väitettä: p ja q. ne voivat olla joko molemmat tosi (ensimmäinen rivi), molemmat epätosi (viimeinen rivi), tai on yksi tosi ja muut epätosi (keskellä kaksi riviä). Tämän kirjoittaminen on ensimmäinen askel totuustaulukossa.

konditionaali – ”P merkitsee q: ta” tai ”jos p, niin q”

ehdollinen lausuma sanoo, että jos p on tosi, niin q seuraa heti perässä ja on siten tosi. Ensimmäinen rivi noudattaa siis luonnollisesti tätä määritelmää. Vastaavasti toinen rivi seuraa tätä, koska sanomme ”p merkitsee q”, ja sitten p on tosi mutta q on epätosi, niin lausuman ”p merkitsee q” täytyy olla epätosi, koska q ei heti seurannut p: tä.

kaksi viimeistä riviä ovat kovia miettimään. Joten tarkastellaan niitä erikseen.

• rivi 3: p on epätosi, q on tosi.
  ajattele seuraavaa lausumaa. Jos on aurinkoista, käytän aurinkolaseja. Jos p on epätosi, ja q on totta, niin tämä tarkoittaa, että se ei ole aurinkoinen, mutta käytin aurinkolasejani kuitenkin. Tämä ei todellakaan mitätöi alkuperäistä lausuntoani, koska saatan vain pitää aurinkolaseistani. Jos siis p on epätosi, mutta q on tosi, on kohtuullista ajatella, että ”p merkitsee q” on edelleen tosi.
• rivi 4: p on epätosi, q on epätosi.
  käyttämällä yllä olevaa esimerkkiä aurinkolaseista, tämä vastaisi sitä, että se ei ole aurinkoinen ja minä en käytä aurinkolasejani. Tämäkään ei mitätöisi lausuntoani, että ”jos on aurinkoista, käytän aurinkolasejani”. Jos siis p on epätosi ja q tosi, ”p merkitsee q” on edelleen tosi.

jatkaen aurinkolasiesimerkkiä vielä hieman enemmän, ainoa kerta, jolloin kyseenalaistaisit lausuntoni pätevyyden on, jos näkisit minut aurinkoisena päivänä ilman aurinkolasejani (P true, q false). Näin ollen voit yksinkertaisesti muistaa, että ehdollinen lausuma on tosi kaikissa paitsi yhdessä tapauksessa: kun edessä (ensimmäinen lausunto) on tosi, mutta takana (toinen lausunto) on epätosi.

biconditional – ”p iff q” tai ”p Jos ja vain jos q”

Jos ja vain jos väittämät, joita matematiikkaihmiset pitävät pikakirjoituksena ”iff”: llä, ovat hyvin voimakkaita, sillä he käytännössä sanovat p: n ja q: n olevan keskenään vaihdettavissa olevia väittämiä. Kun toinen on totta, tiedät automaattisesti, että myös toinen on totta. Ja kun toinen on epätosi, myös toisen täytyy olla epätosi. Tämä näkyy totuustaulukossa. Aina kun kahdella lauseella on sama totuusarvo, on kaksikon totuusarvo tosi. Muuten se ei pidä paikkaansa.

biconditional käyttää kaksoisnuolta, koska se todellisuudessa sanoo ”p merkitsee q” ja myös ”q merkitsee p”. Symbolisesti se vastaa:

\(\left(p \Rightarrow q\right) \wedge \left(q \Rightarrow p\right)\)

tämä lomake voi olla hyödyllinen kirjoitettaessa todistusta tai esitettäessä loogisia ekvivalensseja.

mainos

Yhteenveto

näiden väittämien totuustaulukoiden muistamiseksi voi ajatella seuraavaa:

• konditionaali, P merkitsee Q, on epätosi vain, kun edessä on totta, mutta takana on epätosi. Muuten se on totta.
• Kaksineuvoinen, p iff q, on tosi aina, kun kahdella lauseella on sama totuusarvo. Muuten se ei pidä paikkaansa.

Jatka diskreettien matematiikan aiheiden tarkastelua

edellinen: Totuustaulukot ”Ei”, ”ja”, ”tai” (negaatio, Konjunktio, disjunktio)

Seuraava: analysoidaan yhdistettyjä propositioita totuustaulukoilla